Funções - Segunda Lista de Exercícios

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1 Funções - Segunda Lista de Exercícios Módulo - Trigonometria e Funções Trigonométricas. Converta de graus para radianos: (a) 30 (b) 0 (c) 45 (d) 35 (e) 70 (f) 70 (g) 5 (h) 700 (i) 080 (j) 36. Converta de radianos para graus: (a) 5π 3 (b) π (c) 3π (d) π 36 (e) 0π (f) 3π 3. Um caçador está sentado numa plataforma construída numa árvore a 30 metros do chão. Ele vê um tigre sob um ângulo de 30 abaixo da horizontal. A que distância está o tigre? 4. Considere um triângulo com lados a, b e c, onde os ângulos opostos a estes lados são Â, B e Ĉ, respectivamente. Prove a lei dos senos onde: sen  a = sen B b = senĉ. c (Dica: Calcule a área deste triângulo considerando cada um dos lados como a base. Estas serão todas iguais.) 5. Considere um triângulo ABC, com lados a, b e c e ângulo θ como mostra a figura. Com base nele, prove a lei dos cossenos: (Dica: use o Teorema de Pitágoras.) a = b + c bc cosθ,

2 6. Deduza fórmulas em termos de senθ e cosθ de: (a) sen 3θ (b) cos3θ (c) cos4θ (d) sen 4θ 7. Prove as seguintes identidades trigonométricas (a) + tg t = sec t (c) sen(a ± b) = sen a cosb ± senb cos a (d) cos(a ± b) = cos a cosb sen a senb tg a + tgb (e) tg(a + b) = tg a tgb (b) + cotg t = cossec t (f) cosθ = cos θ sen θ = cos θ = sen θ (g) sen θ = cosθ (h) cos θ = + cosθ 8. Utilize o que foi verificado no exercício anterior para mostrar que: (a) sen θ sen φ = [cos(θ φ) cos(θ + φ)] (b) cosθ cosφ = [cos(θ φ) + cos(θ + φ)] (c) sen θ cosφ = [sen(θ + φ) + sen(θ φ)] ( ) ( ) θ + φ θ φ (d) sen θ + sen φ = sen cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (e) sen θ sen φ = cos sen ( ) ( ) θ + φ θ φ (f) cosθ + cosφ = cos cos ( ) ( ) θ + φ θ φ (g) cosθ cosφ = sen sen 9. Resolva: (a) cos x + 3 = 5cos x (b) cos7x = cos3x (c) sen x + cos x = 0 (d) sen 3x sen x + sen x = 0 0. Faça o estudo completo das funções cossecante e cotangente, definidas respectivamente por: (a) f : t cossec t = sen t (b) f : t cotg t = cos t sen t.

3 . Sem utilizar calculadora, complete a seguinte tabela, marcando quando a função não estiver definida. θ 0 π 6 senθ cosθ tanθ secθ cotgθ cossec θ π 4 π 3 π π 3 3π 4 π 5π 4 3π 0π 6. Qual é a diferença entre sen x, sen x e sen(sen x)? Expresse cada uma das três funções em forma de composição. 3. Utilizando uma calculadora, calcule o valor da função para valores de θ dados em radianos. (a) senθ, onde θ = 0; ;,5; -,6; π; π ; e (b) cosθ, onde θ = 0; ;,5; 3; 580; -78; π, π ; e 3π. (c) tgθ, onde θ = 0; ;,5; π; π 4 ; e 000. (d) cotgθ, onde θ = ;,5; π ; π 3 ; π 4 ; e 700. (e) secθ, onde θ = 0; ;,5; π; π 4 ; e 000. (f) cossecθ, onde θ = ;,5; π ; π 3 ; π 4 ; e Expresse as seguintes funções em termos de funções seno e/ou cosseno somente (a) tgθ (b) cos θ (c) sen θ (d) cossec θ (e) cotg θ 5. Se os ângulos de um triângulo medem x, x + e x + (em radianos), encontre x. 6. Um satélite foi lançado em uma órbita circular ao redor da Terra. Se sua distância do centro da Terra é de aproximadamente km, que distância ele percorre quando varre um ângulo de π 4, com respeito ao centro da Terra? 3

4 7. A seguir temos o triângulo ABC, onde AB = BC = C A = e AM = MC. Com base nele encontre: (a) O comprimento B M (c) senθ, cosθ, senβ, cosβ, tgθ e tgβ. (b) θ e β em radianos. 8. Dado um triângulo ABC, se Ĉ = π/ e  = B, encontre  em radianos e calcule cos Â, sen  e tg Â. (Dica: Aqui  representa o ângulo no vértice A, B o ângulo no vértice B, e Ĉ representa o ângulo no vértice C. Faça um desenho.) 9. Calcule os seguintes valores das funções em cada ângulo. (Dica: Use identidades trigonométricas.) (a) sen( π 3 + π 4 ) (b) cos( π 3 + π 4 ) (c) cos( π + π) (d) sen(3π) + cos(3π) (e) sen( π ) 0. Em t = 0 dois carros se encontram na intersecção de duas estradas retas, com velocidades v e v. As duas estradas se cruzam formando um ângulo θ. (a) Qual é a distância entre os carros t horas depois deles passarem pelo cruzamento? (b) Calcule a distância entre os carros hora após passarem pelo cruzamento se: (a) v = v e θ = π 3 (b) v = v e θ = π 4 (c) v = v e θ = 0 (d) v = v e θ = π 3. Dadas as funções f e g a seguir, obtenha f g e g f e seus respectivos domínios de definição: (a) f (x) = 9 9x e g (x) = cotg x. (b) f (x) = cos x e g (x) = 4x 4

5 . Encontre funções f e g de modo que a função h possa ser escrita como h = f g. Nem f nem g devem ser a função identidade. (a) h(x) = senx (b) h(x) = sen x (c) h(x) = sen x (d) h(x) = sen(cos x) (e) h(x) = sen 3x (f) h(x) = sen x (g) h(x) = cos x (h) h(x) = tan(x + ) (i) h(x) = sen x (j) h(x) = cossec x (k) h(x) = 3sen x + sen x + (l) h(x) = sen(cos x) 3. Dizer como as funções f (x) = x, g (x) = 4 x e h(x) = tg x devem ser compostas para que se obtenha a função h(x) = 4 tg x. 4. Escavações arqueológicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo indica, era utilizado para tocar LP s. As marcações de velocidade do aparelho eram 33, 45 e 78 rotações por minuto. Em cada caso, qual é o período do movimento? 5. Calcular o período das funções (a) tg4x (b) sen(x ) (c) tg( π 4 x). (d) cos( 3 x ) (e) cossec( π 7 x) (f) cotg(7b x) (onde B > 0). 6. Esboce o gráfico das seguintes funções, identificando cuidadosamente as amplitudes e períodos. Não use calculadora gráfica ou computador. (a) y = 3sen x (b) y = 3senx (c) y = 3senθ. (d) y = 4cosx (e) y = 4cos( 4 t) (f) y = 5 sent 7. Relacione as funções abaixo com os gráficos da figura, explicando os por quês. (a) y = cos(t π ) (b) y = cos t (c) y = cos(t + π ). 5

6 8. Nos itens a seguir, encontre uma possível fórmula para cada gráfico 9. A profundidade de um tanque oscila, conforme uma senóide, uma vez a cada 6 horas, em torno de uma profundidade média de 7 metros. Se a profundidade mínima é de 5,5 metros e a máxima é de 8,5 metros, encontre uma fórmula para a profundidade em função do tempo, medido em horas. 30. Uma população de animais varia de forma senoidal entre um mínimo de 700 em o de janeiro e um máximo de 900, em o de julho. (a) Esboce o gráfico da população versus tempo. (b) Encontre uma fórmula para a população em função do tempo t, medido em meses desde o início do ano. 3. A voltagem V, de um ponto de luz residencial é dada em função do tempo t (em segundos), por V = V 0 cos(0πt). (a) Qual é o período da oscilação? (b) O que V 0 representa? (c) Esboce o gráfico de V versus t, identificando os eixos. 6

7 3. É dado que duas funções trigonométricas têm período π e que seus gráficos cortam-se em x = 3,64, mas não é dado nada mais. (a) Você sabe dizer se os gráficos dessas funções se cortam em algum outro valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual é esse valor? (b) Encontre um valor de x, maior que 3,64, para o qual os gráficos se cortam. (c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gráficos se cortam. 33. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen3t + 3cos t. (b) Qual é o período de sen3t? E de cos t? (c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a). 34. (a) Usando uma calculadora gráfica, ou um computador, encontre o período de sen4x + 3cosx. (b) Dê a resposta exata ao item anterior (como um múltiplo de π). (c) Determine o período de sen4x e de cosx e use esses valores para explicar sua resposta na parte (a). 35. Se m e n são dois números naturais, obtenha o período da função cos(mx) + sen(nx). 36. Defina e trace o gráfico das inversas das seguintes restrições principais de funções trigonométricas (não dê resultados aproximados): (a) cos : [0,π] [,] (b) cotg :]0,π[ R (c) sec : [0, π [ ] π,π] [,+ [ ], ] (d) cossec : [ π,0[ ]0, π ] ],] ], [ 37. Calcule: (a) arcsen (b) arccos (c) arctg (d) arctg 3 (e) arcsen (f) arccos 3 (g) arctg0 (h) arcsen (i) arcsen0 (j) arccos (k) arccos0 (l) arccotg( ) (m) arctg( ) (n) arccotg 3 (o) arcsen( ) (p) arccos 7

8 38. Prove que sen : [ π, π ] R é estritamente crescente. 39. Prove que tg x é estritamente crescente em ] π, π [. 40. Para simplificar a expressão cos(arcsen x), começamos colocando θ = arcsen x, com as restrições π θ π e x. Como senθ = x, pela definição de arcsen, podemos construir um triângulo retângulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pitágoras: Observe que cos(arcsen x) é cosθ. Desta forma, o desenho nos mostra que: cos(arcsen x) = x Usando uma idéia semelhante a essa, simplifique e calcule: (a) cos(arcsen x) (b) sen(arccos x) (c) cos(arctg x) (d) cos(arcsec x) (e) tg(arccos x) (f) sen(arccos ) (g) cos(arcsen ) (h) tg(arccos0) Módulo - Funções Quadráticas 4. Fatore as seguintes expressões quadráticas (a) x 3x e x + x (b) πx + 3π e 7x + 5x (c) x + x e πx π (d) x 9 e x 49 (e) x 3 e x (f) x e x π (g) x + x + 4 e x + x + 6 (h) x + x + 4 e x x 6 (i) x x + 3 e x 3x 40 (j) 3x 5x e 8x + x (k) x 5bx 3b e x 4x (l) x 4 x + e x 6 4x 3 8

9 4. Utilizando uma calculadora gráfica, ou um computador, estude o comportamento do gráfico de p(x) = ax + bx + c nas seguintes situações: (a) Dê valores fixos para b e c (por exemplo, b = e c = ) e varie a. Fazendo isso, o que acontece com o gráfico de p(x)? (b) Dê valores fixos para a e b (por exemplo, b = 3 e b = 5) e varie c. Descreva o que acontece com o gráfico de p(x). (c) Dê valores fixos para a e c (por exemplo, a = e c = 3) e varie b. Descreva o que acontece com o gráfico de p(x). 43. Observe como fazemos para completar os quadrados das funções p(x) = x + x + 0 e q(x) = x x. p(x) = x + x + 0 p(x) = x + x p(x) = (x + ) + 9 p(x) = x x p(x) = x ( ( ) x + ( ) p(x) = x x p(x) = ( x ) 4 ) Utilize essa idéia para completar os quadrados das funções: (a) p(x) = x + 5x + (b) p(x) = x + 3x + (c) p(t) = 3t 5t + (d) p(t) = t t (e) p(x) = x + 3x (f) p(x) = x + 4x 3 (g) p(x) = 4x + x + 0 (h) p(x) = 6x + 6x (i) p(x) = x + 4b + c (j) p(x) = ax + ax + b (k) p(x) = π(x x) (l) p(x) = 4( x 3x + ) 44. Resolva as seguintes equações completando os quadrados: (a) 3x + 6x = 0 (b) 3x(3x ) = 6x 5 (c) y 5y 4 = 0 (d) 6u + 7u 3 = 0 (e) x x + 9 = 0 (f) 4z 4z = 0 (g) p(p 4) = 5 (h) (x ) + 3x 5 = 0 (i) (3x ) + (x + ) = 0 (j) 5y 5y + 9 = Deduza a fórmula para a solução da equação quadrática ax + bx + c = 0. 9

10 46. Use a fórmula para a solução da equação quadrática para resolver as seguintes equações: (a) 5x + 6x = 0 (b) x = 8x + 5 (c) x(x 3) = x 6 (d) 6x 7x + = 0 (e) x = 3(x ) + 3 (f) x 6x = 0 (g) 00y = 0y + (h) x + bx c = 0 (i) x 6ax + 3a = 0 (j) πu + (π )u π = 0 (k) x(x + 4) = 4(x + ) (l) 3x = 5(x ) 47. Determine o valor de b em B = {y R y b} de modo que a função f : R B definida por f (x) = x 4x + 6 seja sobrejetora. 48. Determine o maior valor de a em A = {x R x a} de modo que a função f : A R definida por f (x) = x 3x + 4 seja injetora. 49. Dada a função quadrática p(x) = ax +bx+c, prove que as coordenadas (x v, y v ) do vértice da parábola são dadas por x v = b a e y v = 4a, onde = b 4ac é o discriminante de p(x) = Determinar os vértices e a imagem das parábolas (a) y = 4x 4 (b) y = x + 3x (c) y = x 5x + (d) y = x + x + 3 (e) y = x + x 9 (f) y = x 7 3 x 5. Qual deve ser o valor de c para que o vértice da parábola y = x 8x + c esteja sobre o eixo dos x? 5. Qual deve ser o valor de k para que y = x kx + 8 tenha duas raízes reais e iguais? 53. Dentre todos os números reais x e z tais que x+z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo. 0

11 54. Dentre todos os números de soma 6, determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. 55. Determine o retângulo de área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice sobre a reta y = 4x Um arame de comprimento l deve ser cortado em dois pedaços. Um pedaço será usado para formar um círculo, e outro, um quadrado. Onde se deve cortar o arame, para que as áreas das figuras sejam as maiores possíveis? 57. Em uma reação química, um catalisador é uma substância que acelera a reação mas que, ela mesma, não sofre transformação. Se o produto de uma reação é um catalisador, a reação é chamada de autocatalítica. Suponha que a taxa, r, de uma dada reação autocatalítca é proporcional à quantidade da substância original que ainda permanece vezes a quantidade de produto, p, produzido. Se a quantidade inicial da substância original é A e a quantidade que ainda permanece é A p: (a) Exprima r em função de p. (b) Qual é o valor de p quando a reação está ocorrendo de forma mais rápida? 58. Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f (x) = 0 e determine se as raízes são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f (x) sem desenhar mais de quatro pontos. (a) f (x) = 4x 4x + (b) f (x) = z + z + (c) f (x) = 4x x 5 (d) f (x) = 7x 5x (e) f (x) = x x + 4 (f) f (x) = x ax (g) f (x) = 3x + πx + 4 (h) f (x) = x ax + a (i) f (x) = 3x x 3 (j) f (x) = 9x x Determine os valores de K para os quais as equações tem raízes reais e iguais. (a) 5x 4x (5 + K ) = 0 (b) (K + )x + 3x + (K + 3) = 0 (c) x + 3 K (x ) = 0 (d) (K + )x + 5K x = 0 (e) x x( + 3K ) + 7 = 0 (f) (K )x + x + (K + ) = 0

12 60. Determinar os valores de m para que a função quadrática f (x) = (m )x + (m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 6. Determinar os valores de m para que a equação do segundo grau (m + )x + (3 m)x + (m ) = 0 tenha raizes reais. 6. Determinar os valores de m para que a função f (x) = mx +(m +)x +(m +) tenha um zero real duplo. 63. Determinar os valores de m para que a equação mx + (m )x + (m ) = 0 não tenha raizes reais. 64. Prove as relações de Girard para equações do segundo grau: se ax +bx +c = 0 possui raízes x e x, então x + x = b a e x x = c a. 65. Mostre que uma equação do segundo grau que tem x e x como raízes é a equação x Sx + P = 0, onde S = x + x e P = x x. 66. Obtenha uma equação do segundo grau que possua as raízes: (a) e 3 (b) e 3 (c) 0,4 e 5 (d) e (e) + 3 e Determine m na função f (x) = 3x 4x + m de modo que se tenha Im(f ) = [,+ [. 68. Cada uma das expressões a seguir pode ser escrita na forma a c ± (d x + b), sendo que c é uma fração. Observe como fazemos isso para 4x + x. Cha-

13 mando q(x) = 4x + x temos: q(x) = 4(x x 4 ) q(x) = ( 4 x ( ( 8) x + ( 8) ) ) 8 q(x) = 4 ( (x 8 ) ) 64 q(x) = 4 ( 64 (x 8 )) já que 4 = ( ) 4 q(x) = 64 (x 8 ) q(x) = 64(x 8 ) 64 q(x) = 64(x 4 8 ) q(x) = 4 ( 8(x 8 )) q(x) = 4 (8x ) Utilize essa idéia nos itens a seguir: (a) x + 3x + (b) 3t + 5t + (c) x + 3x (d) 6x + 6x. (e) x + x + (f) x + x 4 (g) 6x 4x (h) 4x x (i) 6 + x x (j) x x + 8 (k) 9x 4x 69. Dada a função quadrática p(x) = ax + bx + c = 0, prove que: (a) Se b > 0 o gráfico de p(x) corta o eixo dos y com a parte crescente. (b) Se b < 0 o gráfico de p(x) corta o eixo dos y com a parte decrescente. 70. Considere o Polinômio f (n) = n + n + 4. Observe que f () = 43 é primo, f () = 47 é primo, f (3) = 53 é primo. Será que para todos os números n N, f (n) será um número primo? Prove ou desprove esta afirmação. 7. Prove que somando-se ao produto de quatro números naturais consecutivos o resultado será sempre um quadrado perfeito. 3

14 7. Suponha que a, b e c sejam constantes com a > 0. Seja f a função definida por f (x) = ax + bx + c com x b. Mostre que a função inversa é dada por a f (x) = b + b 4ac + 4ax 4ac b para x. a 4a 73. À medida que a altura referente ao nível do mar aumenta, o peso de um astronauta diminui até atingir a imponderabilidade. Se o peso w do astronauta a ( ) 6400 altura x km acima do nível do é dado pela expressão w = p, onde x p é o peso do astronauta ao nível do mar, a que altitude seu peso é inferior a 0,p? 74. Se a distância de frenagem d (em metros) de um carro a velocidade de c km/h é dada, aproximadamente, por d = v + v, para quais velocidades o espaço de 0 frenagem é inferior a 0 m? 75. Para que um medicamento faça o efeito desejado a sua concentração na corrente sanguínia deve ser acima do nível terapêutico mínimo. Se a concentração c desse medicamento t horas após ser ingerido é dada por c = 0t t + 4 mg/l e o seu nível terapeêutico mínimo é 40 mg/l, determine a partir de que instante esse nível é excedido. 76. Considerando que a resistência elétrica R (em Ohms) para um fio de metal puro está relacionado com a temperatura T (em ºC) pela fórmula R = R 0 ( + αt ) onde α, R 0 são constantes positivas. Pede-se: (a) Para que temperatura tem-se que R = R 0 (b) Se a resistência é considerada 0 para T = 73 C, determine o valor de α (c) Se a prata tem resistência,5 ohms a 0 C a que temperatura sua resistência atinge,0 ohms? 77. As dosagens para adultos e para crianças devem ser especificadas nos produtos farmacêuticos. Duas das fórmulas para se especificar as dosagens para crianças a partir das dosagens para adultos são a de Cowling, dada por y= 4 (t + )α e a de Friend, dada por y = tα onde α representa a dosagem para 5 adulto, em mg, e t representa a idade da criança, em anos. 4

15 (a) Se α = 00 mg, represente graficamente as expressões das dosagens infantis usando as fórmulas de Cowling e de Friend. (b) Para que idade as duas fórmulas especificam a mesma dosagem? 78. O IMC (índice de Massa Corporal) é definido como: φ = massa (altura) Uma pessoa é considerada obesa quando o índice é maior que 30. Segundo dados publicados na revista Veja de /0/004, dos obesos brasileiros 3% são mulheres, 7% homens e 5% são crianças. Pelo critério anterior você se considera obeso? A partir de que peso você passaria a ser considerado obeso? A partir de que altura uma pessoa de 00 kg deixa de ser considerada obesa? Uma pessoa de,75 m passa a ser considerada obesa a partir de quantos quilos? 79. Expresse o volume C do tronco de um cone reto de altura h e raio base r em termos de h e r. 80. Expresse o volume C de um cilindro reto de altura x inscrito no cone reto de altura h e raio da base r. Módulo 3 - Polinômîos e Funções Racionais 8. Se f (x) = x, g (x) = x +x 4 e h(x) = x +x 4 +x 6 e k(x) = 3x 6 6x 4 +x encontre números reais a, b e c tais que k = a f + bg + ch. 8. Obtenha α R de modo que os polinômios f (x) = x 4 +0x 3 4αx +4 e g (x) = x + x + verifiquem a condição f = g. 83. Em cada caso, determine um polinômio do segundo grau f (x) de modo que: (a) f (0) =, f () = 4 e f ( ) = 0. (b) f () = 0 e f (x) = f (x ) para todo x 84. (a) Se f (x) e g (x) são dois polinômios, prove que existem polinômios q(x) e r (x) tais que f (x) = g (x) q(x) + r (x), onde o grau de r (x) é menor que o grau de g (x). Explique o que isso significa em termos de divisão de polinômios. 5

16 (b) Mostre que se a é uma raiz de um polinômio f (x), isto é, f (a) = 0, então f (x) = (x a)q(x), Onde q(x) é um polinômio com grau um a menos que f (x). 85. Nos itens a seguir, fatore o polinômio o máximo possível. (a) p(x) = x 3 + 3x + 4x 3 (b) p(y) = y 3 + 3y 8y + 3 (c) p(x) = x 3 + 3x 6x + (d) p(x) = x 4 5x 0x 6. (e) p(x) = x 3 7x + 8x + (f) p(x) = x 3 7 (g) p(x) = x 4 (i) p(x) = x 4 x 3 4x 8x (h) p(y) = x3 3 x x + 3 (j) p(x) = x 4 + 3x 3 x 3x (k) p(x) = x 4 + 7x 3 (l) p(x) = x 4 (m) p(x) = x Cada um dos itens a seguir pode ser escrito na forma p(x), onde p e q são q(x) ( polinômios. Veja como fazemos isso para a expressão y x x ) : y ( y x x ) = ( ) y x = y y x x y x y x y (a) x y ( (c) x + (e) x 3x x 3 (g) x + x x (i) ) ( + y + ) 3 ( (b) 4x y x + y ) 4 (d) x y 3. + ( + t) (f) + t ( + t ) (h) x + 4x + x (x + ) 36 (3x 3 ) + (j) x 4 (x3 ) + x 3 ( (k) + x ) ( 4x (l) x + ) x x (m) x + (n) x + x y x 6

17 87. Em cada item efetue as divisões de polinômios indicadas, conforme ilustra o exemplo a seguir: x + 3x + = x x (x ) (x ) (a) x (d) (b) 4x + 4x + x x x (e) 3x x + 3 (g) x + x x 3 3 (j) x(x 9) (m) x + x Nos itens a seguir: (h) (c) 5 + t 5 t (f) 4x + 3x x + x (i) x3 x + 3 (k) x3 3x + x + 3 (n) x3 x (l) x5 + x + Encontre todos os valores de x para os quais a função não está definida. Expresse a função f (x) na forma p(x), onde p e q são polinômios. Então q(x) fatore e simplifique onde for possível. Determine para quais valores de x se tem f (x) = 0. Determine para quais valores de x se tem f (x) > 0, e para quais se tem f (x) < 0. (a) x x (b) 4x x (c) 0 5 t (d) x (e) 3 3 x + 3 (g) + x (f) (3x ) (h) + x + (i) x3 x 3 3 (j) x + 3 x(x 9) 7 (k) x + 3 x + 3x 9 (l) 9x 3 x 3 9x + (m) x 3x x + 3 7

18 89. Dividindo o polinômio f (x) por x 3x + 5 obtemos quociente x + e resto 3x 5. Determine f (x). (Há várias possibilidades.) 90. Determine os números a e b de modo que o polinômio f (x) = x 4 3ax 3 + +(a b)x + bx + (a + 3b) seja divisível por g (x) = x 3x Determinar p e q de modo que x 4 + seja divisível por x + px + q. 9. Se x 3 + px + q é divisível por x + ax + b e por x + r x + s prove que b = r (a + r ). 93. Determinar a de modo que a divisão de x 4 ax 3 +(a +)x +3a + por x tenha resto Determinar um polinômio do terceiro grau que se anula em x = e que dividido por x +, x + e x tenha resto Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos da divisão de x 0 + ax 4 + bx + cx + d por x + e x sejam iguais? 96. As divisões de um polinômio f (x) por x, x e x 3 são exatas. O que se pode dizer do grau de f? 97. O resto da divisão de um poliômio f (x) por x + e x + 4 produz restos 0 e, respectivamente. Qual o resto da divisão de f (x) por (x + )(x + 4)? 98. O gráfico de cada uma das figuras abaixo representa um polinômio. Para cada um deles determine: (a) qual o menor grau possível do polinômio. (b) O coeficiente líder do polinômio é positivo ou negativo? (O coefciente líder é o coeficiente da potência mais alta de x.) 8

19 99. Esboce o gráfico dos seguintes polinômios: (a) f (x) = (x + )(x )(x 3) (b) f (x) = 5(x 4)(x 5) (c) f (x) = 5(x 4)(5 x ) (d) f (x) = 5(x 4) (x 5) 00. Para que inteiros positivos n, o polinômio f (x) = x n é uma função (a) par (b) ímpar 0. Que polinômios são pares? E ímpares? Existem polinômios que não são nem pares nem ímpares? 0. Se f (x) = ax + bx + c, o que você pode dizer de a, b e c se: (a) (,) está no gráfico de f (x)? (b) (,) é o vértice do gráfico de f (x)? (c) A intersecção do gráfico com o eixo dos y é (0,6)? (d) Encontre uma função quadrática que satisfaça todas as três condições anteriores. 03. Encontre um polinômio cujas raízes sejam -, -, e 4, todas com multiplicidade. 04. Em cada caso, encontre um polinômio com coeficientes inteiros cujas raízes sejam: (a) + e (b) 3 + e 3 9

20 (c) 6, 5 e Para cada um dos itens a seguir: encontre uma possível fórmula para o gráfico; obtenha os intervalos aproximados onde a função é crescente e onde é decrescente. 06. Encontre os polinômios cúbicos que representam o gráfico de: 07. Transladando o gráfico de x 3 encontre o polinômio cúbico com gráfico semelhante ao da figura 0

21 08. Encontre todas as raízes racionais dos seguintes poinômios (a) f (x) = x 3 x x (b) f (x) = x (c) f (x) = x 3 + x 6 x (d) f (x) = 3x 4 7x Quais as possíveis raízes inteiras da equação x 3 + 4x + x 4 = 0? 0. Resolva a equação x 3 x x + = 0.. O gráfico de uma função racional é dado pela figra abaixo: Se f (x) = g (x)/h(x) com g (x) e h(x) ambas funções quadráticas, obtenha as fórmulas para g (x) e h(x). (Há várias possibilidades.). Determine uma condição necessária e suficiente para que f (x) = a 0 + a x + a x b 0 + b x + b x seja uma função constante, onde a 0,b 0, a,b, a,b são não nulos. 3. (a) Calcule as assíntotas (verticais e horizontais) e esboçe o gráfico de f (x) = x x. (b) Mostre que f é uma função injetora em seu domínio e que f (x) = f (x). 4. Encontre as assíntotas e esboce o gráfico de: (a) f (x) = (x ) (b) f (x) = x (c) f (x) = x (d) f (x) = x3 x x (e) f (x) = 3x x + Atenção: Nos itens (d) e (e) há assíntotas inclinadas. Nesses casos faça primeiro a divisão do polinômio para depois traçar o gráfico. Confira seus esboços com um programa de computador.

22 5. Encontre as assíntotas e esboce o gráfico de f (x) = x3 x x + x Um terreno é delimitado na forma de um retângulo com área 44 m. (a) Escreva uma expressão para o merímetro P como uma função do comprimeto x. (b) Esboce um gráfico da função perímetro e determine, aproximadamente, a partir do gráfico, as dimensões nas quais o perímetro é mínimo. 7. A figura a seguir ilustra o gráfico de h(x). Com base nele faça o que se pede e responda à pergunta: (a) Esboçe o gráfico de y = h (x), e de y = h(x). (b) O que acontece com a assíntota quando você esboça o gráfico da inversa? 8. Construa o gráfico de f (x) = x 3 + x e, a partir dele, obtenha o número de raízes reais de f (x) = Quantas são as raízes da equação x 3 0x + 5x = 0 no intervalo [0,3[? 0. Determine α de modo que f (x) = x 3 + x + 5x + α tenha pelo menos uma raiz no intervalo ],0[.. Dizemos que um número é algébrico se ele é a raiz de um polinômio com coeficientes inteiros. Prove que os seguintes números são algébricos: (a) (b) 3 (c) 3 + (d) 3 + (e) 3 +

23 . Mostre que o número α = é inteiro. (Dica: construa 9 9 um polinômio tendo α como raiz, e mostre que todas suas raízes são inteiras.) 3. Desafio. Indicamos por Q[x] o conjunto dos polinômios de todos os graus na variável x, com coeficientes racionais. Chamamos um subconjunto I Q[x] de ideal se: para todos os p(x), q(x) I tem-se p(x) + q(x) I. para todos os f (x) Q[x] e p(x) I tem-se f (x)p(x) I Prove que se I é um ideal de Q[x] existe um polinômio h(x) de modo que todo elemento de I pode ser obtido multipicando h(x) por algum polinômio de Q[x]. Módulo 4 - Ligações entre Ramanujam e os Radicais na Índia - Somente Para os Corajosos. 4. Prove diretamente que: (a) = + 5 (b) = 5 (c) = + (d) = 5. Utilizando polinômios, mostre que = 6. Para quais números positivos b o número 3 + b + 3 b é um inteiro? 7. A seguinte identidade foi estabelecida nos trabalhos em teoria de números do matemático indiano Srinivasa Ramanujan, em 94: ( ) 3 3 / ( = ) 3 Para prová-la siga os passos: (a) Prove que para valores adequados de a se tem ( (a + 4) 3 a + ( a) 3 ) / a 3 a = 3 3 3

24 (b) Substitua a = 5 e obtenha a expressão de Ramanujan, apresentada no início. (c) Substituindo um valor adequado para a, obtenha também a identidade ( ) / ( = ) 3 8. (a) Para valores adequados de a, prove que ( (a + ) 3 ) / 4a + ( 4a) = 9 3 a 3 4a 3 (b) Utilize essa fórmula para provar a seguinte identidade de Ramanujan: ( 3 3 ) / ( 00 = ) Para todo número real a, prove que { (3a + ) + (3 a) 5 a 5 5 a 3 } /3 = + 5 a 5 a Utilize isso para mostrar que ( ) / = Para todo número real a, prove que ( (a 7a + ) + (6a 3) 3 a + (6 3a) 3 a ) /3 = 3 a 3 a + Utilize isso para mostrar que ( ) 3 /3 3 4 = Se g 5 = mostre que 5 + g + g 3 = 0 + g Desafio: Em homenagem ao aniversário do nascimento de Ramanujan, um artigo foi publicado, onde aparecia a inscrição: À memória de Ramanujan nos ( 3 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ) / anos de seu nascimento. Que número é esse? Prove que ele é inteiro. 4