2 a PROVA CONTROLE DINÂMICO Turma B 2 /2015

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1 ENE/FT/UnB Departamento de Engenharia Elétrica Prova individual, sem consulta. Faculdade de Tecnologia É permitido usar calculadora. Universidade de Brasília Prof. Adolfo Bauchspiess Auditório SG11, 21/1/215, a PROVA CONTROLE DINÂMICO Turma B 2 /215 Nome: Matrícula: Curso: Eng. SISTEMA DE 2 A ORDEM SEM ZEROS t r(1-9%) = 1,8/ω n t p = π/ω d t s(2%) = 4/σ Mp(%) Sobrepasso Percentual M p = e πζ 1 ζ ζ - Fator de Amortecimento 2 1ª Questão: (4,) Esboce o Lugar Geométrico das Raízes de D(s)G(s) em função do ganho K. Assuma inicialmente K > (LGR + ). a) (,5) Parte real do LGR. b) (,5) Assíntotas e centróide. c) (,5) Pontos de Ramificação. d) (,5) Ângulos de partida e chegada dos pontos de ramificação. e) (,5) Valores de K, < K <, para os quais o sistema é estável. f) (,5) Interseção do LGR com o eixo jω g) (,5) Complete o LGR (de cada polo sai um ramo, continuidade, simetria etc) h) (,5) Esboce agora o LGR - (K < ). (Nenhum cálculo adicional é necessário todos os valores de interesse foram obtidos no esboço do LGR + ). Obs: Candidatos a pontos de ramificação. conv( ) convolução produto de polinômios. w= ; roots(conv([2 7],[1 w -1 -w ])-conv([1 7 1],[4 3*w -2 -w])) = { ; ; ; ;.5125} roots(conv([2 7],[1 w -1 -w ])-conv([1 7 1],[4 3*w -1-2*w])) = { ± 1.241i; ;.7775; } roots(conv([2 7],[4 3*w -1 -w 1])-conv([1 7 1],[4 3*w -2 -w])) ={ ; ; ;.5853; } 2ª Questão: (3,) Considere o projeto de um controlador D(s) para um processo, G(s), com realimentação unitária e saturação do atuador.

2 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 2 Especificações de projeto: I. Sobrepasso da resposta à r = 1/s, M p 1 %; II. Tempo de pico, t p = 1,57 s; III. Tempo de acomodação, t s(2%) 2 s; IV. Perturbações constantes devem ser rejeitadas completamente. V. Evitar, sempre que possível, que u sature. VI. Controlador realizável D(s) é função própria (acréscimo de polo em s = -1). a) (,5) Qual valor de s (posição dos polos dominantes) atende todas as especificações da resposta transitória e mantém u longe da saturação? b) (,5) Mostre que um compensador PID é necessário para que sejam atendidas todas as especificações de projeto. c) (2,) Projete D(s), de forma a atender às especificações I a VI. 3ª Questão: (3,) Considere a resposta G(jɷ) de um sistema que, em malha aberta, possui dois polos no semi-plano direito. r e K G( jω) y Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) a) (,8) Para K = 1, qual a Margem de Ganho e a qual Margem de Fase? b) (1,2) Esboce o diagrama de Nyquist correspondente. c) (,5) Em malha fechada, quais valores de K, < K <, produzem respostas estáveis? d) (,5) Considerando K = 1, qual o erro e ss = (r y) t, para r = 1/s 2. Frequency (rad/s)

3 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 3 1ª Questão: (4,) RESOLUÇÃO a) (,5) Parte real do LGR: [ , -5]; [-2, -1]; [, 1]; b) (,5) Assíntotas e centróide. 2 assíntotas, ±9 ; centroide (Σp-Σz)/(n-m) = c) (,5) Pontos de Ramificação. b(s)=s 2 +7s+1; a(s)=s s 3 -s s corresponde a roots(b(da/ds)-a(db/ds)) ={ ; ; ; ;.5125} São pontos de ramificação: LGR + :.5125, (duplo); LGR - : -2.5 e d) (,5) Ângulos de partida e chegada dos pontos de ramificação. em , chegada: ±6, 18 ; partida: ±12, em.512, chegada:, 18 ; partida: ±9. e) (,5) Valores de K, < K <, para os quais o sistema é estável. Routh-Hurwitz K > f) (,5) Interseção do LGR com o eixo jω. ω = ±3.389 rad/s (Por inspeção do LGR K 1; ω ± 3.5i) g) (,5) Complete o LGR (de cada polo sai um ramo, continuidade, simetria etc) h) (,5) Esboce agora o LGR - (K < ). Ramos no eixo real: (-, ], [-5, -2] e [1, ) Círculo (aprox.) conecta pontos de ramificação -2.5; Y (s) R(s) = s(s+54.15)(s+1)(s-1) = 1+ s(s+54.15)(s+1)(s-1) s(s+54.15)(s+1)(s-1)+ Y (s) R(s) = s s 3 + (K-1)s 2 + (7K )s+1K s 4 1 K 1 1K s K s K K s 1 A s K A = ((7K )47.145K 541, 45* K) / K = (33.157K K K) / K A = K K> E K> K > para s = jω s s 3 + (K-1)s 2 + (7K )s+1K= ω jω 3 (K-1)ω 2 + (7K )jω +1K = Re :ω 4 (K-1)ω 2 +1K = ω 2 = (K-1) Im : ω 2 + (7K )= ω = 3.389

4 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 4 LGR + 8 Root Locus 6 4 Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 ) LGR - Imaginary Axis (seconds -1 ) Root Locus

5 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 5 2ª Questão: (3,) Sobrepasso da resposta à r = 1/s, M p 1 % gráfico, ζ =,6 Tempo de pico, t p = 1,57 s π/ω d =1,57; ω d =2 Tempo de acomodação, t s(2%) 2 s; 4/σ =2; σ = 2 Perturbações constantes devem ser rejeitadas completamente. canal integral Evitar, sempre que possível, que u sature. Controlador realizável D(s) é função própria acréscimo de polo em s = -1. a) (,5) s = i b) (,5) Já considerando o canal integral a fase necessária é: 18-angle(1/(s*(s+1)*(s-1)))*18/pi = ; Considerando o polo adicional em angle(1/(s*(s+1)*(s-1)*(s+1)))*18/pi = = φ av c) (2,) Projete D(s), de forma a atender às especificações I a VI. Apenas o compensador PID fornece este avanço Zero duplo φ av /2 = 19.5 Δ=2*tan(19.5) z1=z2= s=-2+2i; K=abs(s*(s+1)*(s+1)*(s-1)/((s )*(s ))) = D(s) = (s )2 s(s+1) ts Mp tp Step Response S=stepinfo(feedback(g*d,1)) RiseTime:.2178 SettlingTime: ( < 2 s! ) SettlingMin:.9154 SettlingMax: Overshoot: ( < 1% L) Peak: (< 1.57 s! ) PeakTime:.6676 Amplitude Time (seconds)

6 2ª Prova- 2 Sem CONTROLE DINÂMICO ENE/UnB 6 3ª Questão: (3,) a) (,8) MG = 1,6 db MF = 68.2 db b) (1,2) Nyquist: (Obs: não necessário para a questão, só para conferir g=zpk([-1+2i -1-2i],[ 1 5],6)) 25 Root Locus db Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 ) 12 Bode Diagram Gm = 1.6 db (at 2.3 rad/s), Pm = 68.2 deg (at 27.1 rad/s) 1 8 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) c) K > 3,41; (K > 1,65 db) d) Na frequência,1 rad/s, passamos a ter = 114 db. Kv = lim sg(s) Kv =,1*5.e5 =5e4 e ss = 2e-5.