Capítulo Aproximação linear e diferenciais

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1 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 1 Capítulo Aproimação linear e diferenciais Aproimação linear Diferenciais Vamos, neste capítulo, generaliar os conceitos de aproimação linear e diferenciais para funções de diversas variáveis. Isto prepara o terreno para os dois próimos capítulos, que tratam de otimiação envolvendo funções de diversas variáveis Aproimação linear Em Cálculo 1, vimos como certas funções podiam ser aproimadas localmente por uma reta e estabelecemos o conceito de reta tangente a uma função em determinado ponto. Dada uma reta = a + b, onde a e b são constantes, se esta for uma reta tangente a uma determinada curva f() em um ponto ( 0, 0 ), então ela deve satisfaer duas condições. Primeiro, a reta deve assumir o mesmo valor da função em = 0, de modo que ( 0 ) = f( 0 ) a 0 + b = f( 0 ). A outra condição é que o coeficiente angular da reta, a, deve ser igual à taa instantânea de variação da curva em = 0, que é a sua derivada naquele ponto, ou seja, a = f ( 0 ). Substituindo a na primeira equação que foi obtida, temos b = f( 0 ) a 0 b = f( 0 ) f ( 0 ) 0. Substituindo os coeficientes a e b na equação da reta, ficamos com = a + b = f ( 0 ) + f( 0 ) f ( 0 ) 0. Colocando f ( 0 ) em evidência, ficamos com a equação 0 = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ), que é a equação da reta tangente à função f() em = Eemplo 1: calcule a equação da reta tangente à função f() = 3 no ponto onde = 1 e esboce o seu gráfico. Solução: a equação da reta tangente a essa função é dada por = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) f(1) = f (1)( 1). A derivada da função é dada por f () = 3 2, de modo que Desse modo, temos f(1) = 1 3 = 1 e f (1) = 3 1 = 3. = 1 + 3( 1) = = Os gráficos da função e da reta tangente são feitos na figura ao lado. -1

2 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 2 Vamos, agora, generaliar essa idéia para uma função de duas variáveis. Dada uma função f(,) diferenciável em e em, ela pode ser aproimada localmente por um plano, como mostram as figuras a seguir O eemplo a seguir mostra o cálculo de um plano tangente. Eemplo 2: calcule o plano tangente à função f(,) = em ( 0, 0 ) = (0,1). Solução: a equação de um plano pode ser escrita como = a + b + c, onde a, b e c são constantes. Para que um plano seja tangente à função dada em (1, 1). Sendo assim, devemos ter (0, 1) = f(0, 1) 0 + b + c = b + c = 3. Além disto, o plano deve, localmente, ter a mesma inclinação que a função com relação aos eios e, o que implica que as derivadas parciais com relação às duas variáveis do plano e da função devem ser iguais no ponto (0, 1). Como as derivadas parciais de f(, ) e de (, ) são, respectivamente, f = 2, f = 2, = a, = b, devemos ter 4.0 (0, 1) = f (0, 1) a = 0, (0, 1) = f (0, 1) b = 2. Substituindo na primeira equação conseguida, temos c = 3 b c = 3 ( 2) = 5. Portanto, a equação do plano tangente fica = Os gráficos da função e do plano tangente são feitos na figura ao lado. Vamos, agora, determinar a equação geral do plano tangente a uma função f(,) em um ponto ( 0, 0 ). Sabemos que um plano tem uma equação do tipo = a + b + c, onde a, b e c são constantes. Para que esse plano seja tangente a uma determinada função f(,) em um ponto ( 0, 0 ), ele deve satisfaer as seguintes condições: ( 0, 0 ) = f( 0, 0 ) a 0 + b 0 + c = f( 0, 0 ), ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) a = f ( 0, 0 ), ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 ) b = f ( 0, 0 ). Substituindo os valores de a e b na primeira equação, temos c = f( 0, 0 ) a 0 b 0 c = f( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) 0 f ( 0, 0 ) 0. Portanto, a equação do plano tangente fica = f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ) + f( 0, 0 ) f ( 0, 0 ) 0 f ( 0, 0 ) 0.

3 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 3 Colocando f ( 0, 0 ) e f ( 0, 0 ) em evidência, ficamos com a seguinte equação para o plano tangente: = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ). Vamos utiliar essa fórmula no cálculo de um outro plano tangente. Eemplo 3: calcule o plano tangente à função f(,) = ep( ) em ( 0, 0 ) = (0,0). Solução: as derivadas parciais da função dada são Sendo assim, temos f = ep( ) ( 2 + 2), f = ep( ) ( 2 + 1). = f(0, 0) + f (0, 0)( 0) + f (0, 0)( 0) = e 0 + e e 0 1 = O conceito de plano tangente pode ser generaliado para funções de mais de duas variáveis. Para funções de três variáveis, por eemplo, temos o espaço tangente, que é um espaço que tangencia em um determinado ponto a figura quadridimensional que representa a função. Para funções com mais variáveis é comum nos referirmos a hiperplanos tangentes a determinadas funções. Eemplo 4: calcule o espaço tangente à função f(,) = 3 3 em ( 0, 0, 0 ) = (1,0,1). Solução: por analogia, vamos considerar esse espaço tangente como tendo sua equação dada por w = f( 0, 0, 0 ) + f ( 0, 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0, 0 )( 0 ). As derivadas parciais da função dada são f = 3 3, f = 3 2 e f = 3. Sendo assim, temos w = f(1, 0, 1) + f (1, 0, 1)( 1) + f (1, 0, 1)( 0) + f (1, 0, 1)( 1) = = 3 + ( 3)( 1) ( 3)( 1) = = Diferenciais Começamos esta seção recordando o conceito de diferencial para funções de uma variável. Começamos recordando o que é a variação f de uma função f() quando sua variável independente muda em, que é dada por f = f( + ) f(). A diferencial df pode ser vista como uma aproimação linear da variação f quando essa variação for muito pequena. Ela é a variação não da função, mas de sua reta tangente em um determinado ponto 0. O primeiro gráfico a seguir mostra a variação f de uma função f() mediante uma mudança na variável. O segundo gráfico mostra a diferencial df decorrente de uma variação d = na variável independente. Note que uma é baseada na reta secante entre e + e a outra na reta tangente à função no ponto (,f()). Embora f e df não sejam iguais, essas variações são bastante próimas se tender a ero. f( + ) f f() + df df f() f() + + d

4 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 4 Para montarmos uma equação que determine a diferencial, lembremos que o coeficiente angular da reta tangente à função f() em (,f()) é dado por a = f (). No entanto, do gráfico dessa reta tangente mostrado acima podemos ver que o coeficiente angular da reta tangente pode ser escrito a = df df = ad, d onde na equação acima df d é um quociente e não a derivada escrita na notação de Leibni. Como a = f (), conseguimos a fórmula df = f ()d. A epressão acima relaciona o que chamamos de diferencial de f com a diferencial de. Vejamos um eemplo. Eemplo 1: calcule a diferencial da função f() = 2. Solução: temos que df = f ()d df = 2d. No caso de funções de duas variáveis, vamos definir a variação de f(, ) quando varia em e varia em + como sendo dada por A variação do plano tangente ao ponto ( 0, 0 ) fica f = f( +, + ) f(,). = ( +, + ) (,) = [f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( + 0 ) + f ( 0, 0 )( + 0 )] [f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 )] = = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 ) f( 0, 0 ) f ( 0, 0 )( 0 ) f ( 0, 0 )( 0 ) = f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). As duas figuras a seguir mostram a diferença entre a variação f para uma determinada função e a variação do plano tangente a ela em um ponto ( 0, 0 ). f Eemplo 2: calcule a variação f da função f(,) = quando varia de = 0 até = 0,7 e varia de = 1 até = 1,3. Depois, calcule a variação do plano tangente a f(,) em ( 0, 0 ) = (0,1) quando e sofrem as mesmas variações. Solução: temos f = f( +, + ) f(, ) = 4 ( + ) 2 ( + ) = = [ ( ) 2] [ ( ) 2] = = 2 2 ( ) ( ) = 2 ( ) 2 2 ( ) 2. O plano tangente a essa função no ponto (0, 1) já foi calculado no eemplo 2 da seção passada. O resultado é = 5 2. Para esse plano tangente, temos = ( +, + ) (, ) = 5 2( + ) = = 2.

5 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 5 De acordo com as variações dadas pelo problema, temos = 0, = 0, 7, = 1 e = 0, 3, de modo que f = 2 0, 7 0, , 3 0, 3 2 = 1, 4 0, 49 0, 6 0, 09 = 2, 58, = 2 0, 3 = 0, 6. As curvas resultantes das variações estipuladas sobre as superfícies do gráfico da função e do plano tangente estão representadas nas figuras a seguir Vimos, então, que a variação de um plano tangente a uma função f(,) em um ponto ( 0, 0 ) quando temos uma variação e é dada por = f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). Se partirmos de um ponto (,) genérico e escrevermos df =, d = e d =, ficamos com a definição da diferencial de uma função de duas variáveis: df = f d + f d. A diferencial de uma função de mais de uma variável é também chamada diferencial total. Esta definição é usada nos dois eemplos a seguir. Eemplo 3: calcule a diferencial da função f(,) = sen ( 2 ). Solução: como f = cos( 2 ) 2, f = cos( 2 ) 2, temos df = 2 cos( 2 )d + 2 cos( 2 )d. A seguir, mostraremos uma aplicação de diferenciais à produção industrial utiliando a função de produção de Cobb-Douglas, vista pela primeira ve no Capítulo 1.1: P(K,L) = AK α L 1 α, onde P é a produção, A é a constante tecnológica, K é o capital investido em infra-estrutura e maquinário e L é o capital investido em trabalho. Eemplo 4: consideremos novamente a função de produção de Cobb-Douglas P = K 0,6 L 0,4. Calcule a variação dessa função quando o capital investido em infra-estrutura varia em K e o capitla investido em trabalho varia em L. Depois, calcule a diferencial de P(K,L). Use esses resultados para calcular P e dp quando K = L = 1 Solução: para a variação de P(K, L), temos P = P(K + K, L + L) P(K, L) = (K + K) 0,6 (L + L) 0,4 K 0,6 L 0,4. Para calcular a diferencial de P(K, L), precisamos das derivadas parciais de P, que ficam P K = 0, 6K 0,4 L 0,4, P L = 0, 4K 0,6 L 0,6. Portanto, a diferencial fica Para K = L = 1, temos dp = 0, 6K 0,4 L 0,4 dk + 0, 4K 0,6 L 0,6 dl. P = (1 + K) 0,6 (1 + L) 0,4 1 0,6 1 0,4 = (1 + K) 0,6 (1 + L) 0,4 1, dp = 0, 6 1 0,4 1 0,4 dk + 0, 4 1 0,6 1 0,6 dl = 0, 6dK + 0, 6dL.

6 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 6 Note que a fórmula para a diferencial estabelece uma relação linear entre a variação do capital investido e a variação da produção. Por eemplo, para uma variação dk = 0, 1, temos uma variação dp = 0, 6 0, 1 = 0, 06 na produção. O mesmo tipo de relação não eiste na fórmula eata, mas muito mais complea, da variação P. Eemplo 5: use as equações obtidas no eemplo anterior para calcular a variação da produção e a sua diferencial quando K varia de 1 a 0,2 e L varia de 1 a 0,1. Solução: vamos calcular a variação P para K = L = 1, K = 0, 2 e L = 0, 1: P = (1 + 0, 2) 0,6 (1 + 0, 1) 0,4 1 = 1, 2 0,6 1, 1 0,4 1 0, A diferencial para K = L = 1, dk = 0, 2 e dl = 0, 1, fica dp = 0, 6 0, 2 + 0, 4 0, 1 = 0, , 04 = 0, 16. Os dois resultados são parecidos, pois os valores das variações são pequenos. O eemplo 5 mostra uma aplicação da diferencial que é usada freqüentemente. Em geral, é muito mais rápido calcular a diferencial do que a variação de uma função. A outra vantagem é que a diferencial epressa uma relação linear entre a variação e o resultado. Isto está epresso no eemplo a seguir. Eemplo 6: utiliando a mesma função de produção do eemplo anterior, P = K 0,6 L 0,4, faça uma tabela para os valores de P e dp onde, partindo de K = L = 1 e K = dk = L = dl = 0, sejam feitos incrementos de 0,1 em K = dk até chegar ao incremento K = dk = 1. Solução: fiando K = L = 1, L = dl = 0 e deiando K = dk livres, temos: P = P(1 + K, 1 + 0) P(1, 1) = = (1 + K) 0,6 1 0, 4 1 0, 61 0, 4 = = (1 + K) 0,6 1, dp = 0, 6 1 0,4 1 0,4 dk + 0, 4 1 0,6 1 0,6 0 = = 0, 6 dk. Note, desde já, que dp estabelece uma relação direta, linear, entre dp e dk, sendo que o mesmo não acontece para P e K. Calculando agora a variação e a diferencial para os valores pedidos de K = dk, obtemos a tabela ao lado (os resultados de P estão rerpesentados com três casas decimais de precisão). O gráfico ao lado mostra o comportamento de P (em vermelho) e de dp (em aul) conforme variamos K = dk. Note que dp tem uma relação linear com dk (linha reta no gráfico) e que os valores de P e dp são bastante parecidos para valores pequenos de K = dk, mas vão ficando mais distantes conforme essas variações ficam mais pronunciadas. 0, 5 0, 25 0 P, dp K = dk p dp , 1 0, 059 0, 06 0, 2 0, 116 0, 12 0, 3 0, 170 0, 18 0, 4 0, 224 0, 24 0, 5 0, 275 0, 3 0, 6 0, 326 0, 36 0, 7 0, 375 0, 42 0, 8 0, 423 0, 48 0, 9 0, 470 0, , 516 0, 6 0, 25 0, 5 0, 75 1 K = dk Também podemos generaliar o conceito de diferenciais para funções de mais de duas variáveis. Por eemplo, a diferencial de uma função f(,,) é dada por df = f d + f d + f d.

7 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 7 Resumo Aproimação linear: o plano tangente a uma função f(,) em ( 0, 0 ) é dado por = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ). Diferenciais: a diferencial de uma função f(,) é dada por df = f d + f d.

8 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 8 Eercícios - Capítulo 3.1 Nível 1 Aproimação linear Eemplo 1: calcule a equação do plano tangente à função f(,) = ln( 2 ) em (,) = (1,1). Solução: primeiro, calculamos as derivadas parciais da função: f = = 1, f = = 2. Agora, calculamos a equação do plano tangente, dada por Para (, ) = (1, 1), temos = f( 0, 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ). = ln(1 1 2 ) ( 1) + 2 ( 1) = ( 1) + 2 ( 1) = = E1) Calcule as equações dos planos tangentes às seguintes funções, nos pontos determinados: a) f(,) = 3 em (,) = (1, 1), b) f(,) = em (,) = (0,0), c) f(,) = em (,) = (1,1), d) f(,) = 2 + cos em (,) = (1,0), e) f(,) = 2 + cos em (,) = (0,0), f) f(,) = em (,) = (2,1), g) f(,) = e 2 2 em (,) = (0,0), h) f(,,) = em (,,) = 1. Diferenciais Eemplo 2: calcule a diferencial da função f(,) = ln( 2 ). Solução: como as derivadas parciais da função já foram calculadas no eemplo 1, temos df = 1 d + 2 d. E2) Calcule as diferenciais das funções do eercício E1. Eemplo 3: para a função dos eemplos 1 e 2, calcule, com precisão de três casas decimais, f e df para (,) = (1,1), = d = 0,1 e = d = 0,1. Solução: temos f = f( +, + ) f(, ) = f(1 + 0, 1, 1 + 0, 1) f(1, 1) = f(1, 1, 1, 1) f(1, 1) = = ln(1, 1 1, 1 2 ) ln(1 1 2 ) = ln(1, 331) ln 1 = ln(1, 331) 0, 286, df = 1 1 0, , 1 = 0, 1 + 0, 2 = 0, 3. 1 E3) Calcule, com precisão de três casa decimais, a variação f e a diferencial df de cada uma das funções do eercício E1 para o ponto dado naquele eercício quando = d = 0,1 e = d = 0,1.

9 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 9 Nível 2 E1) O plano tangente à superfície que representa uma função f(,) no ponto (1,1,7) é = Determine f (1,1) e f (1,1). E2) Determine a equação do plano tangente à superfície dada por f(,) = e que é paralelo ao plano = E3) Determine a equação do plano tangente à superfície dada por f(,) = 2 que passa pelos pontos (1,0, 1) e (0,1,0). E4) Dada f(,) = 2 2 em (,) = (1,1), calcule a variação f e a diferencial df relativas às mudanças = d = 0, 01 e = d = 0, 02. Use uma precisão de quatro casas decimais nas respostas. E5) Uma chapa de aço industrial deveria ter 2 m de largura por 3 m de comprimento, mas o processo de fabricação pode cometer erros de até 2 mm em ambas as dimensões. Utiliando o conceito de diferencial, estabeleça uma fórmula que dê a área aproimada da chapa dados erros d no comprimento e d na largura da chapa. Utilie essa fórmula para determinar o quanto a área da chapa pode variar dependendo dado o intervalo possível de erros nas dimensões desta. E6) Sua empresa, cuja produção é modelada por P(K,L) = K 0,6 L 0,4, tem 1 milhão de reais investidos em capital e 1 milhão gastos em trabalho. a) Calcule P = P(K + K,L + L) P(K,L) e dp = P K dk + P L dl para esses valores de investimento. b) Suponha que você tenha cinco segundos para decidir qual o efeito sobre a produção de um investimento etra de 0,2 milhão em capital e 0,1 milhão em trabalho. Qual será o resultado calculado? E7) Considere uma função de Cobb-Douglas P(K,L) = AK α L 1 α. a) Calcule dp P. b) Dado que dp P = adk + bdl, eplique os significados das constantes a e b. Nível 3 E1) Todo eecutivo que viaja para países frios como o Canadá tem que se preocupar com a chamada sensação térmica causada pelo vento, mais conhecida pelo nome em inglês wind-chill factor. Esse fator considera a sensação que uma pessoa eposta ao vento tem da temperatura em sua pele. Quanto maior a velocidade do vento, mais frio a pessoa sentirá. A tabela a seguir mostra a sensação térmica (em o C) da temperatura W sentida como função da temperatura T (em o C) medida em um termômetro e da velocidade v (em km/h) do vento. T \ v Fonte: James Stewart, Calculus, 5th Edition. Calcule a aproimação linear para a função W(T,v) para o ponto ( 15,50, 29) e use-a para calcular a sensação térmica aproimada para uma temperatura real de 17 o C a uma velocidade do vento de 55km/h. E2) Um tubo cilíndrico de alumínio é feito com uma chapa 0,5 cm de espessura. O raio interno do tubo é r = 1m e a sua altura é h = 2m.

10 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 10 a) Calcule o volume de material utiliado na fabricação do tubo. b) Utiliando uma diferencial, calcule o volume aproimado de material utiliado na fabricação desse tubo. E3) Uma lata cilíndrica de raio eterno r e altura eterna h é toda feita do mesmo material. A espessura da chapa retangular utiliada para faer os lados da lata é r e a espessura das chapas circulares utiliadas para faer a tampa e a base da lata é h. a) Calcule uma epressão para o volume V do material utiliado na confecção dessa lata. b) Escreva uma epressão aproimada para o volume V do material utiliado na lata que seja linear em r e em h. c) Utilie as epressões deduidas nos itens a e b para calcular o volume verdadeiro e aproimado do material utiliado na lata quando r = 4cm, h = 10cm, r = 0,05cm e h = 0,1cm. E4) Faça a aproimação linear de f(,) = em (1,2) e use esse resultado para aproimar a epressão (1,02) 2,01. Compare esse resultado com o valor verdadeiro da epressão. E5) Faça a aproimação linear de f(,,) = 2 em (2, 1,1) e use esse resultado para aproimar a epressão (1,02)( 0,99) 2 (2,01). Verifique se essa aproimação é válida e calcule o valor verdadeiro da epressão. E6) Considere um plano a + b + c + d = 0. Podemos conseguir a equação da reta normal a um ponto ( 0, 0, 0 ) desse plano por meio de um vetor gradiente. Começamos considerando o plano como uma superfície de nível de uma função (quadridimensional) f(,, ) = a + b + c + d. O gradiente dessa função pode ser escrito f( a 0, 0, 0 ) = b. Lembrando agora que o gradiente é um vetor que é ortogonal às curvas de nível c (superfícies de nível, neste caso), então uma linha que ligue o ponto ( 0, 0, 0 ) ao ponto ( 0 + a, 0 + b, 0 + c) pertencerá à reta normal ao plano dado. Podemos escrever uma equação para a reta normal da seguinte forma: ( 0, 0, 0 )+(a,b,c)t, onde t varia no intervalo de todos os números reais, percorrendo, assim, uma reta completa. Use esse conhecimento para determinar a equação da reta normal ao plano tangente à superfície dada por f(,) = no ponto (1,1,2). E7) Considere novamente a função f(,) = e o plano tangente a ela no ponto (1,1,3). Calcule a posição do ponto que está a uma distância de 1 unidade desse plano tangente a partir do ponto (1,1,3). E8) Considere o elipsóide dado por 2 a b = 1. Mostre que a equação do plano tangente a esse elipsóide c2 em um ponto ( 0, 0, 0 ) dessa superfície é dada por 0 a b c 2 = 1. Respostas Nível 1 E1) a) = 3 3 +, b) = 3 +, c) = 9 6 4, d) = 1 + 2, e) = 1 + 2, f) = 2 3, g) = 1, h) = (este não é bem um plano tangente, mas um espaço tangente a uma superfície quadridimensional). E2) a) df = 3 2 d + 3 d, b) df = (2 3)d + (2 + 1)d, c) df = 6d 4 d, d) df = 2 d sen d, e) df = 2 d sen d, f) d 3 d, g) df = e 2 d 2 e 2 2 d, h) df = 2d + 4 d 6 d. E3) a) f 0, 200, df = 0, 2; b) f = 0, 18, df = 0, 2; c) f = 1, 05, df = 1; d) f 0, 195, df = 0, 2; e) f 0, 195, df = 0, 2; f) f 0, 117, df = 0, 1; g) f 0, 911, df = 0; h) f = 0, df = 0.

11 Cálculo 2 - Capítulo Aproimação linear e diferenciais 11 Nível 2 E1) f (1, 1) = 4 e f (1, 1) = 5. E2) = E3) = E4) f 0, 0096 e df = 0, 01. E5) A = + d + d. A área da chapa pode variar entre 5, 99 m 2 e 6, 01 m 2. E6) a) P = (1 + K) 0,6 (1 + L) 0,4 1 e dp = 0, 6dK + 0, 4dL. b) 0, 16 milhão de reais. E7) a) dp P = α K dk + 1 α L dl. b) a = α K de uma unidade no investimento em capital; a = 1 α L um aumento de uma unidade nos gastos com trabalho. Nível 3 é a variação percentual aproimada da produção quando ocorre um aumento é a variação percentual aproimada da produção quando ocorre E1) = , 2(T + 15) 0, 1(v 50) = 6 + 1, 2T 0, 1v e W( 17, 55) 31, 9 o C. E2) a) V = 0, 02π 0, b) O resultado é igual: V = 0, 02π 0, E3) a) V = πr 2 (h 2 h) π(r r) 2 (h 2 h) + 2πr 2 h = 2πrh r + 2πr 2 h πh( r) 2 4πr r h + 2π( r) 2 h. b) V = 2πrh r + 2πr 2 h. c) V = 7, 0955π 22, 2912 e V = 7, 2π 22, E4) = 2 1 e (1, 02) 2,01 1, 04. O valor verdadeiro da epressão é (1, 02) 2,01 1, 0406, portanto a aproimação é boa. E5) = = e (2, 02)( 0, 99) 2 (1, 01) 0, 895. O valor verdadeiro da epressão é (2, 02)( 0, 99)2 (1, 01) 0, 9848, o que indica que o valor obtido pela aproimação linear foi uma boa aproimação do valor real. E6) (1, 1, 2) + (2, 2, 1)t. E7) Na verdade, são dois os pontos, um de cada lado da superfície do plano tangente: E8) Primeiro, isole a variável e calcule a seguinte equação do plano tangente: ( 5 3, 5 3, 7 ) ( 1 e 3 3, 1 3, 5 ). 3 ( ) 1/2 ( = ±c a b 2 ± ) ( ) 1/2 ( 0c a a b 2 ( 0 ) ± ) ( ) 1/2 0c b a b 2 ( 0 ). Depois, transforme em uma equação do tipo = 0 0c 2 0 a 2 ( 0) 0c 2 0 b 2 ( 0), escreva essa equação na forma 0 c a 2 + ( ) 0 2 b 2 0 a b c 2 = 0 e use a equação do elipsóide para chegar ao fim da demonstração.