Ferramentas Matemáticas para Sistemas Lineares: Álgebra Linear

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1 Ferramentas Matemáticas para Sistemas Lineares: Álgebra Linear Samir Angelo Milani Martins 1 1 UFSJ-MG / Campus Santo Antônio, MG Brasil Mestrado em Engenharia Elétrica UFSJ/CEFET-MG S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 1 / 62

2 O que nos espera? 1 Bases, representação e ortonormalização 2 Equações algébricas lineares 3 Transformação de similaridade 4 Forma diagonal e forma de Jordan 5 Funções de uma matriz quadrada Teorema de Cayley-Halmilton S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 2 / 62

3 Álgebra Linear Rever e introduzir conceitos e resultados de álgebra linear, tais como: Bases de espaços vetoriais e representações; Resolução de equações algébricas lineares; Diagonalização de matrizes; Função de matrizes; Matriz definida positiva; Fórmulas usuais de matrizes. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 3 / 62

4 Bases, representação e ortonormalização Dependência linear Um conjunto de vetores [x 1, x 2,..., x m ] em R n é dito linearmente dependente se existem números α 1, α 2,..., α m, não todos zeros em que α 1 x 1 + α 2 x α m x m = 0. Combinação linear x 1 = 1 α 1 [α 2 x 2 + α 3 x α m x m ]. A dimensão de um espaço linear pode ser definido como o número máximo de vetores linearmente independentes. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 4 / 62

5 Bases e representação Todo vetor x em R n pode ser expresso unicamente como x = α 1 q 1 + α 2 q α n q n. O conjunto de vetores linearmente independentes Q = [q 1, q 2,..., q n ] é uma base do espaço. O conjunto de números [α 1,α 2,..., α n ] é a representação do vetor em relação a base Q. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 5 / 62

6 Exercício: Considere [ ] os vetores [ ] [ ] x =, q 3 1 = e q 1 2 =. 2 Determine a representação de x em relação a q 1 e q 2. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 6 / 62

7 Normas de vetores Qualquer função de valor real de x, denotada por x, pode ser definida como norma se tem as seguintes propriedades: 1 x 0 x e x = 0 se e só se x = 0. ; 2 αx = α x, para qualquer α real; 3 x 1 + x 2 x 1 + x 2, x 1 e x 2 (inequação triangular); S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 7 / 62

8 Norma um Norma Euclideana x 1 = n x i. i=1 Norma infinita x 2 = x x = ( n i=1 x = max i x i. x i 2 ) 1 2. Exercício: Calcule as normas um, Euclidiana e infinita do vetor x = [ ]. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 8 / 62

9 Ortonormalização Um conjunto de vetores é dito ortonormal se { x 0, Se i j, ix j = 1, Se i = j. Procedimento de ortonormalização de Schmidt u 1 = e 1, q 1 = u 1 u 1, u 2 = e 2 (q 1e 2 )q 1, q 2 = u 2 u 2, m 1 u m = e m (q k e m)q k, q m = u m u m. k=1 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 9 / 62

10 Exercício: Encontre vetores ortonormais que sirvam como base do mesmo espaço determinado pelos vetores: e S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 10 / 62

11 Considere o conjunto de equações algébricas lineares Ax = y. A seguir a condição de existência e a forma da solução geral da equação acima será discutida. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 11 / 62

12 O espaço-coluna de A é definido como todas as possíveis combinações lineares das colunas de A. O posto de A é a dimensão do Espaço-coluna. Um vetor x é chamado vetor nulo se Ax = 0. A nulidade é definida como o número máximo de vetores nulos linearmente independentes de A. A nulidade pode ser dada pela relação Nulidade(A) = número de colunas de A posto(a). S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 12 / 62

13 Exercício: Seja a matriz A = Determine o posto, a nulidade e bases para o espaço-coluna e o espaço-nulo.. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 13 / 62

14 Teorema Seja uma matriz A m n e um vetor y m 1. Uma solução x da equação Ax = y existe se e só se y está no espaço-coluna de A ou, equivalentemente, ρ(a) = ρ([a y]). 2 - Seja uma matriz A. Uma solução de Ax = y existe para todo y se e só se posto(a) = m. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 14 / 62

15 Teorema 3.2 (Parametrização das soluções) Seja uma matriz A m n, um vetor y m 1, uma solução x p da equação Ax = y e k a nulidade. Se k = 0 (posto(a) = n) então a solução x p é única. Se k > 0 então para todo real α i, i = 1, 2,..., k, o vetor x = x p + α 1 n α k n k é uma solução de Ax = y, sendo {n 1,...,n k,} a base do espaço-nulo de A. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 15 / 62

16 Exercício Calcule uma parametrização das soluções da equação Ax = y descrita abaixo x x 2 4 x = 8. 0 x 4 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 16 / 62

17 Determinantes e inversas de matrizes quadradas Se A é triangular ou diagonal então o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal. O determinante de qualquer submatriz r r de A é chamado de menor de ordem r. Se A tem posto r então há no mínimo um menor de ordem r não nulo e todo menor de ordem maior que r é nulo. Uma matriz quadrada é dita não-singular se o determinante é diferente de zero. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 17 / 62

18 Teorema 3.3 Seja a equação Ax = y com A quadrada. 1- Se A é não-singular então a equação tem solução única para todo y e a solução é igual a A 1 y. Em particular a única solução de Ax = 0 é x = A equação homogênea Ax = 0 tem solução não nula se e só se A é singular. O número de soluções linearmente independente é igual a nulidade de A. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 18 / 62

19 Considere uma matriz A n n que mapeia R n em R n. Se for associado com R n a base canônica (ortonormal) então a i-ésima coluna de A é a representação de Ai i com respeito a base ortonormal. Se for selecionada uma base diferente {q 1, q 2,..., q n } então a matriz A tem uma representação diferente Ā. A i-ésima coluna de Ā é a representação de Aq i com relação à base {q 1, q 2,..., q n }. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 19 / 62

20 Exemplo de transformação de similaridade Seja a equação Ax = y sendo A = e y = Considere a base Q = [ y Ay A 2 y ] = S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 20 / 62

21 Exemplo de transformação de similaridade (continuação) O sistema transformado será Ā x = ȳ sendo x = Q 1 x, 0,8823 ȳ = Q 1 y = 0,2941 e 0, Ā = Q 1 AQ (transformação de similaridade) = As matrizes A e Ā são chamadas similares. Nesse caso particular, a matriz Ā é a forma companheira. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 21 / 62

22 Objetivo: Introduzir uma transformação de similaridade na qual a representação da matriz será diagonal ou bloco diagonal. Considere a relação Ax = λx A é uma matriz n n, λ é um número real ou complexo chamado autovalor, x é um vetor não-nulo chamado autovetor. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 22 / 62

23 Cálculo dos Autovalores e Autovetores Ax = λx = λix (A λi) x = 0 Para que x seja não-nulo, a matriz (A λi) deve ser singular. Assim, a resolução da equação abaixo resulta os autovalores. (λ) = det (A λi) = 0 (equação característica). Calculados os autovalores, os autovetores podem ser obtidos resolvendo (A λi) x = 0. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 23 / 62

24 Caso 1: Os autovalores são distintos Nesse caso, a representação de A será diagonal λ λ Ā = Q 1 AQ = 0 0 λ λ n. O conjunto de vetores base que produzirão a diagonalização é composto pelos autovetores associados aos autovalores calculados, Q = [v 1, v 2, v 3,..., v n ]. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 24 / 62

25 Exercício Calcule os autovalores e autovetores da matriz A = S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 25 / 62

26 Caso 2: Os autovalores são complexos Matriz diagonal J ( Q 1 AQ ) é transformada na forma modal Ā = Q 1 J Q. Ā = Ā = j j λ α β 0 β α λ α + jβ α jβ (matriz bloco diagonal) ,5 0,5j 0 0,5 0,5j. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 26 / 62

27 Caso 2: Os autovalores são complexos (Continuação) A matriz de transformação P relaciona A e Ā. P 1 = [v 1, Re (v 2 ), Im (v 2 )] sendo v 1 o autovetor associado a λ, Re (v 2 ) a parte real do autovetor associado a α + jβ, Im (v 2 ) a parte imaginária do autovetor associado a α + jβ. Ā = PAP 1. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 27 / 62

28 Exercício Calcule os autovalores e autovetores da matriz A = S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 28 / 62

29 Caso 3: Autovalores repetidos Nesse caso, a matriz A pode ter uma representação diagonal ou bloco diagonal. Exemplos de matrizes bloco diagonais são mostrados abaixo. λ λ A 1 = 0 λ λ 1 1, A2 = 0 λ λ 1 0, λ λ 1 A 3 = λ λ λ λ 1, A4 = λ λ λ λ 1. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 29 / 62

30 No caso em que não há uma representação diagonal, deve-se empregar como base os autovetores generalizados. Um vetor é chamado autovetores generalizados de grau n se e (A λi) n v = 0 (A λi) (n 1) v 0. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 30 / 62

31 Caso 3:Autovalores repetidos (continuação) Cálculo dos autovetores generalizados: (A λi) v 1 = 0, (A λi) v 2 = v 1, (A λi) v 3 = v 2, (A λi) v 4 = v 3. Os vetores [v 1, v 2, v 3, v 4 ] são linearmente independentes. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 31 / 62

32 Exercício Calcule os autovalores e autovetores da matriz 11 8,5 2,5 2 A = ,5 1,5 1 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 32 / 62

33 Polinômios de uma matriz n n: A k = AA... A, (k vezes), A 0 = I. Seja o polinômio f(λ) = λ 3 + 2λ 2 6. f(a) é definida como f(a) = A 3 + 2A 2 6. Pode ser mostrado que f(a) = Pf(Ā)P 1. Polinômio mônico é um polinômio em que o coeficiente do termo de maior potência é 1. Polinômio mínimo é definido como o polinômio mônico ψ(λ) de menor grau tal que ψ(a) = 0. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 33 / 62

34 O grau do polinômio mínimo corresponde a ordem do maior bloco de Jordan para autovalores repetido. A nulidade de (A λi) corresponde ao número de blocos de Jordan de autovalores repetidos. Exemplo A 1 = λ λ λ λ 1 Polinômio mínimo: (A 1 λ 1I) 3 Nulidade: 2 A 2 = λ λ λ λ 1 Polinômio mínimo: (A 2 λ 1I) 2 Nulidade: 2 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 34 / 62

35 Conheça Cayley e Hamilton Teorema de Cayley-Halmilton Toda matriz A C n n satisfaz sua própria equação característica. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 35 / 62

36 Conheça Cayley e Hamilton Teorema de Cayley-Halmilton Toda matriz A C n n satisfaz sua própria equação característica. Ou seja, se Q(λ) = det (λi A) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 λ 0 = 0 Então, Q(A) = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 A 0 = 0 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 35 / 62

37 Conheça Cayley e Hamilton Teorema de Cayley-Halmilton Toda matriz A C n n satisfaz sua própria equação característica. Ou seja, se Q(λ) = det (λi A) = λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 λ 0 = 0 Então, Q(A) = A n + a n 1 A n a 1 A + a 0 A 0 = 0 portanto, Ax = λx, em que x é um autovetor e λ um autovalor (A λi)x = 0 det (A λi) = det (λi A) = 0 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 35 / 62

38 Funções de matriz quadrada Ideia central: Como A é solução de sua equação característica: λ n = a n 1 λ n 1... a 1 λ a 0 λ 0 (1) Se multiplicarmos ambos os lados por λ: Lado direito: λ n+1 Lado esquerdo: λ n, λ n 1,..., λ 1. Substituindo λ n pelo lado direito de (1), tem-se que λ n+1 pode ser escrito em termos de λ n 1, λ n 2,..., λ 0 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 36 / 62

39 Funções de matriz quadrada Ideia central: Como A é solução de sua equação característica: λ n = a n 1 λ n 1... a 1 λ a 0 λ 0 (1) Se multiplicarmos ambos os lados por λ: Lado direito: λ n+1 Lado esquerdo: λ n, λ n 1,..., λ 1. Substituindo λ n pelo lado direito de (1), tem-se que λ n+1 pode ser escrito em termos de λ n 1, λ n 2,..., λ 0... generalizando λ n+k λ n 1, λ n 2,..., λ 0, para qualquer k S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 36 / 62

40 Assim, a série (de Taylor) infinita: f(λ) = ˆβ 0 + ˆβ 1 λ + ˆβ 2 λ = ˆβ i λ i i=0 pode ser expressa como f(λ) = β 0 + β 1 λ + β 2 λ β n 1 λ n 1 (2) Resta determinar β i, i = 0,..., n 1. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 37 / 62

41 Em resumo: Toda função f(a), A C n n, que possa ser expressa como uma série de potências: f(a) = ˆβ 0 I + ˆβ 1 A + ˆβ 2 A = ˆβ i A i i=0 pode ser calculada usando potências de A menores ou iguais a n 1: f(a) = β 0 I + β 1 A + β 2 A β n 1 A n 1 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 38 / 62

42 Em resumo: Toda função f(a), A C n n, que possa ser expressa como uma série de potências: f(a) = ˆβ 0 I + ˆβ 1 A + ˆβ 2 A = ˆβ i A i i=0 pode ser calculada usando potências de A menores ou iguais a n 1: f(a) = β 0 I + β 1 A + β 2 A β n 1 A n 1 Como calcular β i, i = 1,..., n 1? S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 38 / 62

43 Encontrando β i Suponha n autovalores distintos λ 1,..., λ n. Então (2) é válida para esses n autovalores: f(λ 1 ) 1 λ 1 λ 2 1 λ n 1 1 β 0 f(λ 2 ). = 1 λ 2 λ 2 2 λ n 1 2 β (3).. f(λ n ) 1 λ n λ 2 n λ n 1 n β n 1 }{{} Matriz de Vandermonde O que permite calcular β 0 β 1. β n 1 1 λ 1 λ 2 1 λ n 1 1 = 1 λ 2 λ 2 2 λ n λ n λ 2 n λ n 1 n 1 f(λ 1 ) f(λ 2 ). f(λ n ) (4) S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 39 / 62

44 no Matlab... Veja o comando vander(x), que monta a matriz de Vandermonde x = [ λ 1 λ 2 λ n ] Cuidado: Para usar vander(x) é preciso mudar a ordem das incógnitas: f(λ 1 ) f(λ 2 ) =. f(λ n ) }{{} F(λ) λ n 1 1 λ n 2 1 λ 1 1 λ n 1 2 λ n 2 2 λ λ n 1 n } λ n 2 n {{ λ n 1 } V(λ) β n 1 β n 2. β 0 } {{ } β(λ) (5) Portanto, β(λ) = V 1 (λ)f(λ) S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 40 / 62

45 Exemplo Sejam A(t) = [ 2t 3 ] 0 4e 2t Calculando os autovalores: e f(a) = sin(a) + A 2 det(λi A(t)) = 0 (λ 2t)(λ + 4e 2t ) = 0 logo: λ 1 = 2t e λ 2 = 4e 2t Monte as matrizes F(λ), V(λ) e β(λ): [ sin(2t) + (2t) F(λ) = 2 ] [ sin(2t) + 4t sin( 4e 2t ) + ( 4e 2t ) 2 = 2 ] sin(4e 2t ) + 16e 4t [ ] 2t 1 V(λ) = 4e 2t 1 β(λ) = [ β1 β 0 ] S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 41 / 62

46 No matlab: syms L t % L = lambda; A = [2*t 3; 0-4*exp(-2*t)]; p = simple(det(l*eye(2)-a)); % p-> pol. caract. L1 = 2*t; L2 = -4*exp(-2*t); % autovalores f1 = sin(l1)+l1^2; f2 = sin(l2)+l2^2; F = [f1; f2]; V = [L1 1; L2 1]; betas = simple(inv(v)*f) β(λ) = sin(2 t)+4 t 2 +sin(4 e 2 t ) 16 e 4 t 2 t+4 e 2 t 2 e 2 t sin(2 t)+8 e 2 t t 2 t sin(4 e 2 t )+16 te 4 t t+2 e 2 t S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 42 / 62

47 Portanto, f(a) = sin(a) + A 2 pode ser calculada como f(a) = sin (2 t) + 4 t2 + sin ( 4 e 2 t) 16 e 4 t 2 t + 4 e 2 t I + 2 e 2 t sin (2 t) + 8 e 2 t t 2 t sin ( 4 e 2 t) + 16 te 4 t t + 2 e 2 t A(t) No matlab, para t = π/4: >> f = betas(1)*eye(2) + betas(2)*a; >> subs(f,t,pi/4) resulta: f ( ( π )) A = 4 [ ] S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 43 / 62

48 E se os autovalores não são distintos? Calcule os autovalores de A C n n ; Faça f(a) = f(λ); (troque A por λ) Defina h(λ) um polinômio de grau n 1; Calcule os coeficientes de h(λ) usando: f (l) (λ i ) = h (l) (λ i ), l = 0,1,...,(n i 1) e i = 0,1,..., m f (l) (λ i ) = dl f(λ) λ=λi dλ l h (l) (λ i ) definido de maneira similar. Calcule f(a) por meio de h(a). S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 44 / 62

49 Exercícios (sugestão) Sendo A = e B = , calcule via Cayley-Hamilton: a. e At ; b. A t ; c. A 100 ; d. 3 sin Bt; e. e Bt ; f. e (A+B)t 2 Quais são as propriedades do determinante de uma matriz de Vandermonde? O que isso implica na solução dos problemas relacionados ao teorema de Cayley-Hamilton? S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 45 / 62

50 Exercício Calcule: [ a - A sabendo que A = b - e At com A = ]. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 46 / 62

51 Série de potências Assuma que f(λ) possa ser expressa como f(λ) = β i λ i i=0 com raio de convergência ρ. Se todos os autovalores de A tem magnitude menor que ρ então f(a) = β i A i. i=0 Devido a propriedade de nilpotência, o parâmetro i será limitado a um valor inteiro uma vez que a partir de determinado valor de i as potências de (A λi) são nulas. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 47 / 62

52 Resultados importantes e 0 = I e A(t 1+t 2 ) = e At 1 e At 2 [ e At ] 1 = e At de At dt = Ae At = e At A e (A+B)t e At e Bt L [ e At] = (si A) 1, sendo L [ ] a transformada de Laplace. [ ] de At L = sl [ e At] e 0 = AL [ e At] dt S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 48 / 62

53 Equação de Lyapunov Considere a equação AM + MB = C sendo A n n, B m m, e as matrizes C e D n m. Como exemplo considere n = 3 e m = 4 a 11 a 12 a 13 m 11 m 12 m 11 m 12 [ a 21 a 22 a 23 m 21 m 22 + m 21 m 22 b11 b 12 b a 31 a 32 a 33 m 31 m 32 m 31 m 21 b = c 11 c 12 c 21 c 22 c 31 c 32. ] = S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 49 / 62

54 A equação pode ser reescrita como AM = C sendo A = a 11 + b 11 a 12 a 13 b a 21 a 22 + b 11 a 23 0 b 21 0 a 31 a 32 a 33 + b b 21 b a 11 + b 22 a 12 a 13 0 b 12 0 a 21 a 22 + b 22 a b 12 a 31 a 32 a 33 + b 22 M = m 11 m 21 m 31 m 12 m 22 m 32 e C = c 11 c 21 c 31 c 12 c 22 c 32., S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 50 / 62

55 Considere a equação AM = ηm: O escalar η é um autovalor de A. Pode ser mostrado que η k = λ i + µ j sendo λ i e µ j os autovalores de A e B respectivamente. Se λ i + µ j 0 para todo i e j então a solução M existe e é única. Se λ i + µ j = 0 para algum i e j então a existência de solução depende de C. Caso exista não será única. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 51 / 62

56 Fórmulas usuais Considere matrizes A m n e B n p. Tem-se que ρ(ab) min(ρ(a),ρ(b)), sendo ρ o posto. Sejam as matrizes não-singulares A m n, C m n, D m m, então tem-se que ρ(ac) = ρ(a) = ρ(da). [ ] [ ] A 0 A C Seja M = ou M = assim C B 0 B det(m) = det(a)det(b). S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 52 / 62

57 Considere matrizes [ A m ] n e[ B n m: ] [ Im A Im 0 Im A Defina N =, Q = e P = 0 I n B I n B I n Pode ser mostrado que ]. det(qp) = det(np) = det(p) = det(i m + AB) = det(i n + BA). Em N, Q e P se I n, I m e B são trocados respectivamente por si n, sim e B obtém-se s n det(si m AB) = s m det(si n BA). S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 53 / 62

58 Forma quadrática e definida positiva Uma matriz quadrada M é chamada simétrica se M = M. Os autovalores de matrizes simétricas são todos reais. Uma matriz quadrada A é chamada ortonormal se A A = I, ou seja, A 1 = A. Teorema 3.6 Para toda matriz simétrica M, existe uma matriz ortogonal Q tal que M = QDQ ou D = Q MQ sendo D a matriz diagonal com os autovalores de M, os quais serão reais. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 54 / 62

59 Teorema 3.7 Uma matriz simétrica M n n é definida positiva (ou semidefinida) se e somente se uma das condições acontece: 1 Todo autovalor de M é positivo (ou zero); 2 Todos os principais menores de M são positivos (ou zeros); 3 Existe uma matriz não-singular N (n n ou m n sendo m < n) tal que M = N N. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 55 / 62

60 Teorema Uma matriz H m n com m n, tem posto n, se e somente se a matriz H H n n tem posto n, ou seja, det(h H) Uma matriz H m n com m n, tem posto m, se e somente se a matriz HH m m tem posto m, ou seja, det(hh ) 0. Obs.: Os autovalores não nulos de HH e HH são iguais. A diferença entre as matrizes está no número de autovalores nulos. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 56 / 62

61 Decomposição em valores singulares Seja H uma matriz real m n. Defina M = H H. Sabe-se que r é o número de seus autovalores positivos. Os autovalores de M podem ser ordenados como λ 1 2 λ λ r 2 > 0 = λ r+1 =... = λ n. Seja ñ = min(m,n). Então o conjunto λ 1 λ 2...λ r > 0 = λ r+1 =... = λñ. é chamado valores singulares de H. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 57 / 62

62 Teorema 3.9 (decomposição em valores singulares) Toda matriz H m n pode ser reescrita na forma H = RSQ sendo R R = RR = I m, Q Q = QQ = I n e S m n com valores singulares de H na diagonal. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 58 / 62

63 Exercício 1 - Calcule os valores singulares da matriz [ H = 2 0, Faça a decomposição da matriz abaixo em valores singulares 1 1 K = ]. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 59 / 62

64 Normas de matrizes Norma um A 1 = max j Norma Euclideana n a ij = maior soma absoluta das colunas. i=1 A 2 = maior valor singular de A. Norma infinita n A = max i a ij = maior soma absoluta das linhas. j=1 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 60 / 62

65 Norma de matrizes tem as seguintes propriedades: 1 Ax A x ; 2 A + B A + B ; 3 AB A B. S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 61 / 62

66 Exercício Calcule as normas um, Euclidiana e infinita da matriz [ ] H =. 2 0,5 1 S. A. M. Martins (UFSJ - CSA) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares 62 / 62