Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma C /2 Prova da área I

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1 UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTIA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT068 - Turma - 07/ Prova da área I Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas Seja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Tabela do operador : f = f(,,z e g = g(,,z são funções escalares; F = F(,,z e G = G(,,z são funções vetoriais.. (f +g = f + g. ( F + G = F + G 3. ( F + G = F + G 4. (fg = f g +g f 5. (f F ( = f F ( +f F 6. (ff = f F +f F 7. f = f = f + f + f z, onde = + + é o operador laplaciano z 8. ( f = 0 9. ( F = 0 ( 0. F = ( F F ( (. ( F G = G F F G. 3. ( ( ( F G = G F G F ( ( F G+ F G ( F G ( ( = G F + F G+ + F ( G + G ( F urvatura, torção e aceleração: Nome Definição d urvatura κ = T = dt = r (t r (t r (t 3 Torção Módulo da Torção Aceleração normal Aceleração tangencial Equações de Frenet-Serret: d T d N d B = κ N τ = d B N = ( r (t r (t r (t r (t r (t τ = d B a N = a v v = κ T +τ B = τ N a T = a v v = d B = v ρ = κv = dv

2 Questão (.0 ponto onsidere que uma partícula descreva a trajetória dada por (t = t, (t = e t, z(t = t, t 0 Assinale as alternativas que indicam respectivamente o módulo da velocidade e a curvatura da curva descrita pela trajetória no instante t =. ( ( ( ( ( 3 ( ( 4 ( 5 ( 3 ( Questão (.0 ponto onsidere as três curvas, sendo duas hélices circulares, H e H, e uma circunferência. Para as curvas H e H, suponha que as escalas dos eio cartesianos são as mesmas. Denotamos aqui τ, τ e τ 3 as torções κ, κ e κ 3 as curvaturas das curvas H, H, e, respectivamente. Assinale na primeira coluna o correto sinal de cada torção e na segunda as correta relações entre as curvaturas. z z H H ( τ < 0, τ > 0 e τ 3 = 0 ( τ > 0, τ > 0 e τ 3 = 0 ( τ < 0, τ < 0 e τ 3 > 0 ( τ < 0, τ > 0 e τ 3 > 0 ( τ > 0, τ < 0 e τ 3 > 0 ( τ > 0, τ < 0 e τ 3 = 0 ( κ > κ > κ 3 ( κ < κ < κ 3 ( κ = κ = κ 3 ( κ = κ > κ 3 = 0 ( κ 3 < κ < κ Questão 3 (.0 ponto onsidere os campos dados por f(,,z = ln(+ +e g(,,z = + +z F(,,z = (+ +z i+(+ z j +( z k Assinale as alternativas que apresentam epressões para g ( ( F + f e f, respectivamente. ( 3 ( 0 ( + +z ( (+ +z(ln( + +e ( ( (+ +z + +e ( ( + ( ( + +e ( ( + ( ( + +e ( ( + +e

3 Questão 4 (.0 ponto onsidere o campo central F = f(rˆr dado no gráfico ao lado. Em cada coluna assinale uma alternativa correta. ( O divergente é nulo no ponto (,. ( k F > 0 em todos os pontos, eceto na origem. ( O divergente não eiste no ponto ( 3, 3. ( O divergente é nulo em todos os pontos. ( O divergente é não-negativo em todos os pontos. ( O divergente é não-positivo em todos os pontos. ( k F < 0 em todos os pontos, eceto na origem. ( O campo é irrotacional. ( k F = 0 somente no ponto (0,0. ( k F > 0 somente na região < ampo de velocidades Questão 5 (.0 ponto onsidere o campo de velocidades e as três curvas,, e 3, orientadas no sentido negativo de. Definimos ˆ ˆ ˆ I = F d r, I = F d r e I3 = F d r 3 Em cada coluna assinale uma alternativa correta. ( I > 0, I > 0, e I 3 > 0. ( I > 0, I < 0, e I 3 < 0. ( I > 0, I > 0, e I 3 < 0. ( I < 0, I > 0, e I 3 > 0. ( I < 0, I < 0, e I 3 > 0. ( I I 3 I. ( I I 3 I. ( I I I 3. ( I 3 I I. ( I I I ampo de velocidades Questão 6 (.0 ponto Sejam F = i+ j +z k e as três superfícies S : =, S : = e S 3 : = 3, todas com domínio a região +z e orientações no sentido positivo do eio. Definimos I = F nds, I = S F nds e I 3 = S F nds. S 3 Em cada coluna assinale uma alternativa correta. ( I > 0, I < 0, e I 3 < 0. ( I > 0, I > 0, e I 3 > 0. ( I > 0, I > 0, e I 3 < 0. ( I < 0, I > 0, e I 3 > 0. ( I < 0, I < 0, e I 3 > 0. ( I = I I 3. ( I I I 3. ( I = I I 3. ( I I = I 3. ( I I I 3.

4 Questão 7 (.0 onsidere a região V limitada superiormente pela superfície S de equação + = z 3, 0 z e inferiormente pelo plano z = 0 e o campo F = (+cos( i +cos(z j +(z + z. (a Use o teorema da divergência para calcular o fluo de F através da superfície S que limita V orientada para fora. (b alcule o valor de F ηds. Dica: use o resultado do item a. S Representação da superfície S.

5 Questão 8 (.0 pontos onsidere o campo dado por F = + i+ + j, (, (0,0. a Seja uma circunferência sobre o plano z = 0 centrada na origem de raio a > 0 orientada no sentido anti-horário, calcule o valor da circulação F d r usando parametrização direta. b Use o teorema de Stokes para mostrar que se é um caminho qualquer simples, fechado e suave que não passa nem circunda a origem no plano, então: F d r = 0.