Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período Para saber a dimensão disso aqui basta escalonar e resolver o sistema.

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1 Resolução da 1ª Prova de Álgebra Linear II da UFRJ, período OBS: Todas as alternativas corretas são as letras A. 1) Para saber a dimensão disso aqui basta escalonar e resolver o sistema. Escalonando, teremos: Essa forma já é a escalonada, pois não há mais vetores múltiplos ou combinação linear entre dois outros. Daqui podemos resolver de algumas formas, vamos colocar apenas duas delas para você escolher qual você se sentiria mais seguro na hora da prova. Uma forma é resolver o sistema mesmo e analisar qual a dimensão. Temos que: Como w=0, temos que:

2 Multiplicando (I) por -2, e somando com (II), temos: Logo, o conjunto solução pode ser dado por: Solução: Logo a dimensão é 1. Mas por que você trocou o x por s? É só pra dizer que s é um valor qualquer de x, já que estamos utilizando x como uma incógnita! Outra forma de ver essa questão é apenas notando que essa equação é da forma A =0. Dessa forma o vetor x será o núcleo da matriz. Logo, pelo Teorema Núcleo-Imagem, temos: Como a ) é igual a quantidade de vetores L.I. que a matriz possui, temos que: 2) Logo: e então, Para facilitar a nossa vida e evitar o máximo de contas, podemos escalonar a matriz aumentada. Logo, temos: Tá,escalonamos! Agora é só multiplicar pelo vetor e resolver. Simples assim!

3 3) Para a equação ter solução única basta a matriz A, de uma equação do tipo Linearmente Independente, ou seja, ela não pode ser Linearmente Dependente., ser Escalonando a matriz, temos: Para ser Linearmente Dependente, basta ter uma linha de zeros. Como queremos que seja Linearmente Independente, nenhuma linha pode ser de zeros, logo e então 4) Uma matriz m x n leva vetores do., ou seja, é uma transformação do tipo Pelo Teorema do Núcleo-Imagem, temos: Vamos analisar as alternativas: Se, sua dimensão é zero, logo: O que já faz das letras b,c e d falsas. Como, o maior valor que a pode assumir é n (quando a ).Se,por exemplo, a será n-1. Mas como o menor valor que m pode assumir é n,se o que torna a alternativa A correta. 5) Parece estranha essa questão, mas nem é! Ele já diz que T(x,y,z)=(0,0), logo:

4 Passando pra forma matricial, temos: Escalonando, temos: Temos 3 incógnitas e 2 equações L.I.s, logo: 6) Temos v na base são os coeficientes da combinação linear de que formam v. Hãn? Como assim? Devemos fazer a combinação linear das componentes de Como a=4: Logo,. 7) Substituindo os valores de p(1) e p(2), a gente vai ter:

5 Termo quadrático Temos um termo quadrático, isso nem linear é, logo não é subespaço. 8) Para achar uma base para H, basta escalonar e eliminar as linhas nulas. Nesse caso, a gente vai ter: Então, temos que isso que a gente acabou de encontrar é uma base. As combinações lineares dos vetores de uma base, também são bases, logo, realizando a soma, teremos: Que são os vetores da alternativa A. 9) Para achar a dimensão de W é essencial notar que ele está contido no não aparece.resolvendo o sistema, temos: e que a incógnita c Só mudança de parâmetro! Logo, temos que a solução é: Vetor com a incógnita c que não aparece. Logo, a dimensão de W é 2. 10)

6 Para um conjunto ser Linearmente Independente todos os seus vetores devem ser Linearmente Independentes entre si, o que torna a letra a verdadeira e a c falsa. Um conjunto gerador na dimensão de S, deve conter todos os vetores de S, e não apenas parte deles, o que tornam as letras b e d erradas. 11) Vamos julgar a alternativa a, que claramente é a falsa. a) A,B e C não podem ser todos Linearmente Dependentes, pois sua combinação linear deve gerar dimensão 2, e se todos os conjuntos forem linearmente dependentes, o máximo que ele pode gerar é dimensão 1. 12) Vamos analisar: Para m<n, teremos mais equações que incógnitas, o que nos impossibilita de ter solução única, apenas é possível ter várias soluções ou nenhuma solução, o que já elimina a letra B e nos dá a letra A como correta. Se tivéssemos m=n poderíamos ter mais de uma solução ou nenhuma solução também (letras C e D), bastaria ser um conjunto Linearmente Dependente. 13) Na letra A, a gente vê a definição de conjunto Linearmente Independente, justamente que todos os seus vetores sejam LIs. Já na letra B, ele nos afirma que um conjunto LD gera um espaço inteiro, o que é errado, por exemplo: Ao escalonar vamos ver que ele só gera um vetor, ou seja, um espaço de dimensão 1, o que não é o espaço inteiro, neste caso, de dimensão 2. Na letra C, justificamos o erro citando o conceito de conjunto Linearmente Dependente. Para um conjunto ser LD, temos que pelo menos um vetor seja LD em relação aos outros e não todos. E por último na letra D está errada pois os conjuntos LIs que geram o espaço inteiro. 14) Queremos um vetor que leve do. Aplicando as respostas em vetores, vemos:

7 Vetor em vetor em Daí a gente percebe que sempre que uma matriz for m x n ele fará transformações de. Nesse caso, se leva de a matriz será 2 x 3. 15) Escalonando a matriz, a gente tem: Daí, a gente pode fazer o seguinte sistema: Das alternativas, a única que se substituímos os valores encontramos 1=1 será a letra A, pois: X=0, y = -1+-4t e z= 1+2t. Substituindo lá, fica: 16) Temos que p = Essa expressão não é de mas sim de pois não conserva o grau do polinômio, todas as outras alternativas conservam o grau do polinômio (todos permanecem com grau 3). Bons Estudos!! Dúvidas? Acesse o Solucionador na página ou mande para contato@engenhariafacil.net.