Problemas de Álgebra Linear

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1 Problemas de Álgebra Linear Cursos: MEBiol e MEBiom o Semestre 208/209 Prof Paulo Pinto ppinto/ Conteúdo Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Álgebra de matrizes 2 Matrizes invertíveis 3 Sistemas lineares e eliminação de Gauss 3 2 Determinantes ( aula) 5 2 Operações elementares e determinantes Fórmula de Laplace Cofactores 5 3 Espaços lineares (3 aulas) 7 3 Subespaços lineares 7 32 Vectores geradores Independência linear 8 33 Bases e dimensão de espaços lineares 9 34 Coordenadas de um vector numa base 0 4 Valores próprios e vectores próprios ( aula) 4 Matrizes diagonalizáveis 2 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 3 5 Representação matricial de transformações lineares 3 52 Transformações lineares injectivas/sobrejectivas Equações lineares 4 53 Valores e vectores próprios de transformações lineares 6 6 Produtos internos (2 2 aulas) 7 6 Ortogonalização de Gram-Schmidt 8 62 Complementos e projecções ortogonais; equações cartesianas de planos e rectas 8 63 Diagonalização ortogonal/unitária 20 7 Algumas Aplicações ( aula) 20 7 Formas quadráticas Mínimos quadradros 2 73 Equações diferenciais ordinárias Rotações, reflexões, projeccões, contrações, compressões, deslizamentos 22 8 Soluções 23

2 Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Álgebra de matrizes Escreva a matriz A = a ij i,j=,,4 definida por se i = j, { (a) a ij = se j = i +, (b) a ij = j 2 (c) a ij = 0 caso contrário a ji para todo i, j j para j > i 2 Verifique se a matriz A = a ij M 2 2 (R) definida por a ij = 3i + 2j é simética π 3 Sejam A = π, B =, C = 2, D = (a) Calcule, se possível, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD (b) Calcule, se possível, A T, A T B, D T C T, C T C, CC T e (CC T ) T 4 (a) Seja A = Calcule A 2 cos(θ) sen(θ) (b) Para cada real θ, seja A θ = sen(θ) cos(θ) Calcule (A θ ) n com n N 5 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 2 tais que AB BA Será que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? (b) Prove que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 se e só se AB = BA (c) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A então temos A 2 = A 6 Seja A M 2 2 (R) Prove que se tr(aa T ) = 0 então A = Seja A M 2 2 (R) tal que A = e A = Seja A= e para cada k, k 2 R seja x= + k Calcule A 0 + k e A Calcule Ax 9 Sejam u, v M n (R) e a R tais que u T v = a Para a sejam A = I +uv T e B = I +a uvt Calcule AB e BA e verifique que tr(uv T ) = a 2 Matrizes invertíveis 0 0 π 0 Sejam A = e U = a) Verifique se pode obter U a partir de A usando operações elementares b) Justifique que A é invertível e escreva A como produto de matrizes elementares c) Calcule a inversa de A, usando b) Considere a matriz A = a) Encontre matrizes elementares E, E 2 e E 3 tais que E 3 E 2 E A = I b) Escreva A como produto de matrizes elementares c) Escreva A como produto de matrizes elementares

3 Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Seja A = Verifique que existe uma matriz B M 3 2 (R) tal que AB = I, mas que não 0 0 existe nenhuma matriz C tal que CA = I 3 Sejam a, b, c, d números reais Prove que a c b d = ad cb d c b sempre que ad cb 0 a 4 (a) Sejam A, B, C matrizes n n, tais que A e B são invertíveis Resolva a seguinte equação matricial em X: AXB = C 0 (b) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 2 2 tais que I A = 2A (c) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que 0 A 2A = 3I (d) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que 5 a) Determine a matriz A M 2 2 (R) tal que ( 2I ((3A ) T ) ) = b) Seja A tal que (7A) = Calcule A A 2A = 3I 6 (Matrizes nilpotentes) Seja A M n n (R) tal que A k = 0 para algum k N, k Prove que (I A) = I + A + A A k 7 Seja A = (a) Verifique que A 3 é a matriz nula Prove que A não é invertível (b) Calcule (I + A + A 2 )(I A) 8 Quando possível, inverta as seguintes matrizes: 0 A =, B =, C = 0 2 0, D = , E = cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) 9 (a) Dadas A, B matrizes do tipo n n invertíveis tais que A + B é invertível, prove que A + B também é invertível e (A + B ) = A(A + B) B (b) Seja A = a ij uma matriz invertível e B = b ij a inversa de A Mostre que, para cada k 0, a matriz k i j a ij é invertível e a sua inversa é k i j b ij

4 Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) Considere a cifra de Hill cuja matriz de codificação é A = (a) Determine a matriz de descodificação (b) Encontre a mensagem inicial se 3, 2, 6, 3, 2, 3, 23, 0,,, 4, 4,, 8, for a mensagem cifrada (c) Verifique se existe alguma matriz de codificação B do tipo 2 2 que determine a mensagem inicial encontrado em (b), usando a mesma mensagem cifrada de (b) 3 Sistemas lineares e eliminação de Gauss 2 Quais das seguintes equações são equações lineares em x, y e z? (a) x + π 2 y + 2z = 0, (b) x + y + z =, (c) x + y + z = 0, (d) xy + z = 0 22 Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,, 0, π), (0,, {, 3), (0,, 0, 3) pertencem ao conjunto solução do sistema linear seguinte, nas incógnitas (x, y, z, w): x + y + 2z = 0 x 2y z = 23 Determine a intersecção entre as rectas y + x = e y 2x = 2 24 A conversão entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F, é governada pela equação linear: F = 9 5C + 32 Determine a único valor da temperatura cuja conversão não altera o seu valor (isto é quando F = C) 25 Determine valores para x, y, z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (isto é, equilibre as equações químicas): (a) xc 3 H 8 + yo 2 zco 2 + wh 2 O (b) xch 4 + yo 2 zco 2 + wh 2 O 26 Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o método de Eliminação de Gauss (aplicado à matriz aumentada): x + y + 2z = 8 3x + 2y = { x + y + z + w = (a) x 2y + 3z = (b) 6x + 4y = 0 (c) 3x 7y + 4z = 0, 2x + 2y + 2z + 3w =, 9x + 6y =, (d) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 3x y + z =, (e) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 6x + 4y + 0z = 24, (f) y + z = 2 3y + 3z = 6 y + x + y = 0 27 Interprete geometricamente cada conjunto solução obtido no Problema Usando operações elementares, transforme a matriz A = numa matriz U em escada por linhas Indique car(a) e identifique matrizes elementares E, E 2, E 3 tais que E 3 E 2 E A = U 29 Para cada parâmetro real α, considere o sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é dado por α 0 (a) Discuta em termos de α a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior (b) Para α = 4, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente

5 Sistemas de equações lineares e álgebra matricial (2 aulas) 4 30 Discuta, em função do parâmetros α e β, a solução de cada sistema linear cuja matriz aumentada é: α α 0 β 2 (a) α (b) α α 4 4 α 0 α 2 β 3 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada é 2 α 2 β 9 2 (a) Calcule as características de A e da matriz aumentada A b em função dos parâmetros α e β (b) Discuta o tipo de solução do sistema em função dos parâmetros α e β 32 Indique acaracterística de cada uma das seguintes matrizes Quais é queestão em escada de linhas? (a) (b) 0 0 (c) 0 0 (d) 0 0 (e) (f) (g) (h) (i) (j) 0 0 (k) Determine o conjunto solução de cada sistema homogéneo Au = 0 associado a cada matriz A do Problema 26, indicando o número de variáveis livres 34 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna não nula, decida o valor lógica de cada uma das seguintes afirmações: (a) Seja x solução do sistema Ax = b e y solução do sistema homogéneo associado Ay = 0, então x y é solução de Ax = b (b) Se x e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x x 2 é solução de Ax = b (c) Se x e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x x 2 é solução de Ax = 0 (d) Se A é invertível, então x = 0 é a única solução de Ax = 0 35 Seja A uma matriz tal que (, 2, 3) e (3, 2, ) sejam soluções do sistema Ax = T Encontre outra solução do mesmo sistema linear, distinta das anteriores α 0 36 Sejam A α = α, x = 0 0 α seguinte lista de afirmações: x x 2 x 3, b = I) Existe um único valor de α para o qual car(a α ) 3 II) O sistema homogéneo A α x = 0 é possível para qualquer valor de α III) O sistema A α x = b é possível para qualquer valor de α IV) O sistema A α x = b é determinado para infinitos valores de α A lista completa de afirmações correctas é A) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II onde α C é um parâmetro complexo Considere a

6 2 Determinantes ( aula) 5 α α 37 Para cada α R seja A α = α a) Determine a característica de A α em função do parâmetro α e diga quais são os valores de α para os quais A α é invertível b) Determine a inversa de A 0 (α = 0) c) Determine a solução de sistema A 0 x = T 38 Determine um sistema linear de equações cujo conjunto solução seja dado por S: (a) S = {( + t, t) : t R}; (b) S = {(, 0, )}; (c) S = {(t, 2t, ) : t R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s R}; (e) S = 2 Determinantes ( aula) 2 Operações elementares e determinantes Fórmula de Laplace Cofactores a b c 2 Seja A = d e f tal que det(a) = 5 Calcule g h i (a) det(3a) (b) det(a ) (c) det( 2A ) (d) det(( 2A) ) (e) det(a 3 ) (f) det 22 Mostre que det algum a, b, c R? b + c a + c a + b a b c 23 Para que valores de k a matriz A é invertível? 2 4 k 2 2 (a) A = 3 6 (b) A = 2 k 2 k Calcular os determinantes das matrizes π 0 0 A = 0 2 0, B = 0 3 4, C = Seja A = a g d b h e c i f = 0 para quaisquer a, b, c R Será que A é invertível para Prove que det(a6 A 5 ) = 3 26 Seja A M n n (R) tal que AA T = I (a) Prove que det(a) = ± (b) Para n = 2, encontre uma matriz A tal que AA T = I e det(a) =, D =

7 2 Determinantes ( aula) Seja A = (a) Calcule det(a) e justifique que A é invertível (b) Determina a entrada (,3) da matriz inversa A Seja A = Justifique que A é invertível e calcule a entrada (4, 2) de A Seja A α = α 0 α α α 0 α, com α R (a) Calcule det(a α ) e determine os valores de α para os quais A α é invertível (b) Para cada n N, calcule det(a n 0 + An+2 0 ), onde A 0 é a matriz A α para α = 0 (c) Considerando os valores de α para os quais A α é invertível, calcule a entrada (3, ) da matriz A 20 Seja A = Calcule det ( 2A A T det(a 2 )I ) 2 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando a regra de Cramer { 7x 2y = 3 x 3y + z = 4 (a) (b) 2x y = 2 3x + y = 5 4x 3z = 2 a b c 22 Seja A = a 2 Sabendo que det(a) = 5, considere a seguinte lista de afirmações: b 2 4 a 2 I) det a b c = 20 4b 8 6 II) 2a b III) det( 3A) = 35 A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II C) I e II e III D) I e II Seja A = Considere a seguinte lista de afirmações: I) A matriz A é não invertível II) A entrada (,4) da matriz inversa de A é igual a 0 III) A matriz 3 A2 é invertível A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II e III C) II D) III α

8 3 Espaços lineares (3 aulas) 7 24 Seja A, B matrizes n n invertíveis (a) Prove que adj(adj(a))= A n 2 A (b) Prove que adj(ab) =adj(b)adj(a) 3 Espaços lineares (3 aulas) 3 Subespaços lineares 3 Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição de vectores e multiplicação por escalares): (a) {(0, 0)}, (b) {(x, y) R 2 : x 2y = 0}, (c) {(x, y) R 2 : x + y = π}, (d) {(x, y) R 2 : ax + by = k} (e) {(x, y) : x N 0, y R}, (f) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 π}, (g) {(x, y) R 2 : y 0}, (h) {(x, y) R 2 : xy 0} 32 Considere o espaço linear V = R 3 com as operações usuais Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de R 3 são subespaços lineares de V : (a) {(x, y, z) R 3 : z = }, (b) {(x, y, z) R 3 : xy = 0}, (c) {(x, y, z) R 3 : x + y + 2z = 0, x y = 0}, (d) {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x + y + 3z = 0} 33 Considere o conjunto F = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, x z + w = 0, x w = 0} (a) Quais os vectores u, u 2 e u 3 pertencem a F, onde u = (0, 0, 0, 0), u 2 = (, 4, 2, ) e u 3 = (, 4, 2, ), (b) Prove que F é um subespaço de R 4 34 (a) Seja A uma matriz real n m Prove que V = {(x,, x m ) R m : A subespaço linear de R m (b) Use (a) para resolver o Problema 33 (b) 35 Sejam A, B M 2 2 (R) (a) Prove que N (B) N (AB) (b) Se A fôr invertível, então prove que N (B) = N (AB) x x 2 x m = } é um 36 Considere V o espaço linear das funções reais de variável real t Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V são subespaços lineares de V : (a) {f V : f(t) = f( t)}, (b) {f V : f contínua}, (c) {f : V : f diferenciável e f (t) = f(t)} onde f designa a derivada de f, (d) {f V : f é 3 vezes diferenciável e f (t) f (t) + πf (t) = 0, t} (e) {p V : p polinómino}, (f) P n := {p(t) = n i=0 α it i : grau(p) n} onde n é fixo, (g) {p P n : grau(p) = n}, (h) {p P n : p() = 0}

9 3 Espaços lineares (3 aulas) 8 37 Considere o espaço linear V = M n n (R) das matrizes n n Diga, justificando, quais dos seguintes subconjuntos de V são subespaços lineares de V : (a) {matrizes triagulares superiores}, (b) {X V : X é invertível}, (c) {X V : T r(x) = 0}, (d) {X V : X T = X} onde X T designa a transposta da matriz X, 0 (e) {X M 2 2 (R) : AX = XA}, onde A = 0 32 Vectores geradores Independência linear 38 Considere em R 2 o conjunto de vectores S = {(, ), (, )} (a) Mostre que o vector (3, 3) é combinação linear de vectores de S (b) Mostre que o vector (0, ) não é combinação linear de vectores de S 39 No espaço linear R 3 considere os vectores v = (, 2, ), v 2 = (, 0, 2) e v 3 = (,, 0) Mostre que os seguintes vectores são combinações lineares de v, v 2 e v 3 : (a) v = (3, 3, 3) (b) v = (2,, 5) (c) v = (, 2, 0) 30 Determine o valor de k para o qual o vector v = (, 2, k) R 3 é combinação linear dos vectores v = (3, 0, 2) e v 2 = (2,, 5) 3 Decida quais dos seguintes conjuntos geram R 3 : (a) {(,, ), (, 0, )} (b) {(,, ), (, 0, ), (0, 0, )} (c) {(,, ), (, 0, ), (0, 0, ), (2,, 3)} 32 Considere, no espaço linear P 2 dos polinómios de grau menor ou igual a 2, os vectores p (t) = 2 + t + 2t 2, p 2 (t) = 2t + t 2, p 3 (t) = 2 5t + 5t 2 e p 4 (t) = 2 3t t 2 O vector p(t) = 2 + t + t 2 pertence à expansão linear L({p, p 2, p 3, p 4 })? Verifique se p, p 2, p 3 e p 4 geram P 2? Considere A =, A 2 =, A 3 = e A 4 = no espaço linear V =M 2 2 (R) 0 0 Prove que S={A, A 2, A 3, A 4 } gera V Escreva como combinação linear de matrizes de S Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: Em R 2 : (a) {(0, 0)}, (b) {(, )}, (c) {(, ), (2, 2)}, (d) {(, ), (, 2)}, Em R 3 : (e) {(2,, 4), (3, 6, 2), (2, 0, 4)}, (f) {(6, 0, ), (,, 4)}, Em R 4 : (g) {(4, 4, 0, 0), (0, 0, 6, 6), ( 5, 0, 5, 5)} 35 Determine o único valor de a que torna os seguintes vectores linearmente dependentes: v = (, 0, 0, 2), v 2 = (, 0,, 0), v 3 = (2, 0,, a) 36 Quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearente independentes: Em P 3 : (a) {2 t, + t}, (b) { + t, + t 2, + t + t 2 }, (c) { + t + t 3, t t 2 + t 3, t 2 }, (d) {, t, t 2, t 3 }, No espaço das funções reais de variável real: (e) {cos 2 (t), sin 2 (t), 2}, (f) {t, cos(t)}, Em M 2 2 (R): (g) {A =, A 2 = 0, A 3 = 0 0, A 4 = }

10 3 Espaços lineares (3 aulas) 9 33 Bases e dimensão de espaços lineares 37 Indique uma base e a respectiva dimensão para cada espaço linear: (a) {(x, y) R 2 : x + y = 0} (b) {(x, y, z) R 3 : x + y = 0} (c) {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0, x y = 0} (d) {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z = 0, x y = 0, y + w = 0} 38 Determine uma base e a dimensão para o subespaço linear V de R 3 gerado por u = (, 2, ), u 2 = (2, 4, 3), u 3 = (3, 6, 4), u 4 = (, 2, ), ie V = L({u, u 2, u 3, u 4 }) Verifique se V = {(x, y, z) R 3 : 2x y = 0} 39 Seja A = Determine a dimensão dos seguintes espaços lineares, indicando uma base em cada caso: (a) Núcleo de A (b) Espaço linhas de A (c) Espaço colunas de A 320 Encontre a característica, bases para o núcleo, espaço das linhas e das colunas de cada matriz: , 4 3 2, , Para cada matriz A verifique que: dim N (A)+ car(a)= número de colunas de A 32 Seja A = (a) Determine uma base para N (A) (b) Determine uma base de R 3 que inclua duas colunas de A (c) Determine uma base para L (A) C (A) 322 Encontre bases e respectivas dimensões para os seguintes espaços lineares: (a) V = {p P 3 : p() = 0}; (b) V = {p P 2 : p(0) = p() = 0}; a b (c) V = { M 2 2 (R) : a + 2b = 0}; c d (d) {A M 2 2 (R) : A = A T }; 0 (e) {A M 2 2 (R) : A = 0 A} 323 Sejam V = L({(,, ), (, 2, 2)}) e V 2 = {(x, y, z) R 3 : 3x y z = 0} (a) Determine uma equação ax + by + cz = 0 tal que V = {(x, y, z) R 3 : ax + by + cz = 0} (b) Determine dois vectores v, v 2 tais que V 2 = L({v, v 2 }) 324 Sejam V = L({(,, ), (, 2, 2)}) e V 2 = L({(0,, ), (,, 2)}) (a) Calcule dim(v V 2 ) e dim(v + V 2 ) (b) Determine bases para V V 2 e para V + V 2

11 3 Espaços lineares (3 aulas) Determine as dimensões de E F e E + F : (a) E = L({(,,, ), (,,, ), (,, 2, 2)}) e F = L({(, 0, 0, ), (0,,, ), (,, 0, )}); (b) E = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z = 0} e F = ({(x, y, z, w) R 4 : x + w = 0, y + w = 0}; (c) E = L({ + t + t 2, + t 2 }) e F = L({3 + 2t + 3t 2 }) em P Determine uma base para V V 2, onde V = {p(t) P 2 : p( ) = 2p(0) p()} e V 2 = L({ + t, t 2 }) 327 Determine uma base para R 4 que inclua os vectores (,,, ) e (, 0, 0, ) 328 Considere o seguinte subespaço de R 4 : U = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0} (a) Determine uma base para U (b) Determine uma base para U que inclua os vectores (,,, ) e (, 0, 0, ) 329 Seja V = {(x, y, z) R 3 : x z = 0} Considere a seguinte lista de afirmações: I) O conjunto {(, 0, ), (0, 2, 0)} é uma base de V II) dim(v ) = 2 e {(, 0, ), (0,, 0)} forma uma base de V 0 III) V = N (A) onde A = IV) V = N (A) onde A = A lista completa de afirmações correctas é A) I e III B) II e III C) I e IV D) II e IV 34 Coordenadas de um vector numa base 330 (a) Seja Bc = {(, 0), (0, )} e B = {(, ), (, 0)} duas bases de R 2 (a) Encontre as coordenadas v Bc do vector v = (3, 4) na base Bc, assim como as coordenadas v B do mesmo vector na base B (b) Determine a matriz mudança de base S Bc B da base canónica para a base B (c) Use a matriz mudança de base apropriada e determine v B a partir de v Bc (d) Determine o vector w = (a, b) de tal forma que w B = (, ) 33 Considere V = L({v, v 2, v 3 }) onde v = (,,, ), v 2 = (0,,, ) e v 3 = (, 2, 2, 0) (a) Encontre uma base para V e indique a respectiva dimensão (b) Quais são as coordenadas do vector v = (2, 4, 4, 0) na base ordenada de (a)? 332 Encontre as coordenadas do vector v = (, 2, 3) numa base do espaço linear E = {(x, y, z) R 3 : x + y + z = 0} à sua escolha 333 Seja B = {v, v 2 } a base do subespaço linear W de R 3, onde v = (,, ) e v 2 = (, 0, ) Considere a seguinte lista de afirmações: I) (, 2, ) W II) W = {(x, y, z) : x z = 0}

12 4 Valores próprios e vectores próprios ( aula) III) As coordenadas v B do vector v = (2, 3, 2) na base B são v B = (2, ) IV) Se v B = (3, ) são as coordenadas de v na base B, então v = (2, 3, 2) A lista completa de afirmações correctas é A) I e IV B) II e III C) I, II e IV D) I, III e IV 334 Considere em R 2 as bases ordenadas B e B 2 em que B = {(, ), (0, )} Seja S B B 2 = 0 a matriz de mudança da base B para a base B 2 Determine as coordenadas do vector (, ) em B (a) Prove que A =, A 2 =, A 3 = e A 4 = constituem uma base 0 para o espaço linear V = M 2 2 (R) (b) Determine a matriz mudança de base S da base canónica de M 2 2 (R) para a base {A, A 2, A 3, A 4 } a b (c) Encontre as coordenadas de A = na base canónica de M 2 2 (R) e na base {A, A 2, A 3, A 4 } c d 336 Sejam A, B M n m (R)Prove que L(A+B) L(A)+L(B) Será que em geral L(A+B)=L(A)+L(B)? 337 Seja A matriz real 3 3 qualquer, não nula, tal que A 2 = 0 Prove que car(a) = 4 Valores próprios e vectores próprios ( aula) 2 4 Seja A = Considere ainda os vectores v = (0, 0), v 2 = (2, ), v 3 = (, ), v 4 = (2, 3) e 2 v 5 = (2, 2) Identifique os que são vectores próprios de A, indicando os valores próprios associados 42 Determine os valores próprios de uma matriz 2 2 cujo traço seja igual a 5 e cujo determinante seja igual a 6 43 Determine os valores de a e b tais que (, ) é um vector próprio de A = valor próprio de A a b e que λ = 0 é um 44 Para cada uma das seguintes matrizes, encontre os valores próprios e bases para os espaços próprios correspondentes: (a), (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 0 (i)

13 4 Valores próprios e vectores próprios ( aula) 2 4 Matrizes diagonalizáveis Justifique que 5 3 não é diagonalizável, sabendo que λ 3 é o seu polinómio característico Seja A = 0 3 (a) Determine o polinómio característico de A (b) Determine os espaço próprios e indique as respectivas dimensões (c) Prove que A é diagonalizável, indicando uma matriz P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP (d) Calcule A 9 47 Considere as matrizes A = B = (a) Determine os valores e vectores próprios de A e de B (b) Diga, justificando, se A ou Bé diagonalizável (c) Indique um base de R 3 formada por vectores pr oprioes de B Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que D = P BP 48 Considere, para cada parâmetro real α, a matriz A α e o vector v α definidos por: α 0 0 α α 0 0 A α = , v α = (a) Determine o escalar λ R, em função do parâmetro, tal que A α v α = λv α (b) Discuta as dimensões do N (A α ) e do espaço C(A α ) gerado pelas colunas de A α, em função de α (c) Determine, em função de α, bases para N (A α ) e C(A α ) (d) Determine, em função de α, os valores próprios de A α (e) Identifique os valores de α para os quais A α é diagonalizável 49 Determine a matriz A tal que u = (,, 0), u 2 = (,, ) e u 3 = (2,, ) são vectores próprios de A, cujos valores próprios associados são 0, 3 e 0, respectivamente 40 (a) Seja A uma matriz n n invertível, λ um valor próprio de A e v um vector próprio associado ao valor próprio λ Prove que então λ é valor próprio da matriz inversa A Indique um vector próprio associado a este valor próprio (b) Se v é um vector próprio comum às matrizes A e B, então prove que v é um vector próprio de AB 4 Uma matriz R M n n (R) diz-se de rotação se R for ortogonal (R = R T ) e det(r) = Prove que para n ímpar, existe um vector não nulo u tal que Ru = u cos(θ) sen(θ) (b) Para n = 2, prove que existe um real θ tal que R = sen(θ) cos(θ)

14 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 3 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 5 Considere as funções P : R 3 R 2 e T : R 3 R 3 definidas como se segue: P ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z), T ((x, y, z)) = (x + y, x + y + 2z, 2x + 2y + 4z), e os vectores u = (, 2, 3) e v = (, 0, ) (a) Calcule P (u), P (v), P (u + v), P (u) + P (v), P (3u) e 3P (u) (b) Calcule T (u), T (v), T (u + v), T (u) + T (v), T (3u) e 3T (u) 52 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 tal que T (p)(t) = p (t) + p(t) e considere os polinómios p (t) =, p 2 (t) = t, p 3 (t) = t 2 e p 4 = + 2t + 3t 2 Calcule T (p ), T (p 2 ), T (p 3 ), T (p 4 ) e T (p + 2p 2 + 3p 3 ) 53 Determine quais das seguintes transformações são lineares: Em R n : (a) T : R 2 R 2, T (x, y) = (x, y) (b) T : R 2 R 2, T (x, y) = (x +, y) (c) T : R 2 R 2, T (x, y) = (2x, y 2 ) (d) T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x + 2y + z, y 3z, 0) (e) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, x + y) (f) T : R 2 R 3, T (x, y) = (x, 2x + 3y, ) Em P n na varável t e onde p designa a derivada de p: (g) T : P 2 P 2, T (p(t)) = tp (t) + p(t) (h) T : P 2 P 3, T (p(t)) = t 2 p (t) + p(t + ) (i) T : P 2 P 2, T (p(t)) = p(t + ) + p(t ) (j) T : P 2 P 3, T (p(t)) = p( ) + p(0) + p() (l) T : P 3 P 2, T (p(t)) = p(0)p (t) Em M n n (R): ( a b ) (m) T : M 2 2 (R) M 2 2 (R), T = c d b + 2c 0 3c + a d a (n) T : M n n (R) M n n (R), T (X) = X + X T (o) T : M n n (R) M n n (R), T (X) = SX onde S é uma matriz fixa p( ) p(0) (p) T : P 2 M 2 2 (R), T (p) = p(0) p() 54 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 tal que T (, ) = (3, 3) e T (, ) = (, ) Calcule T (, 0) e T (0, ) e determine a expressão geral T (x, y) 5 Representação matricial de transformações lineares 55 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 tal que T (x, y) = (2x y, x + 3y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B) na base ordenada B = {v, v 2 }: (a) v = (, 0), v 2 = (0, ) (b) v = (2, 0), v 2 = (0, 2) (c) v = (0, ), v 2 = (, 0) (d) v = (, ), v 2 = (, )

15 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 4 56 Considere a transformação linear T : R 3 R 3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x + z, z + y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B) na base ordenada B = {v, v 2, v 3 }: (a) v = (, 0, 0), v 2 = (0,, 0), v 3 = (0, 0, ) (b) v = (0, 3, 0), v 2 = (0, 0, 3), v 3 = (3, 0, 0) (c) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, ) 57 Considere a transformação linear T : R 3 R 2 tal que T (x, y, z) = (2x + y, z + 3y) Em cada alínea, determine a representação matricial M(T ; B, B 2 ) nas bases ordenadas B = {v, v 2, v 3 } no espaço de partida e B 2 = {w, w 2 } no espaço de chegada: (a) v = (, 0, 0), v 2 = (0,, 0), v 3 = (0, 0, ), w = (, 0), w 2 = (0, ) (b) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, ), w = (, 0), w 2 = (0, ) (c) v = (, 0, 0), v 2 = (,, 0), v 3 = (,, ), w = (, ), w 2 = (0, ) 58 Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base canónica é representada pela matriz A = Calcule mediante uma matriz mudança de base apropriada: (a) A representação matricial de T na base v = (3, 0), v 2 = (0, 3) (b) A representação matricial de T na base v = (, ), v 2 = (, 2) Seja T : R 2 R 2 a transformação linear que na base B = {(, ), (, 2)} é representada pela matriz 3 2 A = Calcule T (x, y) 2 52 Transformações lineares injectivas/sobrejectivas Equações lineares 50 Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida como se segue: T ((x, y, z)) = (x, y + 2z, y + 2z) (a) Calcule T ((,, )) e T ((, 3, 3)) e verifique se T é injectiva (b) Verifique que não existe um vector u tal que T (u) = (0, 0, ) Conclua que T não é sobrejectiva 5 Seja T : R 3 R 2 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + y, x + y z) (a) Calcule a matriz que representa T nas bases canónicas (b) Calcule uma base para o núcleo de T A transformação é injectiva? (c) Calcule uma base para a imagem de T Será T sobrejectiva? (d) Resolva a equação linear T (x, y, z) = (, ) (e) Existe algum (a, b) R 2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja impossível? (f) Existe algum (a, b) R 2 tal que a equação T (x, y, z) = (a, b) seja indeterminada? 52 Seja T : R 3 R 4 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + 2y, x y, x, x z) (a) Represente T matricialmente nas bases canónicas (b) Será T sobrejectiva ou injectiva? (c) Determine um vector v R 4 tal que T (u) = v não tenha solução

16 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 5 53 Seja T : R 3 R 3 a transformação linear definida por T (x, y, z) = (x + y + z, 2x + 2y + 2z, x y z) (a) Encontre a representação matricial de T numa base de R 3 à sua escolha (b) Justifique que T não é injectiva, nem sobrejectiva (c) Resolva, em R 3, a equação linear T (x, y, z) = (3, 3, 3) 54 Considere a transformação linear T : R 3 R 4 tal que a sua representação matricial nas bases ordenadas B = {(, 2, 0), (3, 2, ), (2,, 0)} e B 2 = {(,,, ), (0,,, ), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 4)} de R 4 e R 3, respectivamente é M(T ; B ; B 2 ) = (a) Verifique se T é injectiva ou sobrejectiva (b) Determine uma base para o núcleo de T (c) Determine uma base pata o contradomínio de T (d) Verifique que T (3, 2, ) = (5,, 33, 08) e resolva, em R 3, a equação linear T (x, y, z) = (5,, 33, 08) 55 Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definida por T (p(t)) = t 2 p (t) 2p(t) (a) Calcule a matriz que representa T na base canónica de P 2 (b) Calcule uma base para o núcleo de T e uma base para o contradomínio de T Conclua que T não é injectiva nem sobrejectiva 56 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 tal que T (p) = p Resolva a equação linear T (p) = q, onde q(t) = + t 57 Seja T : P 2 P 2 a transformação linear definida por T (p(t)) = t 2 p (t) 2p(t) (a) Calcule a matriz que representa T na base canónica {p, p 2, p 3 } (b) Resolva, em P 2, a equação linear t 2 p (t) 2p(t) = { } Seja B =,, uma base ordenada de U={A M 2 2 (R) : tr(a) = 0} e B 2 = { t, + t} uma base ordenada de P Seja T : U P a transformação linear tal que 2 2 M(T ; B ; B 2 ) = B, onde B = 0 ( ) (a) Calcule T (b) Verifique se T é sobrejectiva e determine uma base para N (T ) (c) Resolva, em U, a equação linear T (A) = 4 + 2t (d) Seja R : P U transformação linear tal que M(R; B 2 ; B ) = B T Calcule (T R) (p(t)), para todo o p(t) P

17 5 Transformações lineares (2 2 aulas) 6 53 Valores e vectores próprios de transformações lineares 59 Considere a transformação linear T : R 2 R 2 definida por T (x, y) = (2x + y, 2y) (a) Determine a representação matricial de T da base canónica de R 2 (b) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (c) Mostre que não existe nenhuma base de R 2 constituida por vectores próprios de T 520 Considere a transformação linear T : R 3 R 3 que em relação à base ordenada B = {(0,, 0), (, 0, ), (, 0, )} é representada pela matriz: A = (a) Verifique que p(λ) = (λ 6)(λ 9) 2 é o polinómio característico de T (b) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (c) Determine uma base de R 3 constituída por vectores próprios de T Qual é a matriz que representa T nesta base? (d) Diagonalize a matriz A, isto é, determine uma matriz inverível P e uma matriz diagonal D tais que D = P AP 52 Considere a transformação linear T : P P tal que 2 A = M(T ; B ; B 2 ) =, onde B = { t, + t} B 2 = {2, + t} 2 (a) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (b) Será que existe uma base de P formada por vectores próprios de T? 522 Considere a transformação linear T : M 2 2 (R) M 2 2 (R) definida por T (A) = A + A T (a) Determina a representação matricial de T numa base de M 2 2 (R) à sua escolha (b) Determine os valores próprios e os vectores próprios de T (c) Verifique se T é diagonalizável Em caso afirmativo, indique uma base ordenada de M 2 2 (R) em relação à qual a representação matricial de T é uma matriz diagonal 523 Considere a transformação linear T : P 2 P 2 que na base ordenada {, + t, t t 2 } é representada pela matriz A = (a) Determine os valores e vectores próprios de T (b) Diga, justificando, se existe alguma base de P 2 cuja representação matricial de T é uma matriz diagonal 524 Seja T : P 2 P 2 a aplicação definida como se segue T (p(t)) = p(t + ) I) T não é uma transformação linear Confronte este Problema com o Problema 47

18 6 Produtos internos (2 2 aulas) 7 II) p(t) = + t + t 2 é uma solução da equação linear T (p(t)) = 3 + 3t + t 2 III) A transformação linear T é bijectiva IV) O polinómio p(t) = 5 é um vector próprio de T A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II C) III D) II e III e IV 525 Considere a transformação linear T : P 2 P cuja representação matricial em relação às bases ordenadas B = { + t, t, t 2} de P 2 e B 2 = { + t, + 2t} de P, é dada pela matriz: 2 0 M(T ; B ; B 2 ) = 0 Considere ainda a transformação linear T 2 : P P 2 tal que T 2 () = t T 2 (t) = 2 + 8t 2t 2 a) Determine a matriz M(T 2 ; B; B ) que representa T 2 em relação às bases ordenadas B = {, t} de P e B = { + t, t, t 2} de P 2 b) Determine uma base para N (T ) (núcleo de T ) e diga, justificando, se T é sobrejectiva c) Determine T (t) e encontre, em P 2, a solução geral da equação T (p (t)) = t d) Verifique se é o único valor próprio de T T Seja V um espaço linear de dimensão finita e T : V V um indempotente (transformação linear tal que T T = T ) (a) Mostre que I T também é um idempotente e que 2T I é invertível com (2T I) = 2T I (b) Mostre que N (T ) = C(I T ) (c) Mostre que V = N (T ) C(T ) (ie V = N (T ) + C(T ) e N (T ) C(T ) = {0}) 6 Produtos internos (2 2 aulas) 6 Identifique as aplicações, : R n R n R que definem um produto interno, Em R 2 : (a) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x y + x 2 y 2 (b) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x y + x y 2 + x 2 y 2 (c) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = 2x y + 3x 2 y 2 (d) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x x 2 y + x 2 y 2 (e) (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x 2 y y 2 + x y 2 Em R 3 : (f) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 (g) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x y + 2x y 2 + x 2 y 2 + 3x y 3 + x 2 y 3 + x 3 y 3 (h) (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = x 3 x y 2 + x y 2 62 Determine um produto interno de R 2 tal que (, 0), (0, ) = 2 Será único? 63 Usando o produto interno usual e os vectores u = (,, 2, 2) e v = ( 2, 2,, ), calcule: (a) u, (b) v, (c) u v, (d) u v, (e) u u, (f) proj vu, (g) proj u v, (h) (u, v)

19 6 Produtos internos (2 2 aulas) 8 6 Ortogonalização de Gram-Schmidt 64 Usando o produto interno usual, verifique quais dos seguintes conjuntos constituem uma base ortogonal de R 3 (a) {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )}, (b) {(,, ), ( 2,, ), (0,, )}, (c) {(,, ), ( 2,, ), (0,, )}, (d) {(,, ), ( 2,, )} (e) {(0, 0, 0), (,, ), ( 2,, )} 65 Usando o produto interno usual, determine uma base ortogonal para cada espaço linear E que se segue (a) E = R 2 (b) E = {(x, y) : x + y = 0} (c) E = L({(,, ), ( 2, 2, 2), (,, 3)}) (d) E = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0} (e) E = L({(,,,, ), (, 0,, 0, ), (0, 0, 0,, )} (f) E = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, z 2w = 0} 66 Considere o produto interno em R 2 definido como se segue: (x, x 2 ), (y, y 2 ) = x x 2 2 (a) Verifique se os vectores e = (, 0) e e 2 = (0, ) são ortogonais para este produto interno (b) Verifique se os vectores u = (, ) e u 2 = (2, 3) são ortogonais para este produto interno (c) Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormada de R 2 usando os vectores u e u 2 de (b) 62 Complementos e projecções ortogonais; equações cartesianas de planos e rectas 67 Considere R 3 munido com o produto interno usual e F = L({u }) onde u = (,, ) (a) Determine uma base ortonormada para F (b) Determine uma base para o complemento ortogonal F de F (c) Determine uma base ortonormal para o complemento ortogonal de F, ie base ortonormal para F 68 Considere R 4 munido com o produto interno usual e seja F = {(x, y, z, w) R 4 : x + y + z + w = 0, z 2w = 0} (a) Determine uma base para o complemento ortogonal de F (b) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de F 69 Considere R 4 munido com o produto interno usual e F = {(x, y, z, w) R 4 : x y = 0} (a) Calcule uma base ortogonal para F (b) Determine a projecção ortogonal de p = (,,, ) sobre F e sobre F (c) Calcule d(p, F ) e d(p, F ) 60 Considere em R 4 o produto interno usual (a) Determine uma base para o complemento ortogonal E de E = L({(, 0, 0, 0), (, 0, 0, )}) E uma base ortogonal para E (b) Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( (c) Calcule o ângulo entre v = (,,, ) e w = (, 0, 0, 0) y y Determine uma base para o complemento ortogonal de N ( 0 0 ) ) )

20 6 Produtos internos (2 2 aulas) 9 62 Considere a estrutura de espaço euclidiano em P 2 induzida pelo produto interno p, q = p(t)q(t) d(t) (a) Determine uma base ortogonal de P 3 usando o processo de Gram-Schmidt aplicado à base canónica (b) Calcule uma base para U, onde U = {p P 2 : p() = 0} (c) Calcule d(p, U ), com p(t) = 2t 63 No espaço linear E = M 2 2 (R) considere o produto interno A, B = tr(ab T ), x y e o subespaço linear F = { M 2 2 (R) : x + w = 0, y z = 0} z w (a) Encontre uma base para F (b) Encontre uma base para F 0 (c) Calcule d(a, F ) onde A = 0 64 Considere o espaço linear R 3 munido com o produto interno (x, x 2, x 3 ), (y, y 2, y 3 ) = 2x y + x y 3 + 2x 2 y 2 + x 3 y + 2x 3 y 3 e V = L({(,, 0), (, 0, 2)}) o subespaço linear de R 3 gerado pelos vectores (,, 0), (, 0, 2) (a) Determine u V e v V tais que (,, ) = u + v (b) Calcule a distância entre (,, ) e V 65 Considere o espaço linear R 3 munido com o produto interno usual e V = L({(,, 0), (, 0, 2)}) (a) Determine u V e v V tais que (,, ) = u + v (b) Calcule a distância entre (,, ) e V 66 Seja W o plano de R 3 definido pela equação x 2y + z = 0 (a) Determine a(s) equações (cartesianas) da recta perpendicular a W que passa pelo ponto p = (, 0, 0) (b) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a W que passa no ponto p = (, 0, 0) 67 Considere a recta (,, ) + L({(, 2, 3)}) Encontre equações cartesianas desta recta 68 Seja P o plano tal que (, 0, 4), (, 4, 2), (, 0, 6) P (a) Determine a equação cartesiana de P (b) Determine as equações paramétrica de P (c) Determine a equação vectorial de P (d) Determine a equação cartesiana do plano paralelo a P e que passa em (,, ) 69 Seja p + F um k-plano em R n Prove que p + F é um subespaço linear de R n se e só se p F 620 Sejam u = (4, 3, 7), v = (2, 5, 3) R 3 Determine os produtos externos u v, v u, u u e v v 62 Calcule a área do triângulo de vértices u, v, w, com u = (0,, ), v = (2, 0, ) e w = (3, 4, 0)

21 7 Algumas Aplicações ( aula) Diagonalização ortogonal/unitária 622 Para cada aplicação, : R n R n R definido no Problema 6, a), b), c), f) e g), determine uma matriz A tal que u, v = uav T (a) Em que casos é esta matriz A é simétrica e tem todos os valores próprios estritamento positivos? Compare esta resposta com a solução do Problema Considere o produto interno em R 2 tal que G = seja a matriz de Gram relativamente à base 3 B = {(, ), (2, 3)} Determine a, b, c, d tais que (x, x 2 ), (y, y 2 ) = ax y + bx y 2 + cx 2 y + dx 2 y Das seguintes matrizes indique as que são as matrizes hermiteanas: 2 2 i i i,,,, onde i = i 3 i Considere as seguintes matrizes reais A = , B = , C = a) Indique as matrizes normais (isto é verifique se AA T = A T A, etc) e as matrizes simétricas b) Identifique as matrizes X {A, B, C} diagonalizáveis, construindo (nesses casos) para cada X uma matriz invertível P tal que P XP é uma matriz diagonal D c) Verifique que C é única matriz ortogonalmente diagonalizável Counstrua uma matriz ortogonal (real) Q e D diagonal (real) tal que D = QCQ T 626 Seja A M n n (C) matriz normal Porve que N (A) = N (A ) 7 Algumas Aplicações ( aula) 7 Formas quadráticas 7 Classificar as seguintes formas quadráticas, em definids positivas, definidas negativas, semidefinidas positivas, semidefinidas negativas ou indefinidas: (a) Q(x, y) = x 2 + y 2 + 2xy (b) Q(x, y) = 2x 2 + 2y 2 + 2xy (c) Q(x, y) = 3x 2 + 2yx 2y 2 (d) Q(x, y, z) = x 2 + y 2 + 3z 2 + 4yx (e) Q(x, y, z, w) = x y z w α 0 0 α x y z w, onde α é um parâmetro 2 72 (a) Seja A = Verifique que A é definida positiva e calcule A (b) Calcule

22 7 Algumas Aplicações ( aula) 2 72 Mínimos quadradros 4 73 Seja A = 3, b = , u = 2 3 e v = (a) Calcule Au e Av e compare estes vectores com b (b) Diga se u pode ser uma solução de mínimos quadrados para a equação Ax = b (c) Determine o sistema normal associado A T Ax = A T b e determine a(s) suas soluções Compare com (b) 74 Determine todas as soluções de mínimos quadrados para a equação Ax = b: (a) A =, b = 0 (b) A = 0, b = Um produtor de aço obteve os seguintes dados: Ano vendas anuais (em milhões de euros), 2 2, 3 3, 2 3, 6 3, 8 5, Vamos representar os anos de 997 a 2002 por 0,, 2, 3, 4, 5, respectivamente, e representar o ano por x Seja y a venda anual (em milhões de euros) (a) Encontre a recta de mínimos quadrados relacionando x e y (b) Use a equação obtida em (a) para estimar as vendas no ano de Seja A uma matriz cujas colunas são linearmente independentes e b um vector ortogonal a todas as colunas de A Prove que a única solução de mínimos quadrados de Ax = b é x = Considere as matrizes A = 2 e b = (a) Verifique que o sistema Ax = b é impossível (b) Determine todas as soluções de mínimos quadrados associadas ao sistema Ax = b (c) Foi observado que os lucros obtidos nas 3 primeiras semanas pela venda de um automóvel na União Europeia foram: Semana 2 3 Lucros (em milhões de euros), 5 0, 5 3 Vamos representar as semanas por x e o lucro semanal por y Encontre a recta y = α + βx de mínimos quadrados relacionando x e y Use a recta obtida para estimar os lucros na semana 6 78 Considere a seguinte tabela de dados: x y Determine os modelos: (a) linear y = a + bx (b) exponencial y = ae bx (c) logarítmico y = a + b log(x) (d) potencial y = ax b (e) hiperbólico y = a + b x que melhor ajustam os dados experimentais dados na tabela

23 7 Algumas Aplicações ( aula) Equações diferenciais ordinárias Problemas que se podem fazer com os conhecimentos do capítulo 4 79 Das funções y (t) = e 2t, y 2 (t) = e 2t + π, y 3 (t) = πe 2t, y 4 (t) = e 2t+π quais são soluções da equação diferencial y (t) = 2y(t)? 70 Determine a solução geral dos seguintes sistemas de quações diferenciais { { y (a) = 3y + y 2 y y 2 = 5y, (b) = 3y + 2y y = 3y + 2y y 2 y 2 = y, (c) y 2 + y 2 = y + y 2 y 3 = y 2 y 3 7 Para cada um dos sistemas do Problema anterior determinante a solução que verifica as condições (a) y (0) = 0 e y 2 (0) = 0 (b) y (0) = 2 e y 2 (0) = (c) y (0) =, y 2 (0) = e y 3 (0) = 0 72 (a) Mostre que a matriz A = mudança de base P tais que D = P AP (b) Encontre a única solução do seguinte sistema de equações diferenciais: { 2y (t) + y 2 (t) = y (t) 2y (t) + 5y 2 (t) = y 2 (t) com as condições y (0) =, y 2 (0) = é diagonalizável, indicando uma matriz diagonal D e matriz 73 Considere o seguinte sistema de equações diferenciais com valor inicial: A solução deste sistema é: A) y (t) = 3e t + 5e 3t, y 2 (t) = 5e 3t B) y (t) = 8e t, y 2 (t) = 5e 3t C) y (t) = 3e 3t + 5e t, y 2 (t) = 5e t D) y (t) = 3e t + 5e 2t, y 2 (t) = 5e 3t y = y + 2y 2 y 2 = 3y 2 y (0) = 8 e y 2 (0) = 5 74 Determine o conjunto de todas as soluções do seguinte sistema de equações diferenciais de a ordem: { 3y (t) = y (t) 3y (t) 2y 2 (t) = y 2 (t) (a) Usando as condições iniciais y (0) = 40 e y 2 (0) = 5, verifique que y (t) = 40e 3t, y 2 (t) = 20e 3t + 25e 2t, é a (única) solução do sistema de equações diferenciais descrito anteriormente 74 Rotações, reflexões, projeccões, contrações, compressões, deslizamentos Problemas que se podem fazer com os conhecimentos do capítulo 5 75 (Rotações ver Problemas 4 e 4) Para cada real θ 0, 2π, seja R θ : R 2 R 2 tal que R θ (x, y) = (x cos(θ) y sin(θ), y cos(θ) + x sin(θ))

24 8 Soluções 23 (a) Prove que R θ é uma transformação linear Determine A θ := M(R θ ; Bc, Bc) e verifique que A θ = A θ (b) Verifique que R θ R ϕ = R θ+ϕ (c) Sendo R θ : R 3 R 3 uma rotação em R 3 de um ângulo θ, verifique se existe uma base B de R 3 tal que M(R θ ; B; B) = cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) 76 (Reflexões) Para cada real θ 0, π, seja F θ : R 2 R 2 a reflexão da recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0 Prove que a representação matricial de F θ relativamente à base canónica é cos(2θ) sin(2θ) sin(2θ) cos(2θ) 77 (Projecções) Para cada real θ, seja P θ : R 2 R 2 a projecção sobre a recta que passa na origem e forma um ângulo de θ com o eixo y = 0 Prove que a representação matricial de P θ relativamente à base canónica é cos 2 (2θ) sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ) sin 2 (θ) 78 (Contração/Dilatação, Compressão/Expansão, Deslizamento) Para cada α real considere as transformações lineares que na base canónica são representadas pelas matrizes: α 0 α 0 α,, 0 α 0 0 sendo X = {(x, y) R 2 : 0 x, 0 y } o quadrado unitário, calcule a imagem de X por cada uma dessas transformações 8 Soluções a) A = (b) A = (c) A = Não 3 (a), (b) AB, AC, AD não existem 4 (a) A = (b) (A θ ) n = A nθ (a) A =, B = Não (b) e (c) Provas Prova (verifique que tr(aa ) é a soma de reais não negativos) e Ax = T 9 AB = I = BA 0 a) Sim b) A invertível (não há linhas nulas na matriz em escada U) A = P 3E 2(2)E 3(π)E 32()E 2() c) A = E 2( )E 32( )E 3( π )E2( 2)P3 = π 3 π 2 0 π a) E = 5 0, E 2= 0 0, E 3= 0 /2 0 b) A =E 3E 2E c) A=E E 2 E 3 =

25 8 Soluções Qualquer matriz B = 0 (Uma matriz não quadrada pode ter inverso à esquerda e não à direita) a b 3 Prova 4 (a) X = A CB 0 /2 (b) A = (c) Impossível (d) A = a) A = 3, b) A = Prova 7 (a) Prova (b) I B não invert A 2 =, C = 2, D = 3 6, E cos(θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) 0 9 (a) Prova (note que para provar que X = Y basta verificar que XY = I ou Y X = I) (b) Prova (comece por escrever A e B nos casos n = 2 e n = 3) (a) A = 0 0 (b) ALGEBRA LINEAR (c) Não 0 2 (a) e (b) Sim (c) e (d) Não 22 (,, 0, 0), (,, 0, π) S e os restantes não 23 x =, y = 5 24 F = C = Temos que resolver o sistema: (a) 3x = z 8x = 2w 2y = 2z + w (b) x = z 4x = 2w 2y = 2z + w 26 (a) S = {(3,, 2)} (b) S = (c) S = {(2 y z, y, z, ) R 4 : y, z R} (d) S = {(2,, 4)} (s) S = {( 2 + z, 3 z, z) R 3 : z R} (f) S = {(2z 4, 2 z, z) R 3 : z R} 27 (a) um ponto (b) vazio (c) plano em R 4 (d) um ponto (f) rectas 28 Por exemplo U = Car(A) = 3; E = E 2 (), E 2 = E 3 ( 2) e E 3 = E 23 ( 2) 29 (a) Sist determinado para α 4 Para α = 4 sistema indeterminado (b) S = {(0 + 6z, 2z, z) R 3 : z R} 30 (a) Para α e α 2 o sistema é possível e determinado Para α = sistema é possível e indeterminado Finalmente para α = 2, o sistema é impossível (b) O sistema é possível e determinado se α 0 e β 2 É impossível para α = 0 e β 2 Nos restantes casos, o sistema linear é possível e indeterminado (ie β = 2 e qualquer α) { 3, α 5, β R 3, α 5 3 car A =, car A b = 3, α = 5 e β /2 (b) Sistema é impossível quando α = 5 e β /2 2, α = 5 2, α = 5 e β = /2 É determinado quando α 5 (e qualquer β) Indeterminado quando α = 5 e β = /2 32 (a) car(a)= Não (b) car(b)=3 Sim (c) car(c)=2 Sim (d) car(d)=2 Sim (f) car(f)=2 Não (g) car(g)=2 Sim (h) car(h)=0 Sim (i) car(i)=0 Sim (j) car(j)= Não (k) car(k)= Sim 33 (a) S = {(0, 0, 0)} (b) S = {( 2 3 y, y) R3 : y R} (c) S = {( y z, y, z, 0) R 4 : y, z R} (d) S = {(0, 0, 0)} (f) S = {( 2z, z, z)r 3 : z R} 34 (a) Sim (b) Falso (c) Sim (d) Sim 35 (, 2, 3) (3, 2, ) = ( 2, 0, 2) é solução do sistema homogéneo associado Assim, para cada k, (, 2, 3) + k( 2, 0, 2) é uma solução de sistema inicial 36 A) α α 37 a) A α 0 + 2α 2 2α Logo A α invertível sse car(a α) = 3 sse α 2 e α 2 Car(A )=car(a 2 ) = α 0 0 A 0 = 2 c) x = A T T 0 = 2 / (a) x + y = 2 (b) x =, y = 0, z = (c) 2x y = 0, z = (d) x + y = z (e) 0 = 2 (a) 3 3 ( 5) (b) (c) ( 2)3 5 ( 5) 22 Prova 23 (a) k (b) k / {0, 4} (d) ( 2) 3 ( 5) (e) ( 5) 3 (f) ( 5) 24 det(a) = 6, det(b) = 7, det(c) = 54, det(d) = Prova 26 (a) Prova (b) A = 27 (a) det(a) = 52 (b) (A ) 0 (,3) = det(a) = 3, (A ) (4,2) = 0 29 (a) det(a) = (α )(α 2 ) e A α invertível sse α {, } (b) det(a n 0 + An+2 0 ) = 20 (c) (A ) (3,) = α

26 8 Soluções (a) x =, y = 2, (b) x = 8, y = 34, z = C) 23 B) 24 Prova 3 (a) Sim (b) Sim (c) Não (d) Sim sse k = 0 (e) Não (f) Não (g) Não (h) Não 32 (a) Não (b) Não (c) Sim (d) Sim 33 (a) u F, u 2 F, u 3 F (b) Prova 34 (a) Prova (b) F = N ( 0 ) (a) Prova (b) Prova 36 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) Sim (f) Sim (g) Não (h) Sim 37 (a) Sim (b) Não (c) Sim (d) Sim (e) Sim 38 (a) Prova (b) Prova 39 (a) Prova (b) Prova (c) Prova 30 k = 8 3 (a) Não geram (b) Sim (c) Sim 32 p(t) = 2 + t + t 2 L({p, p 2, p 3, p 4 }) Não geram P 2 33 A = A + A 2 + A 3 + A 4 34 (a) LD (b) LI (c) LD (d) LI (e) LI (f) LI (g) LI 35 a = 2 36 (a) Sim (b) Sim (c) Sim (d) Sim (e) Não (f) Sim (g) Sim 37 (a) Uma base é {(, )} e dim(u) = (b) Uma base é {(,, 0), (0, 0, )} e dim(u) = 2 (c) Uma base é {(,, 2)} e dim(u) = (d) Uma base é {(,, 2, )} e dim(u) = 38 Uma base para U é {u, u 2 } e dim(u) = 2 39 (a) {(, 2, )} base de N (A) (b) {(, 5, 9), (0,, 2)} base de L(A) (c) {(, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8)} base de C(A) 320 car(a) = 2, {(, 2, )} base de N (A), {(, 5, 9), (0,, 2)} base de L(A) e {(, 2), (5, 6)} base de C(A); car(b) =, {(4, )} base de N (B), {(, 4)} base de L(B) e {(, 3)} base de C(B); car(c) = 0, {(, 0, 0), (0,, 0), (0, 0, )} base de N (C), base de L(C) e C(C); car(d) = 2, base de N (D), {(, 5), (2, 6)} base de L(D) e {(, 2, 3), (5, 6, 7)} base de C(D) 32 (a) {(,, )} (b) {(, 0, ), (0,, ), (0, 0, )} (c) {(, 0, )} 322 (a) { + t, + t 2, + t 3 } é uma base e dim(v )=3 (b) {t t 2 } é uma base e dim(v ) = (c) {,, } base e dim(v ) = 3 (d) {,, } base e dim(v ) = 3 (e) {, } e dim(v ) = (a) y z = 0 (b) v = (, 0, 3), v 2 = (0,, ) 324 (a) dim(v V 2 ) = e dim(v + V 2 ) = 3 (b) V + V 2 = R 3 e {(2, 3, 3)} é uma base de V V (a) dim (E F )=, dim(e + F )=4 (b) dim (E F )=, dim(e + F )=4 (c) dim(e F )=, dim(e + F )=2 326 { t} 327 Pex: {(,,, ), (, 0, 0, ), (0, 0,, 0), (0, 0, 0, )} 328 (a) {(,, 0, 0), (, 0,, 0), (, 0, 0, )} base de U (b) Pex: {(,,, ), (, 0, 0, ), (, 0,, 0)} 329 C) (a) v Bc = (3, 4) e v B = (4, ) (b) S Bc B = S B Bc = 0 (d) S B Bc w B =, ie w = 0(, 0) + (0, ) = (0, ) 33 (a) B = {v, v 2 } é uma base de V e dim(v ) = 2 (b) (2, 4, 4, 0) B = (2, 2) 332 Uma base de E é B = {(,, 0), (, 0, )} e (, 2, 3) B = (2, 3) 333 C) 334 (, ) B2 = (, 2) 0 = (c) v B = S Bc B v Bc 335 (a) Como dim(m 2 2 (R)) = 4, basta ver que A, A 2, A 3, A 4 são linearmente independentes; (b) S Bc B = (c) A Bc = (a, b, c, d) e A B = (a, a b, b + c 2a, d c) 336 Prova (car(a)= ou car(a)=2, pois A é não nula e não invertível Por outro lado A 2 = 0 implica que A(Au) = 0 para todo o vector u, pelo que C(A) N (A) Podemos agora concluir que car(a)=, usando a equação dimc(a)+dimn (A) = 3) 337 Prova Não, pex, considerar B = A 0 4 v, v 2, v 4 não são vectores próprios de A, v 3, v 5 são vectores próprios e λ =, λ = 3 são os valores próprios associados, respectivamente 42 Os valores próprios de A são 2 e 3 (λ + λ 2 = 5 e λ λ 2 = 6) 43 a = b = 44 (a) σ A = {, 3}, E = L({(0, )}) e E 3 = L({(, 2)}) b) σ B = {4, 4} e E 4 = L({(3, 2)}) c) σ C = { 2 3, 2 3}, E 2 3 = L({( 3, 2)}) e E 3 = L({( 3, 2))}) d) σ D = {3, 4}, E 3 = L({(, 0)}) e E 4 = L({(0, )}) e) σ E = {0, 0} e E 0 = R 2 f) σ F = {, 2, 3}, E = L({(0,, 0)}), E 2 = L({(, 2, 2)}) e E 3 = L({(,, )}) g) σ G = {, 2, 3}, E = L({(,, 0)}), E 2 = L({(0,, 0)}) e E 3 =