A 0,26 B 0,36 C 0,44 D 0,84

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1 EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI MATEMÁTICA A PRVA MDEL N.º + PRPSTA DE RESLUÇÃ.º AN DE ESCLARIDADE A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. Jacques Hadamard GRUP I ITENS DE ESCLHA MÚLTIPLA. Considera as treze primeiras letras do alfabeto. Quantas palavras, com ou sem sentido, se podem formar com oito dessas treze letras sabendo que eistem eactamente duas letras A e uma letra D e não eistem mais letras repetidas? A 8 A A B 8 C A C 8 C C D 8 C!. Seja S o espaço de resultados associados a uma certa eperiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis e independentes ( A S e B S ). Sabe-se que PB 0, P A B 0,. Qual é o valor de P A B? e A 0, B 0, C 0, D 0,8. Considera um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas com os números 0, 0, 0, 0, e e um dado tetraédrico equilibrado com as faces numeradas com os números 0, 0, e. Considera a eperiência aleatória que consiste em lançar, simultaneamente, os dois dados e verificar, em cada um deles, o número saído (no dado cúbico o número saído na face que fica voltada para cima e no dado tetraédrico na face que fica voltada para baio). Seja X a variável aleatória: X: «Soma dos números saídos». Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X? AI i 0 BI i 0 P X i P X i CI i 0 DI i 0 P X i P X i José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 9

2 . Considera um número real positivo a tal que 9 9a log a. Qual é o valor de log? A B C D. Na figura está parte da representação gráfica da função f, de domínio IR. r f A recta r é assimptota do gráfico de f. ponto de coordenadas, pertence à recta r que intersecta o eio no ponto de ordenada. Qual é o valor de f lim f? A B C D 9. Na figura está parte da representação gráfica da função g, segunda derivada de uma função g de domínio IR. g Em qual dos intervalos seguintes o gráfico da função g pode ter concavidade voltada para baio? A 0, B, C,0 D,0 José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 80

3 . Considera um número real não nulo a e sejam z ai valor de a de modo que o número compleo zz i seja um imaginário puro? e z a a ai dois números compleos. Qual é o A a B a a 0 C a a D a 8. Considera a figura, representada no plano compleo. Im(z) Re(z) Qual das seguintes condições define, em C, a região sombreada da figura, incluindo a fronteira? arg z i Im z A arg z i Rez B arg z i Im z C arg z i Imz D GRUP II ITENS DE RESPSTA ABERTA. Na figura está representado, no plano compleo, um quadrado ABCD inscrito numa circunferência centrada na origem. B Im(z) A Re(z) C D José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

4 . Sabe-se que A, B, C e D são as imagens geométricas das raízes quartas do número compleo z 8 8 i. Determina, na forma trigonométrica, os números compleos cujas imagens geométricas são os pontos A, B, C e D. Determina a área da região sombreada da figura.. Considera agora que A e B são as imagens geométricas dos números compleos z e z, respectivamente, e que o argumento de z é 9. Seja w cis. Determina, de modo que a imagem geométrica de w z pertença à bissectriz do segundo quadrante.. Numa escola do distrito de Santarém foi realizado um estudo com todos os alunos do.º Ano. Nesse estudo pretendia-se aferir as preferências relativamente aos cursos superiores que os alunos pretendiam ingressar.. No estudo cerca de 0% dos participantes eram rapazes e concluiu-se que: Entre os rapazes, dois terços preferiam cursos relacionados com a ciência; Entre as raparigas, 0% preferiam cursos relacionados com as letras... Escolhe-se, ao acaso, um aluno que prefere um curso relacionado com a ciência. Qual é a probabilidade de ser uma rapariga? (Apresenta o resultado na forma de fracção irredutível).. Considera agora que participaram no estudo 00 alunos. Pretende-se escolher seis alunos para uma comissão que vai organizar uma visita de estudo ao Museu da Faculdade de Ciências. A Sónia, presidente da associação de estudantes faz parte dessa comissão. Qual é a probabilidade dessa comissão ter alunos dos dois seos, mas mais rapazes que raparigas? Uma das respostas possíveis a este problema é: C 9 C C Numa pequena composição, eplica porquê. A composição deve incluir: Uma referência à Regra de Laplace; Uma eplicação do número de casos possíveis; Uma eplicação do número de casos favoráveis.. Num outro estudo, com os mesmos alunos, verificou-se que a variável aleatória X: «Peso das raparigas que participaram no estudo» tem uma distribuição aproimadamente normal de valor médio kg. Sabendo que cerca de % têm entre kg e kg, quantas raparigas têm peso inferior a kg ou superior a kg? José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

5 . Uma caia está dividida em n (n par) compartimentos numerados de a n. Pretende-se colocar duas bolas distintas nessa caia, em compartimentos distintos. Sabe-se que é a probabilidade de uma bola ficar num compartimento numerado com um número par e a outra num compartimento numerado com um número ímpar. Mostra que n.. Considera a função g, definida em IR por g cos sen e seja r a recta de equação. Mostra, utilizando o Teorema de Bolzano, que o gráfico da função g e a recta r se intersectam em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence ao intervalo,. Em seguida, utilizando métodos eclusivamente analíticos, verifica que esse ponto é único e indica as suas coordenadas.. Considera a função f, de domínio IR, definida por f ln.. Estuda a função f quanto à monotonia e à eistência de etremos relativos, determinando-os.. Mostra que o gráfico da função f não tem assimptotas.. Na figura estão representados, em referencial o.n., parte do gráfico da função f e uma recta s, tangente ao gráfico de f no ponto P. f P s Recorrendo à calculadora gráfica determina a abcissa do ponto P de modo que a recta s seja perpendicular à recta de equação. (Apresenta o resultado arredondado às centésimas) José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

6 . Em 98, com a eplosão do reactor nuclear de Chernobl, na Ucrânia, um dos isótopos radioactivos libertado foi o Césio (Cs). A massa m, em gramas, de Cs desintegra-se segundo a lei: bt m t ae, t 0 nde t é o tempo em décadas desde o instante inicial e a e b são constantes reais. A constante b depende do isótopo e a constante real a é a massa do isótopo libertada no instante inicial.. Passados 0 anos a massa de Cs presente no local era de 9, g e em 00 a massa de Cs presente no local era de,8 g. Determina o valor da constante real b e determina a massa de Cs libertada na altura a eplosão do reactor nuclear. (No caso de fazeres arredondamentos intermédios utiliza no mínimo quatro casas decimais. Apresenta o valor da massa de Cs libertada na altura da eplosão arredondado às unidades e o valor de b arredondado às milésimas). Considera agora que b 0,9. Determina o valor de de modo que m t 0, mt resultado no conteto do problema. (Apresenta o resultado arredondado às décimas). Interpreta o José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

7 RESLUÇÃ DA PRVA MDEL N.º GRUP I ITENS DE ESCLHA MÚLTIPLA. Consideremos o seguinte esquema: Se as duas letras A ficassem nas duas primeiras posições e a letra D na terceira posição temos: As duas letras A podem ocupar as oito posições de 8 C maneiras distintas. Entre as restantes seis posições disponíveis escolhemos uma para a letra D, o número de maneiras de o fazer é C. Por fim escolhemos, ordenadamente, cinco letras entre as restantes onze para ocuparem as posições que restam, o número de maneiras de é fazer é dado por A. Logo o número total de palavras nas condições pedidas é dado por 8 C A e a resposta correcta é a B.. i) Como os acontecimentos A e B são independentes então PA (Também se tem PA B PA PB P A B Assim como PA B 0, então P A 0,. ii) PA B PA PBPA B A resposta correcta é a C. Justificações: i) A A D S A 0 98 A P A P B P B P A B i) PA PB PB PA PB AB A B PA B PB PA B ). 0, 0, 0, 0, 0, 0, B Nota : Esta questão poderia ser resolvida de outra maneira, usando a seguinte propriedade: Se os acontecimentos A e B são independentes então os acontecimentos A e B também são independentes. Demonstração: Como os acontecimentos A e B são independentes então PA B PA PB. Assim: P A B P B P A B P B P A P B P B P A P A P B Então os acontecimentos A e B também são independentes. Usando então esta propriedade vem: P A B P A P B P A B 0, 0, P A P B 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, Nota : Demonstra-se, utilizando um processo semelhante, que se os acontecimentos A e B forem independentes então os acontecimentos A e B também são independentes.. Vamos começar por fazer uma tabela de dupla entrada para ajudar na resolução desta questão. Assim temos: Com a ajuda da tabela concluímos que a variável aleatória X toma os valores 0,, e, ou seja, X 0,,,. E que as respectivas probabilidades são: 8 PX 0 8 PX PX PX José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 9

8 Logo a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é dada por: i 0 P X i A resposta correcta é a A.. Tem-se 8 log9 a a 9 a a. Então: log 9a 9 log log 9 log 9 log log log A resposta correcta é a B.. i) Como os pontos de coordenadas A, e B0, pertencem à recta r então AB é um vector director da recta r. Assim: Logo o declive da r é AB B A, 0,, e como o ponto de coordenadas 0, pertence à recta r então a sua equação reduzida é. ii) Como a recta de equação é assimptota do gráfico de f, quando, então: A resposta correcta é a C.. Sejam a, b e c os zeros da função g, com a b c. Fazendo um quadro de sinal vem: a b c g g P.I. P.I. gráfico da função g tem concavidade voltada para baio em a,b. De todos os intervalos apresentados o único que pode estar contigo em a,b é o intervalo,0 e portanto a resposta correcta é a D.. número compleo zz i é um imaginário puro se e só se Re z z i 0 Im z z i 0. Assim: z z i a i a a ai i ai a a a ai i a a a i a a a a a i a Então Rez z i a a a e Assim: a a a 0 a 0 a a a 0 a Im z z i a. a 0 a a 0 a a 0 a a a lim f 0 e e f lim lim f f lim f lim Como a 0 e a então a. A resposta correcta é a A. 8. Consideremos a seguinte figura: Im(z) Logo lim f lim f f lim f lim lim f lim f argz i Imz arg z i arg z i José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 80 Re(z)

9 As semi-rectas têm origem na imagem geométrica do número ii) Consideremos a seguinte figura: compleo i. Como opções de resposta, triângulo é:, então, tendo em conta as. Logo a condição em C que define arg z i Imz C B Im(z) A Re(z) A resposta correcta é a D. D GRUP II ITENS DE RESPSTA ABERTA.. i) Vamos começar por escrever o número compleo z na forma trigonométrica, tem-se: z 8 8. Seja um argumento do número compleo z, assim Como.ºQ então. Logo 8 tg. 8 z cis. Utilizando a fórmula da radiciação vamos determinar as raízes quartas do número compleo z. Assim: k z cis cis, k 0,,,, ou seja, k cis, k 0,,,. 0 Para k 0 cis cis cis 8 Para k cis cis cis Para k cis cis cis 8 0 Para k cis cis cis Portanto os números compleos cujas imagens geométricas são os pontos A, B, C e D são, respectivamente, cis, cis, cis e cis. A área da região sombreada da figura é dada por: sombreada círculo ABDC A A A AB 8 8 Cálculo Auiliar: Pelo Teorema de Pitágoras tem-se:. AB A B AB AB 8 i) número compleo z é da forma z cis, portanto o 9 número compleo z é da forma z cis cis. 9 8 ii) A imagem geométrica do número compleo w z pertence à bissectriz do segundo quadrante real se e só se arg w z k, k Z. Assim: Logo w z ciscis cis cis cis cis cis cis k, kz k, kz José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

10 k, kz k, k Z Para k 0, Para k, Portanto..... Consideremos os acontecimentos M/F: «aluno escolhido é do seo Masculino/Feminino» e C/L: «aluno escolhido prefere um curso relacionado com Ciências/Letras». Queremos determinar P F C. Vamos construir uma tabela para responder a esta questão. Do enunciado tem-se PL F 0,. Assim: P M 0, 0, PC M M F p.m. e P L M 0 0 iii) iv) PC F Como 0% dos participantes no estudo eram rapazes e como 0,00 0 então participaram no estudo 0 rapazes e 0 raparigas. número de casos possíveis é dado por 00 C (dos 00 alunos que participaram no estudo escolhemos seis). Para determinarmos o número de casos favoráveis temos de considerar dois casos: A comissão é formada por quatro rapazes e duas raparigas, o número de comissões que é possível formar nestas condições é C C 9 C (como a Sónia tem de fazer parte da comissão então das restantes 9 raparigas escolhemos uma e dos 0 rapazes escolhemos quatro); A comissão é formada por cinco rapazes e uma rapariga, o número de comissões que é possível formar nestas condições é 0 C (como a Sónia tem de fazer parte da comissão temos apenas de escolher cinco rapazes entre os 0). Logo o número de casos favoráveis é 9 C C. Pela Regra de Laplace a probabilidade de um 0 0 acontecimento é o quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, quando estes são equiprováveis C C Assim a probabilidade pedida é dada por. 00 C. Comecemos esquematizar a situação, representando a Curva de Gauss associada à variável aleatória X: C 0 0 L ,0 0, 0,0 Logo PF C Justificações: i) p.m. 0 PF C 0 PC 0 M. 0 P C P C M PC M P M 0 ii) F P L P L F PL F P F 0 0 Como PX PX 0, 0, 0,0 e como P X % 0, então: P X X P X P X 0,0 0,0 0,0 Logo o número de raparigas que têm peso inferior a kg e superior a kg é dado por 0,0 0. n. número de casos possíveis é dado por A n n (Para a primeira bola que vamos colocar temos n compartimentos à escolha e para a segunda bola temos n compartimentos à escolha). Como o número de compartimentos é par então eistem José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

11 n n compartimentos numerados com um número para e compartimentos numerados com um número ímpar. Para determinar o número de casos favoráveis começamos por escolher uma das bolas (visto que são distintas) para colocar num dos compartimentos numerados com um número par, essa escolha pode ser feita de C maneiras distintas. Para cada uma n destas maneiras eistem formas distintas de colocar a bola escolhida num dos compartimentos numerados com um número n para e formas distintas de colocar a outra bola num dos compartimentos numerados com um número ímpar. Portanto o n n n número de casos favoráveis é. Assim tem-se: n n n n nn n n n n n n n n. gráfico da função g e a recta r intersectam-se em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence ao intervalo, se a equação g for possível nesse intervalo, para o provarmos vamos utilizar o Teorema de Bolzano. Para mostrarmos que esse ponto é único temos de verificar que a equação g tem uma única solução em,. i) A função g é contínua em IR pois é diferença de duas funções contínuas em IR ( cos é continua em IR porque é a composta entre a função cos, trigonométrica, continua em IR, e a função, polinomial, contínua em IR e sen é função trigonométrica contínua em IR) Logo g é contínua em, IR. Como g é contínua em, e como g g 0 0, ou então pelo Teorema de Bolzano, : g seja, o gráfico de g e a recta r intersectam-se em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence ao intervalo,. g cos sen ii) Figura Auiliar: Para k 0 cos sen sen 0 sen sen sen 0 sen sen 0 sen sen 0 Eq. impossível sen sen sen k k, k Z g cos sen cos g cos sen cos Para k Para k Então é a única solução da equação no intervalo, e portanto o gráfico da função g e a recta r intersectam-se num único José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

12 ponto cuja abcissa pertence a esse intervalo. As coordenadas desse ponto são,.. Mudança de Variável: Se 0 então. Se 0 então.. Seja. Vamos começar por determinar a epressão analítica de f e determinar os seus zeros. i) f ln ln ln ln ii) f 0 ln 0 0 ln 0 Fazendo um quadro de sinal vem: 0 n.d. 0 ln n.d. f n.d. 0 f n.d. Min. Assim concluímos que a função f é decrescente em crescente em que é: 0 ln 0 e IR, e e e 0, e é e. A função f tem mínimo absoluto para Logo a recta de equação 0 não é assimptota vertical do gráfico de f. Como a função f é contínua em IR então o gráfico de f não assimptotas verticais. ii) Quando tem-se: f m lim lim ln lim ln ln Logo o gráfico da função f não tem assimptotas não verticais. Concluímos então que o gráfico da função f não tem qualquer tipo de assimptotas (nem verticais nem não verticais). i) Seja a abcissa do ponto P. Como a recta s é tangente ao gráfico de f no ponto P então f ms. A recta s é perpendicular à recta de equação, portanto o declive da recta s é dado por ms ms. Queremos então determinar o valor de para o qual f. Nota: Duas rectas r e t, do plano, são perpendiculares se e só se mr. m t ii) Utilizando o editor de funções da calculadora vamos definir as funções f ln btemos: e na janela 0,, f ln lne. e e e e e e f. domínio da função f é IR. Assim: ln lim f lim ln lim ln lim ln i) 0 0 0, ln lim lim Logo a abcissa do ponto P é, aproimadamente,, (, ). José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8

13 .. Como passados dez anos, ou seja, uma década, a massa de CS presente no local era de 9, g e como em 00, ou seja, passados anos (uma década e meia) a massa de Cs presente no local era de,8 g então m,,8. Assim tem-se: b m 9, a e 9, b, m,,8 ae,8 9, a b e e 9,,b b e,8 m 9, e,b e,8 b e 9, 0,b e 0,89 0,b ln0,89 9, a 0,9 e a 00 ln0,89 b 0,9 b 0,9 0, Logo, na altura da eplosão, a massa de Cs libertada foi de 00 gramas. Tem-se: 0,9 t m t 0, m t a e 0, a e 0,90,9t 0,9t e 0, e 0,90,9t e 0, 0,9t e e 0,90,9t 0,9t 0,9 e 0, 0, 0,9 ln 0, ln 0,, 0,9 0,9t A concentração de Cs reduz-se 0% a cada, décadas, ou seja, a cada anos, aproimadamente. José Carlos da Silva Pereira Matemática A.º Ano E.N.E.S. Prova Modelo n.º + Proposta de Resolução 8