Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia. Aluno (a):

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1 Escola de Engenharia Laboratório ENG 3503 Sistemas de Controle Prof: Marcos Lajovic Carneiro 05 Aluno (a): Aula Laboratório 05 Cap 9 Projeto do compensador derivativo ideal (controlador PD) 1- Descrição: Podemos usar o MATLAB para projetar controladores PD. O programa permite entrar com o valor de ultrapassagem percentual desejado via teclado. O MATLAB produz então um lugar das raízes do sistema sem compensação com uma linha de ultrapassagem percentual superposta. Selecionamos de forma interativa a interseção do lugar das raízes e da linha de ultrapassagem percentual desejada para ajustar o ganho. O MATLAB fornece como saída uma estimativa das especificações de desempenho do sistema sem compensação e a resposta ao degrau do sistema não-compensado para que determinemos o tempo de assentamento necessário. Depois de entrar com o valor do tempo de assentamento através do teclado, o MATLAB projeta o controlador PD e produz o lugar das raízes do sistema compensado com PD a partir do qual podemos escolher o ganho de forma interativa. Finalmente, o MATLAB produz uma estimativa das especificações de desempenho e uma resposta ao degrau do sistema compensado com o controlador PD. 2- Problema, exemplo de códigos e atividade prática: PROBLEMA: Dado o sistema da figura abaixo, projete um compensador derivativo ideal para resultar em 16% de ultrapassagem, com uma redução de três vezes no tempo de acomodação. ATIVIDADE PRÁTICA: - Seguir passo a passo o roteiro - Compreender a teoria - Inserir corretamente os dados requeridos - Obter os gráficos apresentados no roteiro.

2 PROJETANDO O CONTROLADOR: 1 Passo) O primeiro passo é avaliar o desempenho do sistema sem compensação operando com 16% de ultrapassagem. Inserindo função de transferência: 'Sistema sem compensação' numg=1; % Gera o numerador de G(s). deng=poly([0-4 -6]); % Gera o denominador de G(s). 'G(s)' G=tf(numg,deng) % Cria e exibe G(s). pup=input('entre a ultrapassagem percentual desejada '); % Entra ultrapassagem percentual % desejada. 2 Passo) Calculando o fator de amortecimento. Insira a ultrapassagem: 16. z=-log(pup/100)/sqrt(pi^2+[log(pup/100)]^2); % Calcula o fator de amortecimento. 3 Passo) Com 16% de ultrapassagem o amortecimento é igual a ζ = 0,504. Procuramos ao longo da reta de amortecimento o ponto de encontro com o lugar das raízes. rlocus(g) % Traça o lugar geométrico das raízes % do sistema sem compensação. sgrid(z,0) % Sobrepõe a reta de ultrapassagem % percentual desejada. title(['lgr do Sistema sem compensação com ', num2str(pup),... '% de Ultrapassagem']) % Intitula o lugar geométrico das % raízes sem compensação. [K,p]=rlocfind(G); % Gera o ganho, K, e os polos em malha % fechada, p, para o ponto selecionado % interativamente sobre o lugar % geométrico das raízes. 'Polos em malha fechada = ' p % Exibe os polos em malha fechada. pause

3 4 Passo) Esse ponto representa então um múltiplo ímpar de 180 e constatamos que o par de polos dominantes de segunda ordem está em 1,205 ± j2,064. Como 16% de ultrapassagem é equivalente a ζ = 0,504, obtemos os seguintes pólos e o ganho: p = i i i K = Passo) Cálculo do tempo de acomodação do sistema sem compensação: Este cálculo é uma aproximação para um sistema de segunda ordem. Contudo, como o terceiro polo no eixo real está em -7,59 e observamos que sua distância do eixo imaginário é mais do que 6 vezes maior que a distância dos outros pólos do eixo imaginário. A aproximação é então válida.

4 6 Passo) Cálculo do novo tempo de acomodação Prosseguindo para a compensação do sistema com a determinação dos pólos dominantes do sistema compensado. Queremos que o tempo de acomodação do sistema compensado seja 3 vezes menor, portanto, T s /3 = 1,107. Portanto, a parte real do polo dominante de segunda ordem do sistema compensado será: 7 Passo) Encontrando novos pólos para sistema compensado Avançando na reta que indica o amortecimento de ζ = 0,504 para obter um pólo com a parte real calculada de -3,613 obtém-se o pólo indicado no gráfico seguinte:

5 A parte imaginária deste pólo é obtida da seguinte forma: 8 Passo) Inserindo pólo representa o ponto de operação do sistema e encontrando o pólo do sistema compensado de forma automática pelo código. f=input('entre o número do polo que é o ponto de operação '); % Escolhe o polo dominante do sistema % sem compensação. O vetor p possui 3 valores: p = i i i O pólo desejado ( i) está na posição 2 do vetor. Portanto, digite 2. 'Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no' 'lugar geométrico das raízes sem compensação' ponto_de_operacao=p(f) % Exibe o polo dominante sem % compensação. ganho=k % Exibe o ganho sem compensação. tempo_de_acomodacao_estimado=4/abs(real(p(f)))

6 % Exibe o tempo de acomodação sem % compensação. instante_de_pico_estimado=pi/abs(imag(p(f))) % Exibe o instante de pico sem % compensação. ultrapassagem_percentual_estimada=pup % Exibe a ultrapassagem percentual % sem compensação. fator_de_amortecimento_estimado=z % Exibe o fator de % amortecimento sem compensação. frequencia_natural_estimada=sqrt(real(p(f))^2+imag(p(f))^2) % Exibe a frequência natural sem % compensação. numkv=conv([1 0],numg); denkv=deng; sg=tf(numkv,denkv); sg=minreal(sg); Kv=dcgain(K*sG) erp=1/kv 'T(s)' T=feedback(K*G,1) step(t) % Configura o numerador para % calcular Kv. % Configura o denominador para % calcular Kv. % Cria sg(s). % Cancela polos e zeros comuns. % Exibe Kv sem compensação. % Exibe o erro de regime permanente % sem compensação para uma entrada % em rampa unitária. % Determina T(s) sem compensação. % Apresenta a resposta ao degrau do % sistema sem compensação. title(['resposta ao Degrau do Sistema sem Compensação com ',... num2str(pup),'% de Ultrapassagem']) % Adiciona um título à resposta ao % sem compensação. 'Pressione qualquer tecla para passar para a compensação PD' pause 9 Passo) Obtendo resposta no tempo do sistema sem compensação

7 10 Passo) Compensando o sistema através da inserção do zero na função de transferência. 'Sistema compensado' Ts=input('Entre o tempo de acomodação desejado '); % Entra o tempo de acomodação desejado % através do teclado. Insira o tempo de acomodação calculado desejado: T s /3 = 1,107 wn=4/(ts*z); % Calcula a frequência natural. polo_desejado=(-z*wn)+(wn*sqrt(1-z^2)*i); % Calcula a posição do polo % dominante desejado. angulo_no_polo_desejado=(180/pi)*... angle(polyval(numg,polo_desejado)/polyval(deng,polo_desejado)); % Calcula a contribuição angular no % polo desejado sem o compensador PD. angulo_do_pd=180-angulo_no_polo_desejado; % Calcula a contribuição angular % requerida para o compensador PD. zc=((imag(polo_desejado)/tan(angulo_do_pd*pi/180))... -real(polo_desejado)); % Calcula a posição do zero do % compensador PD. 'Compensador PD' numc=[1 zc]; % Calcula o numerador de Gc(s). denc=[0 1]; % Calcula o denominador de Gc(s) 'Gc(s)' Gc=tf(numc,denc) % Cria e exibe Gc(s). 'G(s)Gc(s)' Ge=G*Gc % Conecta G(s) e Gc(s) em cascata. rlocus(ge,0:0.005:100) % Traça o lugar geométrico das raízes % do sistema compensado com PD. sgrid(z,0) % Sobrepõe a reta de ultrapassagem % percentual desejada. title(['lgraízes Compensado com PD com reta de ', num2str(pup),... '% de Ultrapassagem']) % Adiciona um título ao lugar % geométrico das raízes compensado % com PD. 11 Passo) Marque o ponto de encontro do local das raízes com a reta de amortecimento. [K,p]=rlocfind(Ge); 'Polos em malha fechada = ' p % Gera o ganho, K, e os polos em malha % fechada, p, para o ponto selecionado % interativamente no lugar geométrico % das raízes. % Exibe os polos em malha fechada do % sistema compensado com PD. f=input('entre o número do polo que é o ponto de operação '); % Escolhe o polo dominante do sistema % compensado com PD. Digite 1.

8 'Resumo das especificações estimadas para o ponto selecionado no' 'lugar geométrico das raízes compensado com PD' ponto_de_operacao=p(f) % Exibe o polo dominante compensado % com PD. ganho=k % Exibe o ganho compensado com PD. tempo_de_acomodacao_estimado=4/abs(real(p(f))) % Exibe o tempo de acomodação % compensado com PD. instante_de_pico_estimado=pi/abs(imag(p(f))) % Exibe o instante de pico compensado % compensado com PD. ultrapassagem_percentual_estimada=pup % Exibe a ultrapassagem percentual % compensada com PD. fator_de_amortecimento_estimado=z % Exibe o fator de % amortecimento compensado com PD. frequencia_natural_estimada=sqrt(real(p(f))^2+imag(p(f))^2) % Exibe a frequência natural % compensada com PD. s=tf([1 0],1); sge=s*ge; sge=minreal(sge); Kv=dcgain(K*sGe) erp=1/kv % Cria a função de transferência, s. % Cria sge(s). % Cancela polos e zeros comuns. % Exibe o valor de Kv compensado. % Exibe o erro em regime permanente % compensado para uma entrada em % rampa unitária. 'T(s)' T=feedback(K*Ge,1) 'Pressione qualquer tecla para continuar e obter a resposta ao' 'degrau do sistema compensado com PD' pause step(t) % Cria e exibe T(s) compensada com PD % Apresenta a resposta ao degrau do % sistema compensado com PD. title(['resposta ao Degrau do Sistema Compensado com PD com ',... num2str(pup),'% de Ultrapassagem']) % Adiciona um título % à resposta ao degrau do % sistema compensado com PD. pause

9 12 Passo) Obtendo a resposta no tempo do sistema compensado: Tabela resumo do sistema com e sem compensação Estudar capítulo 9 Bibliografia: NISE, N. S. Engenharia de sistemas de controle. 5.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.