Transformação geométrica

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Rosângela Quintão Rosa
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1 Transformação geométrica Noção de transformação geométrica O termo transformação é um termo muito usado na geometria mas é sinónimo de função, também usado noutras áreas. Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos tal que a cada elemento (objeto) do conjunto de partida corresponde um e um só elemento (imagem) do conjunto de chegada. Conjunto de partida (objeto): Domínio Conjunto de chegada (imagens): Contradomínio - Transformação de pontos e retas: - Transformação de retas em retas - Transformação de pontos em pontos

Apesar de existiram vários tipos de transformações geométricas, para o nosso estudo interessam-nos apenas: - As transformações pontuais; - Que

Isometria São transformações que preservam a distância entre pontos, ou seja, as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente

Se f é uma isometria e P e Q são dois pontos quaisquer, a distancia entre esses pontos é a mesma que entre os seus transformados: f (P) e f (Q).

2 Apesar de existiram vários tipos de transformações geométricas, para o nosso estudo interessam-nos apenas: - As transformações pontuais; - Que tenham por domínio e contradomínio o plano. Isometria São transformações que preservam a distância entre pontos, ou seja, as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais. Se f é uma isometria e P e Q são dois pontos quaisquer, a distancia entre esses pontos é a mesma que entre os seus transformados: f (P) e f (Q). Existe quatro tipos de isometrias: - translação; - rotação; - reflexão; - reflexão deslizante. - Translação: corresponde a uma deslocação retilínea. O vetor que indica essa deslocação é um segmento de reta com direção, sentido e comprimento, no qual os pontos se deslocam. - Rotação: para definirmos rotação precisamos de saber qual o centro e qual a amplitude do angulo e orientação.

3 Orientação: - no sentido dos ponteiros do relógio/ sentido negativo; - no sentido contrário aos ponteiros do relógio/ sentido positivo. Chama-se rotação de centro em O e âmplitude α, à transformação que a um ponto P faz corresponder P, tal que OP=OP e ângulo POP =α. - Reflexão: transformação que deixa os pontos invariantes que estão à mesma distância de um eixo. Cada ponto de uma figura está sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexão. - Reflexão deslizante: criação de uma imagem refletida num espelho unidimensional, seguida da deslocação na direção desse espelho. É a composição de uma reflexão com uma translação. 4 Isometria Pontos fixos Orientação Translação Nenhum Preserva Rotação Um, o centro Preserva Reflexão Infinitos Inverte Reflexão deslizante Nenhum Inverte

Compostas: - De duas translações: composta de duas translações dá uma translação. - De duas rotações: a composta de duas rotações com o mesmo centro origina uma rotação.

4 Compostas: - De duas translações: composta de duas translações dá uma translação. - De duas rotações: a composta de duas rotações com o mesmo centro origina uma rotação. - De uma translação seguida de rotação: uma translação e depois uma rotação dá sempre uma rotação. - De duas reflexões: uma composta de duas reflexões de eixos paralelos dão uma translação; uma composta de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação. - De reflexão seguida de rotação: a composta da reflexão com a rotação origina uma reflexão deslizante ou uma reflexão. Grupo das isometrias: O conjunto das isometrias munida da operação composição é um grupo não comutativo, porque apesar da composta de duas rotações originar uma rotação e a composta de duas translações originar uma translação, a composta de duas reflexões não origina uma reflexão. Grupo dos deslocamentos: Constituído apenas por rotação e translação. Simetria É uma isometria que transforma uma figura nela própria. O conjunto de todas as simetrias de uma figura diz-se conjunto simétrico dessa figura. Simetria é uma ideia que o Homem tem usado ao longo do tempo para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição Weyl

A simetria significa que existe uma isometria que deixa a figura invariante. Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. Veloso.

5 A simetria significa que existe uma isometria que deixa a figura invariante. Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. Veloso. Manutenção da congruência e da posição O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidem com as ovas imagens. Existem 4 tipos de simetria: - Translação - Rotação - Reflexão - Reflexão deslizante - Translação: reconhecemo-la quando podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e direção, indicados pelo vetor de translação, de tal modo que o seu transformado coincida com a figura original. - Rotação: é reconhecida quando conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original. Centro da simetria rotacional: ponto em torno do qual a figura roda. figura. Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o movimento da

refletida seja exatamente igual à figura toda. Eixo de simetria: reta que divide a figura ao meio de modo a que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade.

6 - Reflexão: existe várias hipóteses de reconhecer uma simetria. Por exemplo dobrar uma figura de modo a que as 2 partes obtidas se sobreponham exatamente; ou se conseguirmos colocar um espelho sobre a figura de modo a que a junção da parte refletida com a não refletida seja exatamente igual à figura toda. Eixo de simetria: reta que divide a figura ao meio de modo a que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Rl(S)=(S)-o transformado de S segundo a reta l é o próprio s. - Reflexão deslizante: reconhecemo-la se, por exemplo, desenhamos uma figura num papel transparente e o virarmos ao contrário em torno de uma determinada reta, e o deslocarmos segundo a direção dessa reta, conseguimos que o transformado coincida com a figura original. Grupo simétrico O conjunto simétrico de uma figura, munido da operação de composição é um grupo que tem por nome grupo simétrico dessa figura. Geradores do grupo simétrico - Cíclico: Gerador único que permite apenas a rotação (infinito ou ordem n) - Diédrico: 2 geradores: permite a rotação e a reflexão

7 Friso: Transformações infinitas e com simetria de translação. Existem 7 tipos de frisos. Semelhanças: Transformações do plano em si próprio que preservem as razões das distâncias entre pares de pontos. As figuras são semelhantes se existir uma transformação de semelhança que transforme uma na outra. Homotetia: transformação de semelhança onde há ampliação ou redução de uma figura que necessita de ter bem definido o centro e a razão. Por exemplo: Homotetia de uma figura F, com centro O e razão K é uma transformação geométrica que associa a cada ponto P de F: - o ponto P sobre a semi-reta OP, de origem O, tal que OP =K.OP, se K>O. - o ponto P sobre a semi-reta oposta a OP, de, tal que OP =K.OP, se K<O. centroa original Razão=pode ser negativa ou positiva e trata-se da ampliação ou redução Se a razão for negativa o transformado está na semi-reta oposta. Se a razão for positiva os pontos dos transformados estão na semi-reta que une o centro ao objeto original.

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