Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Estatística. Grupo I

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Estatística 6º Teste de avaliação versão B Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, qual das condições seguintes define um plano perpendicular a Ox e que passa no ponto A ( 2,0, 5)? (A) z = 5 (B) y = 0 (C) y = 0 z = 5 (D) x = 2 2. Considere a função polinomial f definida por f ( x) = 0,5 ( x 5)( x 1)( x + 4). Quais são os zeros da função h definida por h( x) = f ( x + 2)? (A) { 2,3,7 } (B) { 7, 3,2} (C) { 6, 1,3 } (D) { 3,1,6 } 3. Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio R, definida por g( x) = f ( x + 3). Qual é o máximo relativo da função g? (A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 1 4. A polícia Judiciária realizou um estudo sobre a evolução percentual dos crimes contra o património, a partir de O gráfico abaixo apresenta alguns dados desse estudo, tendo como referência o número de crimes cometidos (66005) no ano de Professora: Rosa Canelas 1

2 Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) O número de crimes contra o património baixou todos os anos desde 1996 até (B) Em 1998, registou-se um número de crimes contra o património maior do que em (C) De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes contra o património. (D) O ano em que se registou o menor número de crimes contra o património foi o de Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu questionar os alunos de duas turmas distintas sobre o número de mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados obtidos na turma B encontram-se representados numa tabela. Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de responderem a algumas perguntas. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A moda e a mediana do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma B são iguais. (B) A percentagem de alunos que receberam menos de 13 mensagens é igual à percentagem de alunos que receberam mais de 13 mensagens. (C) 75% dos alunos receberam 13 ou menos mensagens. (D) 25% dos alunos receberam menos de 13 mensagens. Professora: Rosa Canelas 2

3 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é Defina analiticamente a superfície esférica circunscrita ao cubo Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determine as coordenadas do ponto P [ HE] sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado. 2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de arame. Um muro faz o quarto lado Se o lado c medir 15 metros, quanto mede o outro lado e a área da cerca? 2.2. Se a largura for c quanto mede o comprimento? 2.3. Mostre que uma fórmula que exprima a área cercada, A, em função de c é A = c ( 100 2c) e indique quais são os valores que faz sentido atribuir a c Analiticamente calcule o valor de c para o qual é máxima a área cercada e calcule também o valor da área máxima. 3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de trânsito numa auto-estrada foi a seguinte: Velocidade (km/h) Número de automóveis Determine a média, a moda e a mediana da distribuição Suponha que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por 190 km/h e que o restante se mantém. Calcule a mediana e a média desta nova Professora: Rosa Canelas 3

4 distribuição e comente em qual destas medidas de tendência central se reflecte a alteração. 4. Uma sondagem profunda da crosta terrestre, com cerca de 8km permitiu determinar as temperaturas a diferentes profundidades. O diagrama de dispersão da figura relaciona a profundidade p, em metros, e a temperatura t, em graus Celsius Determine as coordenadas do centro de gravidade da distribuição Com a calculadora, determine uma equação da recta de regressão e preveja valores aproximados às unidades da: temperatura quando a profundidade é de 4200 metros; profundidade quando a temperatura é de 120 graus. NOTA: sempre que utilizar a calculadora não se esqueça de indicar de forma organizada os dados que introduziu. FIM COTAÇÕES Grupo 1 Grupo Professora: Rosa Canelas 4

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Estatística 6º Teste de avaliação versão B Proposta de resolução Grupo I 1. (D) Relativamente a um referencial o.n. Oxyz, das condições seguintes a que define um plano perpendicular a Ox e que passa no ponto A ( 2,0, 5) é x = (C) Consideremos a função polinomial f definida por f ( x) = 0,5 ( x 5)( x 1)( x + 4). Os zeros da função h definida por h( x) = f ( x + 2) têm um valor igual ao dos zeros de f subtraídos de 2 unidades. Como os zeros de f são { 4,1,5 } os zeros de h têm de ser { 6, 1,3 }. 3. (A) Na figura está representada parte do gráfico de uma função polinomial do terceiro grau. 2 é um máximo relativo da função f. Seja g a função, de domínio R, definida por g( x) = f ( x + 3). O máximo relativo da função g é igual ao máximo relativo da função f dado que o gráfico de f sofre apenas uma translação associada ao vector de coordenadas ( 3,0), tratando-se de uma translação horizontal o máximo mantém-se. 4. (C) A polícia Judiciária realizou um estudo sobre a evolução percentual dos crimes contra o património, a partir de O gráfico abaixo apresenta alguns dados desse estudo, tendo como referência o número de crimes cometidos (66005) no ano de A afirmação verdadeira é De 2003 para 2005, verificou-se um aumento do número de crimes contra o património. Professora: Rosa Canelas 5

6 5. (A) Na escola da Marta, o professor de Matemática resolveu questionar os alunos de duas turmas distintas sobre o número de mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados obtidos na turma B encontram-se representados numa tabela. Os alunos deviam fazer um estudo completo da situação a fim de responderem a algumas perguntas. Das afirmações seguintes a que é verdadeira é A moda e a mediana do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma B são iguais. Grupo II 1. O cubo da figura tem as faces paralelas aos planos coordenados e o perímetro de cada face é Vamos definir analiticamente a superfície esférica circunscrita ao cubo. Se o perímetro de cada face é 16 é porque a aresta do cubo é 4 e porque A ( 2,2,0 ) o centro do cubo, que vai ser o centro da superfície esférica, tem coordenadas ( 0,0,2 ). O raio da superfície esférica vai ser metade da diagonal espacial do cubo por ela ter de ser circunscrita ao cubo ou seja ter de passar por todos os vértices do cubo. Assim o raio da superfície esférica vai ser = x + y + z 2 = A equação que define analiticamente a superfície esférica é ( ) 2 H D x G P C O z E N F M A(2,2,0) B y 1.2. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF] respectivamente, determinemos as coordenadas do ponto P [ HE], sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é um quadrado. Para que a secção seja um quadrado é necessário que NP = 4 dado que MN = 4. Considerando o triângulo rectângulo [ENP] podemos calcular PE utilizando o Teorema de Pitágoras: = PE + 2 PE = 16 4 PE = 12 PE = 2 3 Então se P( 2,y,4 ) e E( 2,2,4 ) concluímos ser: Professora: Rosa Canelas 6

7 PE = E P = 0,2 y,0 ( ) PE = 2 y = 2 y e ( ) 2 e como 2 y = y = y = 2 3 y = y = e P está à esquerda de E terá de ser y = Finalmente P( 2,2 2 3, 4) 2. Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados 100 metros de rede de arame. Um muro faz o quarto lado Se o lado c medir 15 metros, como há um outro lado igual a c o restante lado vai medir = 70m e a área da cerca é 2 A = = 1050 m 2.2. Fazendo um raciocínio semelhante concluímos que o outro lado da cerca mede 100 2c A área cercada é a área de um rectângulo com dimensões c e 100 2c. A área é A = c ( 100 2c). Porque há sempre um outro lado igual a c, o valor de c só pode variar em [ 0,50 ] Analiticamente calculamos o valor de c para o qual é máxima a área cercada e calculamos também o valor da área máxima, calculando o vértice da parábola que representa a área vedada por esta ter a concavidade virada para baixo. Cálculo dos zeros de A: c ( 100 2c) = 0 c = 0 c = 50 Cálculo da abcissa do vértice que é o valor de c para o qual a área é máxima por se tratar de uma função quadrática representada por uma parábola com a concavidade voltada para baixo c = = 25 2 Calculemos a área máxima. A ( 25) = 25 ( ) = 1250 Finalmente a área máxima é 1250 m 2 e obtém-se quando o lado c medir 25 m. 3. A distribuição das velocidades dos automóveis controlados por um radar da Brigada de trânsito numa auto-estrada foi a seguinte: Velocidade (km/h) Número de automóveis Professora: Rosa Canelas 7

8 3.1. Determinemos a média, a moda e a mediana da distribuição começando por construir uma tabela de frequências acumuladas. A média é A moda é x = = 105, Velocidade (km/h) (x i ) A mediana é o 12º elemento ou seja 100. n i N i xi ni Totais Suponhamos que, numa outra distribuição, a velocidade mais alta, 150 km/h, é substituída por 190 km/h e que o restante se mantém. Calculemos a mediana e a média desta nova distribuição e comentemos em qual destas medidas de tendência central se reflecte a alteração. A média é Velocidade (km/h) (x i ) n i N i xi ni Totais x = = 110,87. E a mediana continua a ser o 12º elemento ou seja Concluímos então ser a média a medida que sofre alteração o que era previsível pois apenas alterámos os últimos valores da variável que não colidem com o cálculo da mediana afectando sim a média que é uma medida sensível a valores extremos. Professora: Rosa Canelas 8

9 4. Uma sondagem profunda da crosta terrestre, com cerca de 8km permitiu determinar as temperaturas a diferentes profundidades. O diagrama de dispersão da figura relaciona a profundidade p, em metros, e a temperatura t, em graus Celsius Determinemos as coordenadas do centro de gravidade da distribuição, começando por construir uma tabela a partir do gráfico. p Concluímos assim que o centro de gravidade da distribuição é G( p, t ) sendo p 4055,56 e t = 165. t Com a calculadora, determinámos uma equação da recta de regressão de equação y = ax + b com a 0,033 e b 29,856 e vamos prever valores aproximados às unidades da: temperatura quando a profundidade é de 4200 metros; Podemos calcular a partir do gráfico ou a partir da tabela. Professora: Rosa Canelas 9

10 Para o fazermos a partir do gráfico teremos de o seleccionar e depois calcular o valor da função afim para x = 4200 Para o fazermos a partir da tabela vamos formatar a tabela para escolhermos os valores e em seguida calculamos a imagem de 4200 A temperatura a uma profundidade de 4200 m é cerca de 170 graus (aproximação às unidades) profundidade quando a temperatura é de 120 graus. Para determinarmos o objecto que tem como imagem 120 introduzimos a função definida por y = 120 e determinamos a intersecção dela com a recta de regressão. Concluímos que se prevê que a temperatura seja de 120 graus a uma profundidade de 2705 m (aproximação às unidades) Professora: Rosa Canelas 10

11 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano de Matemática A Estatística 6º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I D C A C A Grupo II Centro 5 Raio 5 Condição Concluir que MN = 4 e NP = 4 3 Calcular PE... 3 Calcular a ordenada de P. 5 Indicar as coordenadas de P Calcular a medida do outro lado. 5 Calcular a área cercada Justificar a expressão da área 5 Indicar o domínio Calcular a abcissa do vértice Calcular a ordenada do vértice... 2 Apresentar a resposta justificando a existência de máximo Tabela 2 Professora: Rosa Canelas 11

12 Média. 5 Moda.. 3 Mediana Cálculo da nova média. 5 Justificação com identificação das medidas Construir tabela a partir do gráfico.. 5 Calcular a média de p 5 Calcular a média de t. 5 Apresentar o centro de gravidade Calcular a recta de regressão 7 Calcular a imagem de Apresentar o resultado com a aproximação pedida Referir a introdução da recta de equação y = Apresentar o gráfico.. 6 Assinalar a intersecção das duas rectas. 5 Apresentar o resultado com a aproximação pedida 2 Total 200 Professora: Rosa Canelas 12