Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004)

Transcrição

1 ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Ano Lectivo de 2004/2005 Resolução do 1 o Teste - A (6 de Novembro de 2004) 1 Considere o subconjunto de R 4 : B {(a +2b, 0, 2a b, b) R 4 : a, b R} [1,5 (a) Mostre que B é um subespaço vectorial de R 4 B é um subespaço vectorial de R 4 se: B Se u, v B u + v B Se u B,λ R λ u B Vejamos: B pois (0, 0, 0, 0) B (basta considerar a b 0) Se u B, então u (u 1 +2u 2, 0, 2u 1 u 2,u 2 ) e, se v B, então v (v 1 +2v 2, 0, 2v 1 v 2,v 2 ) Assim, u + v (u 1 +2u 2, 0, 2u 1 u 2,u 2 )+(v 1 +2v 2, 0, 2v 1 v 2,v 2 ) (u 1 +2u 2 + v 1 +2v 2, 0, 2u 1 u 2 +2v 1 v 2,u 2 + v 2 ) (u 1 + v 1 +2(u 2 + v 2 ), 0, 2(u 1 + v 1 ) (u 2 + v 2 ),u 2 + v 2 ) B Se u B, então u (u 1 +2u 2, 0, 2u 1 u 2,u 2 ) Assim, λ u λ (u 1 +2u 2, 0, 2u 1 u 2,u 2 ) (λ (u 1 +2u 2 ), 0,λ(2u 1 u 2 ),λu 2 ) (λu 1 +2λu 2, 0, 2λu 1 λu 2,λu 2 ) B Logo B é um subespaço vectorial de R 4 [1,5 (b) Determine uma base para B e indique a sua dimensão Como qualquer vector de B pode ser escrito na forma (a +2b, 0, 2a b, b) então (a +2b, 0, 2a b, b) a (1, 0, 2, 0) + b (2, 0, 1, 1), com a, b R, o que significa que (1, 0, 2, 0) e (2, 0, 1, 1) geram B Como facilmente se verifica que estes dois vectores são linearmente independentes, conclui-se que constituem uma base de B Uma vez que a base tem dois vectores, dim B 2 1

2 [1,5 (c) Caracterize B por meio de um sistema de equações Tem-se B { (x, y, z, w) R 4 :(x, y, z, w) a (1, 0, 2, 0) + b (2, 0, 1, 1), a,b R } Então, (x, y, z, w) a (1, 0, 2, 0) + b (2, 0, 1, 1) a x 2w y 0 b w x a +2b y 0 z 2ab w b a x 2w b w y 0 z 2x 5w e, portanto, B { (x, y, z, w) R 4 : y 0 z 2x 5w } [1,0 (d) Determine m R de modo que o vector (m, 0,π,2) B Tem-se: Portanto, m π 2 +5 (m, 0,π,2) a (1, 0, 2, 0) + b (2, 0, 1, 1) (m, 0,π,2) (a +2b, 0, 2a b, b) m a +2b m a π 2a2 π 2ab b 2 2b m a +4 a π+2 2 b 2 m π 2 +5 a π 2 +1 b 2 [1,5 2 Defina vectores linearmente dependentes e verifique se os vectores de P 2 (espaço vectorial dos polinómios de grau menor ou igual a 2), p(x) 2 x, q(x) 2x x 2 e r(x) 6 5x + x 2, são linearmente dependentes Os vectores v 1, v 2,, v p são linearmente dependentes se existir uma combinação linear nula destes vectores com os escalares não todos nulos, isto é, se existem α 1,α 2,,α p, não todos nulos, tais que: α 1 v 1 + α 2 v α p v p 0 2

3 Vejamos: αp (x)+βq (x)+γr (x) 0x 2 +0x +0 α (2 x)+β ( 2x x 2) + γ ( 6 5x + x 2) 0x 2 +0x +0 2α αx +2βx βx 2 +6γ 5γx + γx 2 0x 2 +0x +0 (γ β) x 2 +(2β α 5γ) x +(2α +6γ) 0x 2 +0x +0 γ β 0 2β α 5γ 0 2α +6γ 0 α 3β γ β 2β α 5β 0 6β +6β 0 γ β α 3β 00 Logo o sistema tem uma infinidade de soluções, pelo que p (x),q(x) e r (x) são linearmente dependentes [2,0 3 Seja E um espaço vectorial e X { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } um conjunto de geradores de E tal que: i) v 1, v 2, v 3, v 4 e v 5 são vectores linearmente dependentes ii) v 1 + v 2, v 2 + v 3 e v 3 são vectores linearmente independentes iii) { v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 } não gera E Mostre que v 1, v 2 e v 3 são vectores linearmente independentes e que dim E 4 Se os vectores v 1 + v 2, v 2 + v 3 e v 3 são vectores linearmente independentes, então v 1, v 2 e v 3 também são vectores linearmente independentes, uma vez que a independência não se altera se a um dos vectores dum conjunto adicionarmos uma combinação linear dos restantes De facto, v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 são linearmente independentes v 1 + v 2, v 2 + v 3 v 3, v 3 são linearmente independentes v 1 + v 2 v 2, v 2, v 3 são linearmente independentes v 1, v 2, v 3 são linearmente independentes Se X { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } é um conjunto de geradores de E e v 1, v 2, v 3, v 4 e v 5 são vectores linearmente dependentes então dim E<5 Como { v 1, v 2, v 3 } é um conjunto de vectores linearmente independentes e { v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 } não gera E, entãodim E>3, logo dim E 4 4 Considere o espaço euclidiano R 3 com a base canónica { e 1, e 2, e 3 } Dados os vectores x e 1 e 3, y e 1 + e 2 e z e 1 +2 e 3 determine: 3

4 [1,0 (a) x 2 y z x 2 y z x (2 y) z [1,5 (b) Um vector de norma igual a 6 e ortogonal a x e y Determinemos o vector x y, ortogonal a x ea y : x y e 1 e 2 e e 1 + e 2 + e e Resta determinar o valor de k tal que k ( x y) 6 Ora, e k ( x y) 6 k x y 6 k 3 6 k ± 2 Considerando k 2, ovector 2( x y) ( 2, 2, 2) satisfaz as condições pretendidas 5 Considere em R 3 a base canónica { e 1, e 2, e 3 } Sejam u a e 1 e 3 com a R, v 2 e 1 +2 e 2 4 e 3,A(1, 0, 3) e B (2, 1, 0) [1,0 (a) Verifique se AB e v são colineares Sendo AB (1, 1, 3), vejamos se existe α R, tal que AB α v Esta igualdade conduz ao seguinte sistema impossível: AB α v (1, 1, 3) α (2, 2, 4) Por conseguinte, os vectores AB e v não são colineares [1,5 (b) Determine o ângulo formado pelos vectores 2 AB e v Seja θ (2 AB, v) e 2 AB (2, 2, 6) Tem-se: cos θ 2 AB v 2 AB v ( 12 Assim, θ arccos ) (1, 1, 3) (2, 2, 4) 2 AB v α 1 2α 1 4α 3 e 3 α 1 2 α 1 2 α 3 4 (1, 1, 3) (2, 2, 4)

5 [1,5 (c) Determine a R de modo que o volume do paralelepípedo definido a partir dos vectores u, v e AB seja igual a 6 O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do seguinte produto misto: u v a 0 1 AB a Como se pretende que o volume seja igual a 6, conclui-se: [1,5 6 Sejam a e b vectores de R 3 Mostreque 2a a +46 2a +46 2a 2 2a 10 a 1 a 5 a b 2 +( a b) 2 a 2 b 2 Considere-se θ ( a, b) Então: a b 2 +( a b) 2 ( a ) 2 ( b sen θ + a ) 2 b cos θ a 2 b 2 sen 2 θ + a 2 b 2 cos 2 θ a 2 b ( 2 sin 2 θ +cos 2 θ ) a 2 b 2 7 Considere as matrizes [ w x A y x [ w y, B x 3 e C [ , onde x, y e w são números reais [1,5 (a) Determine os valores de x, y e w que satisfazem a equação matricial 2A B +3C [ [ 2w 2x w y 2A B +3C + 2y 2x x 3 [ [ 2w 2x w +3 y +6 2y 2x x w w +3 w 3 2x y +6 x 6 2y x +6 y 6 2x 12 [

6 [1,5 (b) Mostre que A + B T ésimétricaseesósex y A + B T é simétrica sse A + B T ( A + B T )T, ou seja, sse A + B T A T + B Substituindo em ambos os membros desta igualdade as respectivas matrizes obtémse, [ [ T [ T [ w x w y w x w y + + y x x 3 y x x 3 [ [ [ [ w x w x w y w y + + y x y 3 [ 2w 2x 2y x+3 x x [ 2w 2y 2x x+3 { 2x 2y 2y 2x x y x 3 6