Simulado 1 (Corrigido no Final)

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1 Simulado 1 (Corrigido no Final) Mottola Resolver em horas, sem interrupções e sem consulta. Após este tempo, as questões não respondidas devem ser marcadas de forma aleatória. 1) O menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio às 3he 10 min é (a) 5 (b) 30 (c) 3 (d) 35 (e) 36 ) Uma laranja é cortada em n partes iguais. Cada parte é cortada em partes iguais. Cada uma destas últimas partes representa 1,5% da laranja. O valor de n é (a) 4 (b) 6 (c) 8 (d)10 (e) 3) Em um relógio, a velocidade angular do ponteiro das horas é p% da velocidade angular do ponteiro dos minutos. O valor de p é (a) 7 ½ (b) 8 (c) 8, (d) 9 (e) 1 1

2 4) Um empresário gasta a metade do que ganha em um mês com impostos. Pagos os impostos, com um terço do que sobra paga os funcionários da empresa. Dois quintos do restante usa em suas contas pessoais, ficando com R$ 1.000,00. O faturamento mensal do empresário é de n mil reais. O número n é um número (a) par (b) múltiplo de 3 (c) primo (d) divisor de 1 (e) divisor de 1 5) Um produto custa R$ 5,50. No mês passado custava R$ 5,00. Se a mesma taxa mensal de aumento percentual for mantida, no próximo mês custará (a) R$ 5,75 (b) R$ 6,00 (c) R$ 6,05 (d) R$ 6,15 (e) R$ 6,0 6) Se A-B = {x / x A e x B}, então [0, 1] - (0, 1) é o conjunto (a) [0, 1] (b) (0, 1) (c) [0, 1) (d) {0, 1} (e) 7) Uma loja faz uma promoção, oferecendo um desconto de 15% sobre o preço das mercadorias e ainda parcela o novo valor em 4 vezes iguais. Seja f a função que a cada mercadoria associa o seu preço inicial x ao valor da prestação a ser paga na promoção. A lei da f é (a) f(x) = 17x/80 (b) f(x) = 15x/4 (c) f(x) = x/85 (d) f(x) = 4x/15 (e) f(x) = 4x/85

3 8) A função f do gráfico é tal que f(f(f(1))) f -1 (f -1 (f -1 (1))) vale (a) 0 (b) 1 (c) (d) 3 (e) y=f(x) 1 3 x 9) Seja f a função que, a cada ponto P do quadrado de lado da figura, associa a distância dele ao centro O. O maior valor que f pode assumir é (a) 1/ (b) 1 (c) (d) (e) P O 10) Seja f: R R definida por f(x) = 1/x. A função g=fofofof é definida por g(x) igual a (a) 1/x (b) x (c) 1/x 4 (d) 1/4x (e) 4x 3

4 11) Dentre as funções definidas abaixo, a que NÃO é igual à sua inversa é (a) y = 1 (b) y = 1/x (c) y = -x (d) y = x (e) y = -x + 1 1) Seja f a função que a cada altura h associa o volume V do líquido contido na garrafa da figura até o nível h. O gráfico que melhor representa f é h (A) (B) (C) (D) (E) 13) Em uma epidemia o número de centenas de infectados no instante t é definido por n(t) = - t + 6t -5, para t [1, 5]. A maior quantidade de infectados que ocorreu neste intervalo de tempo foi (a) 100 (b) 00 (c) 300 (d) 400 (e) ) A imagem da f: R R, definida por f(x) = x - kx, é [-1, + ). O conjunto de todos os possíveis valores que k pode assumir é (a) {-1} (b) {1} (c) {-} (d) {} (e) {-, } 4

5 15) Em uma reação química a massa de uma substância precipitada no instante t é definida por m(t) = - t + 4t gramas, para t [0, 4]. A massa total precipitada é (a) igual a 4 g (b) mais do que 4 g (c) igual a g (d) menos do que g (e) impossível de determinar 16) Um móvel tem o movimento sobre um eixo determinado por e(t) = t t +, onde e(t) é o ponto do eixo em que o móvel se encontra no instante t. O móvel inverte o sentido da sua velocidade no instante t igual a (a) 1 (b) 1,5 (c) (d),5 (e) 3 x, se x 0 17) A função f: R R é definida por f(x) =. -x, se x 0 O número de soluções reais da equação f(x) - /4 = 0 é (a) 0 (b) 1 (c) (d) 3 (e) 4 18) A solução real x da equação x -1 = 5é igual a (a) log 5 () (b) log 5 () + 1 (c) log (5) (d) log (5) + 1 (e) log (5) ) Uma folha de papel é rasgada ao meio. Os dois pedaços resultantes são colocados um sobre o outro e, de uma só vez, rasgados ao meio. Os quatros pedaços resultantes são colocados um sobre o outro e, novamente, de uma só vez, rasgados ao meio. Repetindo-se o processo temos um crescimento do número de pedaços. Este crescimento é (a) linear (b) quadrático (c) cúbico (d) exponencial (e) logaritmo 5

6 0) Todas as soluções reais de log / 3 (x) log / 3 (3) formam o conjunto (a) (-, 3) (b) ( 3, + ) (c) (0, 3) (d) (/3, 3) (e) (0, /3) 1) Se f: R R é a função definida por f(x) = log (x), então, (a) f(3) = 8 (b) f(3) < 1 (c) f -1 (3) = 8 (d) f(0) = 1 (e) f() = 0 ) O gráfico esboçado na figura é o da função y = log b (x). Então, a afirmação correta é (a) b (1, ) f(x) (b) f() > 0 (c) f(0) = 1 (d) f(b ) = x (e) f(b) = 0 3) Um capital de R$100,00 é colocado a juros compostos de 5% ao mês. O número de meses que devemos esperar para que o capital dobre o seu valor é calculado por (a) ,5 00 (b) log 5 (00) (c) ,05 (d) log (1,05) (e) log 1,05 () 6

7 4) Seja f: (1, + ) R a função definida por f(x) = log x (4). Podemos afirmar que f (a) é crescente (b) tem apenas uma assíntota (c) é inversível (d) é uma função logarítmica (e) é o inverso de uma função logarítmica 5) A potência 100 está no intervalo (10 n, 10 m ), para n e m, respectivamente iguais a (a) 5 e 15 (b) 15 e 5 (c) 15 e 35 (d) 35 e 45 (e) 45 e 55 Dado: x 10 x 0,301 0, ,60 4 7

8 RESOLUÇÃO 1) ) 30 o )x o Se às 3h10min o ponteiro das horas tivesse ficado parado no 3, o ângulo seria de 30. Mas ele anda, a partir do 3, um ângulo de x. Assim, a resposta será 30 + x. x é o ângulo que o ponteiro das horas anda em 10min. Em 60 min, ou seja, em 1 hora, o ponteiro das horas anda 30. Quanto andará em 10 min? Em 60 min anda 30. Em 10 min anda 6 vezes menos, ou seja, 30 /6 = 5. O ângulo final é 30 + x = = 35. ) Vamos supor que a laranja tenha um volume de 100 cm 3. Após o primeiro corte, cada pedaço ficou com um volume de 100/n cm 3. Após o segundo corte, cada pedaço ficou com um volume de 100/n cm 3. Cada uma destas últimas partes representa 1,5% da laranja, logo: 100 1,5 100 n ,5 n 100 1, 5 n n n = 4. 8

9 3) Se v h é a velocidade do ponteiro das horas e v m a dos minutos, temos: p vh v m 100 Em 1 h o ponteiro das horas anda 30, o dos minutos anda 360, logo: graus graus v h 30 e v m p p 8, h h ) Seja x o faturamento mensal. Pagos os impostos, sobra x/. Pagos os funcionários, sobra ainda dois terços do que havia sobrado anteriormente, ou seja, /3 de x/, ou ainda, x x. 3 3 Pagos os gastos com as contas pessoais, sobra ainda três quintos do que havia sobrado anteriormente, ou seja: 3/5 de x/3, ou ainda, 3 x x x Se, no final, ficou com 1000, temos: x = 5000 = 5 mil n=5, que é primo. 5) Se de R$ 5,00 passou para R$ 5,50, houve um aumento de R$ 0,50 a partir de R$ 5,00. 0, % No próximo ficará R$ 5,50, mais 10%, ou seja, 5,50 1,10 = 6,05. 6) A = [0, 1] e B = (0, 1). A B é o conjunto dos números que estão em A e não estão em B. A B A - B 0 1 Os únicos números que estão em A e não estão em B são 0 e 1. Logo, A B = {0, 1}. 7) O preço inicial é x. Dando um desconto de 15%, fica um saldo re 85% de x, ou seja, x x. O valor da prestação será este saldo divido por 4: x x Assim, a lei da função que, a cada preço inicial x associa a o valor da prestação é 17x f ( x). 80 9

10 8) f(f(f(1))) f -1 (f -1 (f -1 (1))) vale 3 1 y=f(x) 1 3 x f(f(f(1))) = f(f()) = f(3) = 1. f -1 (f -1 (f -1 (1))) = f -1 (f -1 (3)) = f -1 () = 1. Logo, f(f(f(1))) f -1 (f -1 (f -1 (1))) = 1 1= 0. 9) f é a função que, a cada ponto P do quadrado de lado, associa a distância dele ao centro O. 1 P P 1 d O O Maior distância de um ponto P ao centro O. Pelo teorema de Pitágoras, d = = O maior valor que f pode assumir é. d = 10) f: R R definida por f(x) = 1/x. g(x) = f(f(f(f(x)))) = f(f(f(1/x))) = f(f(x)) = f(1/x) = x. 11) A função y = 1 não, é injetora: 1 Assim, não é bijetora, não tendo, portanto, inversa. Logo, não é igual a sua inversa. Determinando as inversas das demais, observa-se que ficarão iguais. 10

11 1) f é a função que a cada altura h associa o volume V do líquido contido na garrafa da figura até o nível h. h 1 V 1 cm (A) (B) (C) (D) (E) O Volume de um cilindro aumenta de forma diretamente proporcional à altura (V=B h). Logo, o gráfico é linear, podendo apenas ser os gráfico das alternativas D ou E. Antes de h 1, para uma altura de 1 cm corresponde um volume V. Após h 1, para uma mesma altura de 1 cm corresponde um volume menor do que V. Assim, após h 1 cresce menos, sendo o gráfico correto o da alternativa E. 13) Vamos esboçar o gráfico da função, iniciando pelas raízes: - t + 6t 5 = 0. Multiplicando por 1, temos: t 6t + 5 = 0. t = 1 e t = 5, pois t. t = 5 = c e t + t = 6 = -b, sendo a = 1 na equação at + bt + c = 0. n 4 V t x v =(1+5)/=3 e y v =n(3)= = = 4. A maior quantidade de infectados ocorreu no instante t e foi de 4 centenas, ou seja, ) Vamos esboçar o gráfico da função, iniciando pelas raízes: x kx = 0. x(x k) = 0. k/ 0 k x -1 x'=0 e x =k x V =k/ y V =f(k/)= (k/) k(k/) = k /4 k / = -k /4 Como a parábola tem concavidade cima, a imagem será [y V, + ). Logo, y V = -1. Assim, k 1 k = 4 k = 4 11

12 15) Vamos esboçar o gráfico da função, iniciando pelas raízes: - t + 4t = 0. Multiplicando por 1, temos: t 4t = 0. t(t 4) =0 t = 0 e t = 4. m x v =(0+4)/= e y v =m()=- + 4 = = t Só instante precipitou 4g. Sem dúvida, ao longo do intervalo de tempo de 0 a 4 irá precipitar mais de 4g. 16) Vamos esboçar o gráfico da função, iniciando pelas raízes: t t + = 0. b t b 4ac a ( ) , que não são reais. t V = -b/a = / = 1. e(t) O móvel parte do ponto e volta em direção ao ponto 0. No instante t=1 retoma o sentido do eixo, invertendo o seu sentido. 1 t x, se x 0 17) A função f: R R é definida por f(x) =. -x, se x 0 Queremos o número de soluções reais da equação f(x) - /4 = 0. /4 1 y= x y= -x x 0 x > 0 f(x) - /4 = 0 f(x) = /4 /4<1 /4 3/4=0,75 Observamos que há dois afastamentos x tais que f(x)= /4. Logo, há duas soluções. 1

13 18) Se x -1 = 5, então os seus logaritmos são iguais: log( x 1 ) = log(5) log(5) (x 1)log() = log (5) x 1 x 1 = log (5) x = log (5) + 1 log( ) 19) No início temos um só pedaço. 1ª Vez: pedaços: 1 ª Vez: 4 pedaços: 3ª Vez: 8 pedaços: nª Vez: n pedaços: crescimento exponencial. 0) Em log / 3 (x) log / 3 (3), como a base é menor do que 1, temos que x < 3. Como x tem que ser positivo, x (0, 3) 1) Se f: R R é a função definida por f(x) = log (x). (a) é F: f(3) = log (3) 8 (b) é F: f(3) = log (3) = 1,... 1 (c) é V: f 1 (x) = x f 1 (3) = 3 = 8 (d) é F: f(0) = log (0), que não está definido. (e) é F: f() = log () = 1 ) O gráfico esboçado na figura é o da função y = log b (x). f(x) 0 1 x (a) é F:A função do gráfico é uma logarítmica decrescente, logo b<1. (b) é F: Pelo gráfico, observa-se que f()<0. (c) é F: f(0) = log b (0), que não está definido. (d) é V: f(b ) = log b (b ) = log b (b) = 1=. (e) é F: f(b) = log b (b) = 1. 3) Capital inicial: C 0 = 100. No final do 1 o mês:100 1,05. No final do o mês:100 1,05 1,05 = 100 1,05. No final do 3 o mês:100 1, No final do n o mês:100 1,05 n. Queremos que o capital dobre, ou seja, seja de ,05 n = 00 1,05 n = log 1,05 () = n 4) Mudando para a base 4, temos: inverso de uma função logarítmica. log 4 (4) 1 f ( x) log x (4), que é o log ( x) log ( x)

14 5) Igualando a x, temos: 100 = x log( 100 ) = log(x) 100log() = log(x). Pela tabela, log() = 0, ,301 = log(x) 30,1 = log(x) 10 30,1 = x. Logo, x está no intervalo (10 n, 10 m ) para n=15 e m=35. 14

15 RESPOSTAS 1) D ) A 3) C 4) C 5) C 6) D 7) A 8) A 9) D 10) B 11) A 1) E 13) D 14) E 15) B 16) A 17) C 18) D 19) D 0) C 1) C ) D 3) E 4) E 5) C 15

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