Total. UFRGS - INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D /2 Prova da área I

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1 UFRG - INTITUTO DE MATEMÁTIA Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT Turma D - 018/ Prova da área I Total Nome: artão: Regras Gerais: Não é permitido o uso de calculadoras, telefones ou qualquer outro recurso computacional ou de comunicação. Trabalhe individualmente e sem uso de material de consulta além do fornecido. Devolva o caderno de questões preenchido ao final da prova. Regras para as questões abertas eja sucinto, completo e claro. Justifique todo procedimento usado. Indique identidades matemáticas usadas, em especial, itens da tabela. Use notação matemática consistente. Tabela do operador : f f(x,y,z e g g(x,y,z são funções escalares; F F(x,y,z e G G(x,y,z são funções vetoriais. 1. (f +g f + g. ( F + G F + G 3. ( F + G F + G 4. (fg f g +g f. (f F ( f F ( +f F 6. (ff f F +f F 7. f f f x + f y + f z, onde x + y + é o operador laplaciano z 8. ( f 0 9. ( F 0 ( 10. F ( F F ( ( 11. ( F G G F F G ( ( ( F G G F G F ( ( F G+ F G ( F G ( ( G F + F G+ + F ( G + G ( F urvatura, torção e aceleração: Nome Definição d urvatura κ T dt dt dt r (t r (t r (t 3 Torção Módulo da torção Aceleração normal Aceleração tangencial Equações de Frenet-erret: d T d N d B κ N τ d B N ( r (t r (t r (t r (t r (t τ d B a N a v v κ T +τ B τ N a T a v v d B dt dt v ρ κv dv dt 14. f(r f (rˆr, r x i+y j +z

2 Questão 1 (1.0 ponto onsidere a curva plana parametrizada por: x(t tcos(t, y(t tsen(t, z(t 0, t 0 Pode-se afirmar que o vetor tangente unitário e a curvatura em t π são respectivamente: Vetor T: π i+ j ( ( π i+ j ( π i j ( π i j ( i+π j ( i+π j Primeiro calculamos: urvatura κ: 16+π ( (4 +π 3/ ( ( ( ( ( 8+π (4 +π 3/ 8+π (4 +π 3/ (4 +π 3/ 4+π (4 +π 3/ +π (4 +π 3/ r(t t cos(t i + t sen(t j r (t (cos(t tsen(t i+(sen(t+tcos(t j r (t ( sen(t tcos(t i+(cos(t tsen(t j Assim, em t π : r r π i+ j i π j Portanto : E, finalmente: r 1 π +4 ( π r r 4 + r r π 4 + T r (t r (t π i+ j π +4 κ r π r r (t 3 4 ( + π +16 π 3/ 4 + (π +8 3/

3 Questão (1.0 ponto Em um determinado instante, a posição, velocidade e aceleração de uma partícula são dadas por: r(t i j +, v(t 3 i+4, a(t i+ j Pode-se afirmar que a aceleração tangencial e o vetor normal unitário no dado instante são, respectivamente: Aceleração tangencial: Vetor N: ( 0 ( 8 i+ j +6 ] ( 1 ( ( 8 i+ j 6 ] ( 3 ( 4 ( i+8 j +6 ] ( ( i+8 j 6 ] ( 6 i+ j +8 ] ( 6 i+ j 8 ] Primeiramente, usamos a fórmula para obter a aceleração tangencial: a T a v v Agora basta isolar N na expressão: onde Assim a a T T +an N T v v 3 i+4 a N N a a T T i+ j 3 ( 3 i+4 16 i+ j 1 i ( 8 i+ j 6 i Finalmente: N 8 i+ j 6 i i+ j 6 ]

4 Questão 3 (1.0 ponto onsidere o campo radial F r nˆr, r x i + y j + z, n 0. eja a circunferência de raio a no plano xy centrada na origem e orientada no sentido horário e a esfera centrada na origem de raio a > 0 orientada para fora. Assinale a alternativa que indica W : F d r e Φ : F d. irculação W: ( πa n+ ( πa n+1 ( πa n+ ( πa n+1 ( 0 Fluxo Φ: ( 4πa n+1 ( 4πa n+ ( 4πa n+3 ( 4πa n+1 /3 ( 4πa n+ /3 ( 4πa n+3 /3 omo todo campo radial é conservativo e é fechado, W 0. alculemos Φ: Φ F d Φ F nd Φ F ˆrd Φ r n d Φ a n d Φ a n d Φ a n( 4πa 4πa n+

5 Questão 4 (1.0 ponto onsidere a superfície dada por z f(x,y cos(x +y, x +y π Assinale a alternativa que indica as curvas de nível da função f(x, y e o vetor normal π unitário à superfície no ponto x e y 0 orientado para fora da concavidade. As curvas de nível são: ( ircunferências ( Elipses de semieixos distintos ( Parábolas ( Hipérboles ( Nenhuma das anteriores Assim As curvas de nível são elipses. Defina a função auxiliar π No ponto x e y 0, temos: Vetor normal: π i+ ( 4+π π j + ( 4+π ( π i+ 4+π ( π j + 4+π omo o vetor normal tem componente z positiva, ele é dado por: G(x,y,z z cos(x +y G xsen(x +y i+4ysen(x +y j + π G i+ n G G π i+ 4+π

6 Questão (1.0 ponto onsidere o campo F ( x +y +yz 3 +xy(1 z+ e os caminhos 1 e parametrizados por: 1 : r(t t i+(1+t j +t, 0 t 1. : r(t cos(t j +sen(t, 0 t π. ˆ ˆ Assinale a alternativa que indica o valor das integrais de linha de W 1 F d r e W F d r. 1 W 1 : W : ( ( 3 ( 1 ( 1 ( 0 ( 0 ( π ( 3π ( π ( π omo o campo é da forma F ϕ, temos que a integral de linha é diferença do potencial ϕ. O caminho 1 começa no ponto (0,1,0 e termina em (1,,1, assim O caminho é fechado, então a circulação é nula. W

7 3 ampo de velocidades Questão 6 (1.0 ponto onsidere o campo F(x,y,z f(x,y i esboçado na figura ao lado e os caminhos 1, e 3. 1 é a reta que começa no ponto ( 3, 3,0 e terminam no ponto (3,3,0. O círculo está no no plano xy centrado na origem e é orientado no sentido anti-horário. ˆ 3 é uma elipse no plano xy orientada no sentido anti-horário. Defina W 1 Assinale as alternativas corretas: ( W 3 < 0 W < W 1 ( W 1 < 0 W < W 3 ( x 0 W 1 < W W 3 ( W 1 < W W 3 0 ( W 1 < W < W 3 < 0 1 F d r, W F d r e W3 ( F < 0 em (,. 3 F d r. ( x F 0 em todos os pontos. ( F 0 em alguns pontos, mas F d r 0 para todo caminho fechado. ( F 0 em todos pontos. ( j F > 0 em (,. y x 1 3

8 Questão 7 (.0 ponto onsidere o campo F z i + x j + x e a superfície circular no plano xy orientada no sentido z positivo e limitada pelo caminho circuferência de raio unitário ˆ centrada na origem e orientada no sentido anti-horário. alcule o valor da integral de linha de W F d r e de superfície Φ F d. Primeiro, calculamos W. Primeira opção - via parametriazação direta: Parametrizamos o caminho como: Assim W egunda opção - via teorema de toes: r(t cos(t i +sen(t j, 0 t π, r (t sen(t i +cos(t j ˆ π F d r F r (tdt 0 ˆ π (zsen(t+xcos(tdt 0 ˆ π ˆ π cos (tdt 0 0 ( 1+cos(t π Agora calculamos Φ: W d π Φ F d F d r F d ˆ π xd int 1 0 ρ cos(θdθdρ π 0

9 Questão 8 (.0 pontos onsidere a superfície fechada orientada para fora composta por x +y +z 1,x 0 e eja o campo vetorial dado por F ( x 3 +z +yz +1. alcule o valor do fluxo y +z 1,x 0. F d onde usamos: Φ FdV 6xdV ˆ π/ ˆ π ˆ 1 6 xr senϕdrdϕdθ π/ 0 0 ˆ π/ ˆ π ˆ 1 6 r 3 sen ϕcos(θdrdϕdθ π/ 0 0 (ˆ π/ (ˆ π (ˆ 1 6 cos(θdθ sen ϕdϕ r 3 dϕ π/ π 1 4 3π F ( x 3 +z +yz +1 6x