AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES

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1 1 SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL E SUDESTE DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS FACULDADE DE MATEMÁTICA AULAS DE CONJUNTOS E FUNÇÕES PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA PARFOR PROFESSOR: RIGLER ARAGÃO ALUNO(A): PERÍODO DA DISCIPLINA: / / A / / LOCAL: SANTANA DO ARAGUAIA-PA CONTATO COM A COORDENAÇÃO DO CURSO: mat.parfor@unifesspa.edu.br

2 2 CONJUNTOS Intuitivamente, conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos, números, pessoas etc. Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas do nosso alfabeto e seus elementos por letras minúsculas. Podemos representar um conjunto de diferentes maneiras: ¾ Por etensão. Por uma listagem de seus elementos, escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula. E.: A={1,3,5}. ¾ Por compreensão. Atribuindo uma característica comum a todos os seus elementos. E.: B={ / é número ímpar menor que sete}. ¾ Pelo diagrama de Venn. E.: PRINCIPAIS SÍMBOLOS pertence não pertence / tal que está contido não está contido eiste ao menos um! eiste um único / não eiste para todo ou qualquer implicação equivalência união intersecção Eemplo Sendo P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determina, por etensão, os seguintes conjuntos: A = { P / = 3k, k P} = { } B = { P / = 2 k, k P} = { } Observações ¾ Um conjunto que não tem elementos é chamado conjunto vazio e representado por φ ou { }. ¾ Quando o conjunto é infinito utilizamos reticências (...). E.: E = {1, 2, 3,...}. ¾ Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento do conjunto A também é elemento de B. E.: Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5} então A B ou A é subconjunto de B. ¾ Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos comuns a A e B. E.: Se A = {1, 2, 3, 8} e B = {2, 8, 9} então A B = {2, 8}. ¾ Chamamos de A B o conjunto formado por todos os elementos de A ou B.

3 3 Considerando os conjuntos A e B do eemplo anterior, temos A B = {1, 2, 3, 8, 9}. Principais Conjuntos Numéricos CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Z Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Q Q = { / = a, com a Z, b Z e b 0} b Observações ¾ Z Q, pois se a Z, a = a Q. 1 ¾ Todo número racional pode ser representado na forma decimal, e podemos ter dois casos: 1) a representação decimal é finita: 7 3 = 1,75 ; = 0, ) a representação decimal é infinita periódica: 1 47 = 0, = 0, CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS I Considera os números 2, 3 e π, suas representações decimais são: 2 = 1, = 1, π = 3, e = 2, (n.º de Euler)

4 4 Observa que eistem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome a de números irracionais que não podem ser escritos na forma não. Todas as raízes b eatas são eemplos de números irracionais. CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS R = Q U I = { / é racional ou é irracional} Portanto, são números reais: os números naturais; os números inteiros; os números racionais; os números irracionais. Podemos representar os Reais em uma reta que chamamos Reta Real: Cada número Real tem um ponto na reta associado a ele e cada ponto da reta tem um número Real que o representa e a este número chamamos coordenada do ponto ou abscissa do ponto. Alguns Conceitos Importantes MÓDULO DE UM NÚMERO O módulo de um número é geometricamente a distância dele ao ponto de coordenada zero. a, se a 0 Assim: a = a, se a < 0 Eemplo Se a = 3 então a = 3 ou a = 3 Se a < 3 então 3 < a < 3 Se a > 3 então a > 3 ou a < 3

5 5 PAR ORDENADO Se a e b são números reais, então (a,b) é um par ordenado de números reais, onde o primeiro elemento é a e o segundo elemento é b. Representação Gráfica (Eio das ordenadas) b P(a,b) o a (Eio das abscissas) P é o ponto de coordenadas a e b O número a é chamado abscissa de P O número b é chamado ordenada de P A origem do sistema é o ponto O(0,0). Eemplo Representa os pontos: M(2,3), N(-1,4), P(-2,-1), Q(3,-2), R(4,0), S(-3,0), T(0,1) e V(0,-3). Eercícios 1) Completa usando os símbolos ou : a) 7 N b) 2 Q c) ½ I d) e) 0, Q f) 64 R g) 3,232 Q h) 3 27 Z 9 4 Q

6 6 2) Determina, por etensão, os seguintes conjuntos: a) { N / 1 4} b) { Z / -3 < 3} c) { Z / 0 < 5} d) { N / 3} e) { Z / > 4} Intervalos Chamamos de intervalo a determinados subconjuntos dos números reais. Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: ¾ intervalo aberto (a, b) = { R / a < < b } ¾ intervalo fechado [a, b] = { R / a b } ¾ intervalo semi-aberto à direita (a, b] = { R / a < b } ¾ intervalo semi-aberto à esquerda [a, b) = { R / a < b } ¾ intervalos infinitos (a, + ) = { R / > a} [a, + ) = { R / a} (, a) = { R / < a} (, a] = { R / a} Observação: (, + ) = R Eemplos Usando a notação de conjuntos, escreve os intervalos: a) [6,10] = { R / 6 10 } b) (-1,5] = { R / -1 < b } c) (-,3) = { R / < 3 } Operações com intervalos Intersecção ( ) A B = { U / A e B }

7 7 União ( ) A B = { U / A ou B } Diferença ( ) A B = { U / A e B } Eemplos 1) Se A = { R / 2 < 5} e B = { R / 3 < 8}, determina A B, A B, e A B. 2) Se A = { R / -2 0} e B = { R / 2 < 3}, determina A B, A B, e A B. Eercício: determina A B, A B e A B quando: a) A = { R / 0 < < 3} e B = { R / 1 < < 5} b) A = { R / -4 < 1} e B = { R / 2 3} c) A = { R / -2 < 2} e B = { R / 0}

8 8 Funções As funções desempenham um papel importante na ciência. A observação mostra que há certos fenômenos que apresentam regularidade, isto é, comportamento idêntico, desde que as condições iniciais sejam as mesmas. A busca de uma função que representa uma determinada situação é chamada modelagem matemática. Suponhamos, por eemplo, que queremos estudar uma variação de espaço e tempo no fenômeno da queda de corpos no vazio. Procuramos a regularidade do fenômeno (a lei). Quanto menores forem os intervalos de tempo em que fizermos as medições, melhor se conhecerá a variação. Suponhamos que se fizeram as medições de segundo em segundo e que encontramos: Tempos (em segundos) Distâncias (em metros) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5... Esta tabela dá a primeira idéia da lei: d = ½ gt 2 Se t é a variável do conjunto dos tempos e d a variável do conjunto das distâncias, a lei é a correspondência entre t e d. Dizemos que d é função da variável t e escrevemos simbolicamente d = f(t), onde t é a variável independente e d a variável dependente. Dizemos que uma variável é função de uma variável, se e somente se, a cada valor de (variável independente) corresponde um único valor de = f() (variável dependente). Outros eemplos 1) Se uma torneira despeja 30 l de água por minuto, o volume de água despejada dependerá do tempo que a torneira ficar aberta: Após 1 minuto será de 30 l ; Após 2 minutos será de 2 30 l = 60 l ; Após 5 minutos será de 5 30 l = 150 l ; Após 40 minutos será de l = 1200 l Indicando o tempo por e o volume por, temos =30. A cada valor de tem um único valor para. Dizemos que é função de. 2) A tarifa do tái é uma função do número de quilômetros rodados, ou seja, para cada número de quilômetros rodados equivale um único valor a ser pago. 3) A cota de contribuição do imposto de renda é função do rendimento do individuo. 4) A receita total é função da quantidade vendida. 5) O custo Total depende da quantidade produzida. A maioria das funções pode ser epressa através de uma relação (ou lei) matemática, como os eemplos anteriores. Entretanto eistem funções que não podem ser epressas por uma lei matemática. Neste caso a relação entre as variáveis é feita através de tabelas, conjunto de pares ordenados, etc...

9 9 Eemplo: a temperatura máima no mês de fevereiro de 2002, de uma certa cidade, é função da data, pois cada dia tem uma única temperatura máima. DEFINIÇÃO Uma função f de um conjunto A num conjunto B é uma regra que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Diz-se neste caso que a função f está definida em A com valores em B. Indica-se que ƒ é uma função de A em B pela notação: f : A B (lê-se: função f de A em B) (lê-se: a cada valor de A associa-se um só valor de B) O domínio de uma função f é o conjunto dos possíveis valores da variável independente. Indica-se por Dom f ou D(f ), assim, Dom ƒ = A; Chamamos o conjunto B de contradomínio da função. Indica-se por C(ƒ), logo, C(ƒ)=B; Chamamos o elemento de B, associado ao elemento de A de imagem de pela função ƒ. Indica-se = ƒ(); Chamamos de Conjunto Imagem o conjunto dos elementos de B que são imagens dos elementos de A. Indica-se por Im ou Im(ƒ). OBS: Im(ƒ) Β. Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais. Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os reais para os quais = f() tem significado nos reais. Eemplos e Eercícios 1) Epressa por meio de uma fórmula matemática a função f : R R associa: que a cada real a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três 2) Resolve Uma certa livraria vende uma certa revista por R$ 15,00 a unidade. Considerando a quantidade vendida, epressa por meio de uma fórmula matemática a função receita total como função da quantidade vendida.

10 10 3) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e f : A Z definida por f() = 2 1 calcula Im(f). 4) Dada a função f : R R, definida por f()=2-7 pede-se: 1 3 a) f(-2) b) f c) f d) f (0) 2 5 5) Dada a função f : R R definida por f()= , determina: a) f(-3) b) f(0) c) f(7) 6) Na função f : R R definida por f ( ) = 3 1, determina para que f() = ) Determina o domínio das seguintes funções de variável real: a) f ( ) = 2 5 b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = 3 2 f) f ( ) = g) f ( ) = h) f ( ) = ESTUDO DO GRÁFICO NO PLANO CARTESIANO Analisa os gráficos a seguir e identifica quais representam e quais não representam funções. Em seguida, determina o domínio e a imagem das funções: a) b) c)

11 11 d) e) 2 c a b -1-2 d f) Observações ¾ O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eio das abscissas (eio ). ¾ A imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eio das ordenadas (eio ). ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO Os valores de para os quais f()=0 chamam-se zeros ou raízes da função. Geometricamente os zeros de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eio. ¾ f é positiva para um elemento, Dom f se, e somente se f() > 0; ¾ f é negativa para um elemento, Dom f se, e somente se f() < 0. Eemplo: + A B Observando o gráfico acima, temos: f(1) = 0 e f(5) = 0, logo, os números 1 e 5 são os zeros da função; f é positiva quando ( ; 1) ou (5; + ); f é negativa quando (1; 5). Observação: nota que o sinal da função para um elemento, Dom f é o sinal de f() e não o sinal de.

12 12 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE UMA FUNÇÃO o ÅA Æ ÅB Æ Observamos que: ¾ no intervalo A, aumentando o valor de, aumenta também o valor de. Dizemos então que a função é crescente no intervalo A. ¾ no intervalo B, aumentando o valor de, o valor diminui. Dizemos então que a função é decrescente no intervalo B. De forma geral: Sendo 1 e 2 elementos de um conjunto A Dom f, com 1 < 2, diz-se que a função é crescente em A se f ( 1 ) < f ( 2 ) e decrescente se f ( 1 ) > f ( 2 ). Eemplo Dada a função representada pelo gráfico abaio, determina: ½ -1 -½ o 1 a) os zeros da função; b) o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e o(s) intervalo(s) onde ela é decrescente; c) o(s) intervalo(s) onde a função é positiva e o intervalo onde ela é negativa.

13 13 Eercício Faze o gráfico da função f ( ) = + 3. Em seguida responde: a) Qual é o domínio da f? b) Qual é a imagem de f. c) Para que valor de, f()= 0? d) Para que valor de, f() > 0? e) Para que valor de, f() < 0? f) Esta função é crescente ou decrescente?

14 14 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Determina, por etensão, os seguintes conjuntos: a) { Ν / 2 4} c) { Ν / 7 < 3} e) { R / 2 12 = 0} b) { Ζ * / 1 < 3} d) { Ν * / 3 2 = 10} f) { R / = 3} 2) Os conjuntos A = iguais? Justifica. { / Ν e 2 < 4} e B = { R / = 0} são 3) Dados A=(-4,3], B=[-5,5] e E=(-,1), calcula: a) A Β E b) Α Β E c) (Α Β) Ε 4) Dados os conjuntos A = {a,b,c}, B = {b,c,d} e C = {a,c,d,e}, então qual é o conjunto P = (Α C) (C B) (Α Β C) 5) Qual é a intersecção dos conjuntos Q (Ν Ζ) e (Ζ Q) Ν? 6) Sendo f : R R uma função definida por f()= , calcula: a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(1/2) 7) Dada a função f : R R definida por f() = , calcula os valores reais de para que se tenha: a) f()=0 b) f()=12 c) f()=6 8) Sejam as funções definidas por f() = 2 + a e g() = 5 b. Calcula o valor de a e b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3. 9) Dada a função f : R R definida por f() = 2 12, determina k para que f(k + 1) = 0. 10) Dada a função f ( ) = a) qual o valor de f(-1) e 3f(0)? , 3 b) Encontra m de modo que m = f (1) + f (0) c) Calcula para que f()= ) Calcula o domínio das funções: a) f ( ) =

15 g) f () =

16 16 b) f ( ) = 2 1 h) f ( ) = 3 c) f ( ) = d) = i) f ( ) = 2 3 j) = e) = 5 3 k) = 3 f) = + 2 l) = ) (PUC/Campinas-SP) Em uma certa cidade, os taímetros marcam, nos percursos sem parada, uma quantia inicial de 4 UT (Unidade Taimétrica) e mais 0,2 UT por quilômetro rodado. Se, ao final de um percurso sem paradas, o taímetro registrava 8,2 UT, qual foi o total de quilômetros percorridos? 13) Os esboços seguintes representam funções; observando-os, determine o domínio e o conjunto imagem de cada uma das funções.

17 17 Respostas 1) a){0,1,2,3,4}; b){1,2,3}; c){}; d){4}; e){-3,4}; f){ 2 2) Sim. A = B = {2,3} 3) a) (-4,1); b) (,5]; c)[-5,1) 2, 2 2 }

18 18 4) {a,b,c,e} 5) Ζ 6) a) 0; b) -6; c) -10; d) -45/4 7) a){2,3}; b){-1,6}, c){0,5} 8) a =3 e b =2 9) k =-4 ou k =3 10) a) -7/12, -5/2; b) - 7/3; c) {4, 7/3} 11) a) { R / 3 e 1 e 3} ou IR {-3, 1, 3}; b) [½ ; + ); c) (2; + ); d) R; e) R; f) R; g) [1; + ); h) R; i ) R; j ) { R / 3 / 4} ou IR {¾} ; k) R; l ) { R / 4 e 3 } ou IR {3, 4} 12) 21; 13) a) Dom f = [ 2,3) Im f = [ 2,2) Dom f = ( 2,4) b) Im f = ( 2,3) Dom f = [0,5] Dom f = ( 3,3) c) d) Im f = [0,2] Im f = [ 1,3] Dom f = [ 3,4] {1} e) Im f = ( 2,3] Dom f = ( 3,3) {1} f) Im f = ( 1,3)

19 19 PRINCIPAIS Funções Elementares FUNÇÃO CONSTANTE Dado um número real k, chama-se função constante a função definida por f() = k. f : R R, Eemplos a) f() = 1 b) f() = -3 c) f() = 2 d) f() = 5 3 Gráfico da função constante O gráfico da função constante f() = k é uma reta paralela ao eio passando pelos pontos de ordenada = k. Nos eemplos (a) e (b) acima temos: a) b) f() = 1 f() = 3 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função do 1º grau a função f : R R, definida por = a + b ou f() = a + b. O número a é chamado coeficiente angular e o número b é chamado coeficiente linear (onde a reta corta o eio ). Eemplos a) f()=5-2 coeficiente angular: coeficiente linear: b) = + 3 coeficiente angular: coeficiente linear: c) g()= 2 coeficiente angular: coeficiente linear: Observação: f ( ) = é chamada Função Identidade.

20 20 Gráfico da função polinomial do 1ºgrau O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não-paralela nem ao eio nem ao eio. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem também é o conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f= R e Im f = R. Eemplos 1) Constrói o gráfico das seguintes funções: a) Y = 2+3 b) = ) Escreve a função correspondente ao gráfico: LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Dada a função f() = 4 2, pede-se: a) o valor de para o qual se tenha f()=0. b) o valor de que tem imagem 1. 2) Sendo f(+3) = 2 + 4, pede-se: a) f(0) b) f(5) 3) Constrói o gráfico das funções abaio, determinando domínio, imagem, zero da função e sinal da função. a) = b) f()= 2 c) f() =5-3 d) f()=0 4) Dada a função linear = a + b, sabe-se que f(1) = 6 e f(2) = 11. Encontra a e b. 5) Dá a lei da função determinada pelo gráfico abaio

21 21 6) Um ciclista, com velocidade constante (a partir dos 5 primeiros minutos), percorre uma trajetória retilínea conforme o gráfico abaio. 10 (espaço em km) Em quanto tempo percorrerá 15 km? (tempo em minutos) 7) O preço a pagar por uma corrida de tái depende da distância percorrida. A tarifa é composta de duas partes: uma parte fia denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20. a) Epresse em função de. b) Quanto se pagará por uma corrida em que o tái rodou 10 km? 8) O gráfico a seguir representa o deslocamento de um móvel em uma trajetória retilínea: e(m) t(s) Determina: a) e em função de t; b) o espaço inicial; c) o espaço percorrido no instante t=2s; d) o tempo gasto para percorrer 10m. Respostas 1) a) = 1 b) = 3 2) a) 2 b) 8 4) a = 5 e b = 1 5) f ( ) = ) 25min ) a) = 1,2 + 6 b) R$18,00 8) a) e(t ) = 10t + 30 b) 30 c) 10m d) 2s.

22 22 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Dados os números reais a e b, com a 0, chama-se função polinomial de 2º grau ou função quadrática a função f() = a 2 + b + c. f : R R, definida por = a 2 + b + c ou Eemplos a) f() = a = b) = 2 9 a = c) g() = a = d) h() = a = b = b = b = b = c = c = c = c = Eercício: Sendo f() = (m + 5) , determina m de modo que: a) f() seja do 2º grau b) f() seja do 1º grau Gráfico da função quadrática O gráfico de uma função do 2º grau é uma curva denominada parábola. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é um subconjunto dos números reais. Ou seja, Dom f= R e Im f R. Eemplos Constrói o gráfico das seguintes funções: b) f() = 2 b) g() = 2

23 23 Concavidade O sinal de a (coeficiente de 2 ) determina a concavidade da parábola. Assim: ¾ Se a > 0 (a positivo), a concavidade é voltada para cima: ¾ Se a < 0 (a negativo), a concavidade é voltada para baio: Podemos verificar isto nos eemplos anteriores, onde f() tem concavidade voltada para cima, pois a = 1 e g() tem concavidade voltada para baio, pois a = 1. Zeros (ou raízes) de uma função do 2º grau Denominam-se zeros ou raízes de uma função quadrática os valores de que anulam a função, ou seja, que tornam f() = 0. Em termos de representação gráfica, são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eio. Denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda equação da forma a 2 + b + c = 0, onde é a variável e a, b, c R com a 0. Oservação: c é a ordenada do ponto (0, c), onde a parábola corta o eio. Eemplos a) = 0 a = 2; b = -3; c = 1 b) 2 4 = 0 c) = 0 a = 1; a = 1; b = 0; b = 3; c = -4 c = 0 d) 5 2 = 0 a = 5; b = 0; c = 0 Resolução de Equações do 2º Grau Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução (ou conjunto verdade) dessa equação. Para a resolução das equações do 2º grau, utilizamos a Fórmula Resolutiva ou Fórmula de Báskara dada abaio: Se a 2 + b + c = 0 e a 0, então = b ± Δ 2a, onde Δ = b 2 4ac ¾ Se Δ 0 ¾ Se Δ < 0 Δ = 0 a equação tem raízes reais Δ > 0 a equação não tem raízes reais.

24 24 Eemplos: Dada a função f, calcular os zeros desta função. a) f() = b) h() = 2 4 c) g() = d) = 5 2 e) g() = f) = Vértice da Parábola Toda parábola tem um ponto de ordenada máima ou um ponto de ordenada mínima. A esse ponto chamaremos vértice da parábola e o representaremos por V( v, v ) onde = b v 2a e v = Δ 4a Assim: V b, Δ 2a 4a ordenada do vértice abscissa do vértice Eemplos 1) Determina as coordenadas do vértice V da parábola que representa a função f ( ) = ) Determina a e b de modo que o gráfico da função definida por = a 2 + b 9 tenha o vértice no ponto (4,-25). Eercícios 1) Dada a função f, calcula os zeros desta função e representa graficamente, sendo: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = 2 3 e) f ( ) = f) f ( ) = ( 4) 2 g) f ( ) = ( + 9) 2 2) Sendo f ( ) = calcula: a) f(3) b) f (3) f ( 3 ) 3 + 3

25 25 3) Dadas as funções reais f() = 2 1 e g() = 2, calcula o valor de f( 1).g( 2). 4) Sendo f() = e g() = 2, determina os valores de para os quais f() = g(). 5) Determina k, de modo que f() = (k 3) 2 4 não possua raízes reais. Valor máimo e valor mínimo da função do 2º grau Eaminando os gráficos abaio, observa-se que: v V v 0 0 v v V Se a > 0, v = Δ 4a é o valor Se a < 0, v = Δ 4a é o valor mínimo da função. máimo da função. Eemplos 1) A função f() = 2 6 admite valor máimo ou valor mínimo? Qual é esse valor? 2) Os lados de um terreno retangular medem e (em metros). Sabendo que o perímetro desse retângulo é de 20m: a) determina sua área em função de um dos lados; b) constrói o gráfico dessa função; c) verifica as dimensões para que o terreno tenha área máima.

26 26 Estudo do Sinal da Função do 2º Grau O estudo do sinal da função é feito analisando-se o esboço do gráfico. Eemplos Estuda o sinal das seguintes funções do 2º grau: a) = b) = c) = 2 16 Eercício Considera a função f() = 2 6. Esboça o gráfico, determina o domínio, a imagem, os zeros da função, seus intervalos de crescimento e decrescimento, o vértice, o valor de máimo ou mínimo e o sinal da função.

27 27 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Sendo f : R R uma função definida por f() = 2 1, calcula: a) f b) f (1 2 ) 1 2 2) Dada a função f() = , calcula k para que f(k 1) = 0. 4) Determina os valores de p para os quais a função f() = (4 8p) é quadrática. 5) Determina os zeros das funções abaio: a) f() = b) f() = c) f() = 2 3 d) = (2 1) + 3( 3) 2 6) (EEM-SP) Determina os valores de m para os quais a equação a seguir admita duas raízes iguais: 2 + (m + 2). + (2m + 1) = 0 7) Determina o valor máimo ou mínimo de cada uma das funções em R. a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = 4 2 8) Sendo 4 a abscissa do mínimo da função f() = 4 2 (3m 1) + 3, determina m. 9) Determina os valores de a e c, de modo que o gráfico da função = a 2 + c passe pelos pontos (1, 2) e ( 3, 5). 10) O vértice da parábola = está no ponto (2, b). Calcula b. 11) Faze o gráfico cartesiano e dá o domínio, a imagem, as raízes, o valor de máimo ou de mínimo e o sinal das funções abaio: a) = b) f() = c) g() = 3 2 d) h() = ) Dado o gráfico ao lado, determina: a) as raízes da f; b) f (1); c) os valores de tais que f() = 4; d) o intervalo onde f é crescente e o intervalo onde f é decrescente; e) o(s) intervalo(s) onde f é positiva e o(s) intervalo(s) onde f é negativa;

28 28 13) Um terreno de forma retangular tem perímetro igual a 40 m. a) Epressa a área desse terreno em função do comprimento de um dos lados. b) Constrói o gráfico dessa função. c) Calcula as dimensões desse terreno para que a área seja máima. 14) Dada à função representada pelo gráfico abaio determina: a) Dom f b) Im f c) os zeros da função; -2 d) os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente; e) os intervalos onde f é positiva e onde é negativa. 15) Escreve a função do 2º grau representada pelo gráfico abaio ) Seja a função f : R R definida por f() = m + 1 com m R. Determina m, de modo que f: a) possua duas raízes reais e distintas. b) possua uma raiz dupla. c) não possua raiz real. 17) Seja f() = m 2 + n +3. Determina m e n, sabendo que f(1) = f(3) = 0. 18) Sabe-se que para = 1 a função f() = (a 1) 2 + 2a + a 3 admite seu valor máimo. Calcula o valor de a. 19) A parábola que representa graficamente a função = b + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, k). Determina o valor de k.

29 29 Respostas 1) a) 3 ; b) 2(1-2 ); 2) k = -1; 3) p 1 ; 4 2 4) a) 1/ 2 e 4 / 3 ; b) 1; c) 3 ou 3 ; d) ou 1 10 ; 5) m = 0 ou m = 4; 6) a) má. v = 25 / 12 ; b)mín. v =3; c) mín. v = 25 / 4 ; d) má. v =4; 7) m = 11; 8) a = 1/ 8 ou c = 25 / 8 ; 9) b = -3 10) a) b) Domf = R Imf = [ 4;+ ) Domf = R Imf=( ; 9 ] 4 zeros: 1 e 5 zeros: 0 e 3 min.: v = 4 má.: v = 9 4 f é pos.:( ;1) (5;+ ) f é pos.:(0;3) f é neg.:(1;5) f é neg.:( ;0) (3;+ ) c) d) Domf = R Imf=[0;+ ) Domf = R Imf = [ 8;+ ) zeros: 0 zeros: 2 e 2 mín.: v = 0 mín.: v = 8 f é pos.: R * = ( ;0) (0;+ ) f é pos.:( ; 2) (2;+ ) f é neg.:( 2;2)

30 30 11) a) 1 = -2 e 2 = 2; b) f (1) = 3 ; c) = 0; d) f é cresc.: (-,0] e f é decrec.: [0,+ ); e) f é pos.: (-2, 2) e f é neg.: (-, -2) (2, + ); 12) a) A() = ; b) 100 c) = 10m e = 10m ; ) a) Dom f : (-,1]; b) Imf: [-2, + ) ; c) 1 = -4 e 2 = -1; d) f é cresc.: [-3,1] e f é decrec.: (-,-3]; e) f é pos.:(-,-4) (-1,1] e f é neg.: (-4,-1); 14) f () = ; 15) a) m< 8; b) m = 8; c) m > 8; 16) m = 1 e n = - 4; 17) a = 1/2; 18) k = 8

31 31 Funções: aplicações FUNÇÕES DE OFERTA E DEMANDA LINEAR A demanda ou procura de um bem depende de vários fatores: preço, qualidade, concorrência, renda do consumidor, gostos, clima,... Vamos supor todos esses fatores constantes, eceto o preço, então podemos epressar a quantidade demandada () em função do preço () através da equação = a+b. Observamos que, em geral, a demanda ou procura de um produto diminui à medida que o preço desse produto aumenta, isto é, a demanda é epressa através de uma reta com declividade negativa (a < 0). Salientamos que somente os segmentos que estão no primeiro quadrante têm sentido para a análise econômica. A oferta linear tem declividade positiva porque a oferta (vontade de vender) de um produto cresce com o aumento do preço. Diz-se que eiste equilíbrio de mercado em relação a determinado produto, quando a quantidade ofertada é igual à quantidade demandada dessem produto. Algebricamente o ponto de equilíbrio é a solução do sistema formado pelas equações de demanda e oferta. o e ç p r p r e ç o a < 0 quantidade demandada a > 0 quantidade ofertada p r e ç o Oferta Equilíbrio quantidade Demanda Eercícios 1) Com um preço de R$ 5,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente lanternas de pilha; a R$ 3,50 por unidade, ela oferecerá unidades. Determina a equação da função de oferta para este produto. Traça o gráfico desta equação.

32 32 2) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma pequena ecursão é de R$ 5,00, 30 pessoas compram bilhetes; quando o preço é de R$ 8,00, são vendidos apenas 10 bilhetes. Encontra a equação de demanda e traça o gráfico da equação. = 5 3 3) Dado o sistema = a) determina qual das equações epressa curva de oferta; b) determina qual epressa curva de demanda; c) determina o ponto de equilíbrio; d) esboça os gráficos. FUNÇÕES CUSTO TOTAL, RECEITA TOTAL E LUCRO TOTAL Custo total Seja a quantidade produzida de um produto. O custo total depende de e à relação entre eles chamamos função custo total (e indicamos por C t ). Verifica-se que, em geral, eistem alguns custos que não dependem da quantidade produzida, tais como seguros, aluguel, etc. À soma desses custos, que independem da quantidade produzida, chamamos custo fio (e indicamos por C f ). À parcela de custos que depende de chamamos custo variável (e indicamos por C v ). Desta forma, podemos escrever: C t () = C f + C v () Chama-se custo médio de produção ou custo unitário (e indica-se por C m ) o custo total dividido pela quantidade, isto é: C () = C ( ) t m Receita total Suponhamos agora que unidades do produto sejam vendidas. A receita de vendas depende de e a função que relaciona receita com quantidade é chamada função receita (e indicada por R). Na maioria das vezes, o preço unitário (p) varia com a quantidade demandada, sendo p=f(). Assim, a receita total pode ser epressa através da função demanda como: R() = p. =.f() Lucro total: Chama-se função lucro total (e indica-se por L) a diferença entre a função receita e a função custo total, isto é: L() = R() C t () Os valores de para os quais o lucro é nulo são chamados de pontos críticos ou pontos de nivelamento.

33 33 Na Economia, empregam-se, muitas vezes, polinômios para representar estas funções. O interesse básico é achar o lucro.devem ser determinados os intervalos onde o lucro é positivo, por isso precisamos conhecer as raízes da função lucro total. Outro problema é achar o lucro máimo. Para polinômios de 2º grau, será suficiente determinar o vértice da parábola, no caso em que esta tenha os ramos para baio. A abscissa do vértice será o ponto de máimo (quantidade produzida que torna o lucro máimo) e a ordenada do vértice do vértice será o valor máimo do lucro Receita Total. Custo Total Lucro Máimo a - pontos de nivelamento - b a b Eercícios 1) O custo fio de uma empresa é 500u.m. sendo o custo variável C ( ) = v 2 A função demanda é dada pela epressão p = Determina: 2 a) as funções receita, custo total e lucro total; b) o intervalo onde o lucro total é positivo; c) o preço que deve ser cobrado para maimizar o lucro. 2) Um grupo de estudantes, dedicado à confecção de produtos de artesanato, tem um gasto fio de 600u.m. e, em material, gasta 25u.m. por unidade produzida. Cada unidade será vendida por 175u.m.. Determina: a) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter o nivelamento; b) quantas unidades os estudantes terão de vender para obter um lucro de 450u.m.

34 34 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Supondo que o custo total para fabricar unidades de um certo produto seja dado por: C t () = 2 + 8, determina: a) o custo fio; b) o preço variável; c) o custo de fabricação de quatro unidades; d) o custo de fabricação da quarta unidade; e) a função do custo médio; f) o custo médio de produção das quatro primeiras unidades. 2) O custo total para um fabricante consiste de uma quantia fia 200 μ m somado ao custo de produção que é de 50 μ m por unidade. Epressa o custo total como função do número de unidades produzidas e constrói o gráfico. 3) Se o preço de venda de um certo produto é 70 μ m e representa a quantidade vendida, determina: a) a função receita total; b) o gráfico da função receita total. 4) Considera a função custo total do eercício (2) e a função receita total do eercício (3). Determina: a) a função lucro total; b) o ponto crítico (de nivelamento); c) os valores de para os quais o lucro é negativo; d) os valores de para os quais o lucro é positivo; e) os gráficos das funções custo, receita e lucro no mesmo sistema de eios. 5) Determina o ponto crítico e esboça os gráficos das funções receita, custo total e lucro total em cada caso: a) R t () = 4 e C t () = ,25 b) R t () = 0,5 e C t () = ) Uma editora vende certo livro por 60 μ m a unidade. Seu custo fio é μ m e o custo variável por unidade é 40 μ m. a) Qual o ponto de nivelamento? b) Quantas unidades a editora deverá vender para ter um lucro igual a 8.000μm? c) Esboça os gráficos da receita, custo e lucro no mesmo sistema de eios. 7) Uma empresa produz um certo produto de tal forma que suas funções de oferta diária e demanda diária são: p = e p = 110 4, respectivamente. Determina: a) o preço para que a quantidade ofertada seja igual a 50; b) a quantidade vendida quando o preço é 10 μ m; c) o ponto de equilíbrio do mercado; d) os gráficos das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eios; e) interpreta o resultado obtido em (c). 8) O aluguel de um carro numa agência é de μ m mais 150 μm por quilômetro rodado. Uma segunda agência cobra μm mais 50 μ m por quilômetro rodado. Qual a agência que oferece o melhor preço de aluguel? Faze o gráfico como auílio. Respostas: 1) a) C f = 8; b) C v () = 2 ; c) 24; d) 7; e) C m () = + 8 ; f) 6.

35 35 2) C t () = ) a) R t () = 70 b) C t C t 280 Rt R t ) a) L t () = ; b) (10,700); c) < 10 ; d) > 10 R t e) C t L t 10 5) a) (25,100) L t () = 2 50 b) (80,40) L t () = 0,25 20 R t R t C t L t C t L t

36 36 6) a) (500, ) b) 900 unidades c) R t C t ) a) 270 μ m b) 25 c) (10,70) d) oferta 500 L t e) < 10 lucro negativo > 10 lucro positivo 8) Para distâncias menores que 60 km, a primeira agência e para distâncias maiores que 60 km, a segunda agência. Ag Ag 2 60

37 37 FUNÇÃO MODULAR É dado o nome de função modular à função f : R R, em que é associado à o elemento R, ou seja, = ou f() =. Podemos também definir função modular utilizando a própria definição de módulo, fazendo assim com que ela se torne uma função de duas sentenças., se 0 f ( ) = onde =, se < 0 Gráfico da função modular O gráfico de uma função modular é a reunião de duas semi-retas bissetrizes do primeiro e segundo quadrantes que tem como origem o ponto O. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais não negativos. Ou seja, Dom f = R e Im f = R +. Observação: pela definição de módulo, podemos dizer que para todo número real, o seu modulo representa a distância do ponto (do eio real) que representa o número à origem. Eemplos 1) f () = 3 Dom(f) = R Im(f) = [0; + ) = R +

38 38 2) f() = 3 Dom(f) = R Im(f) = [ 3, + ) Eercício: faze o esboço do gráfico das funções abaio definidas: 1) f() = - 1 2) g() = + 2 3) = 2-9 4) h() = 5) = 4 6) p() = + 4 FUNÇÃO POTÊNCIA É dado o nome de função potência à função f com n Z* ou f() = n, com n Z*. : R R definida por = n, Função Potência Positiva ¾ Se n = 1 f() =, função identidade

39 39 ¾ Se n é par e n 2, f () = 2 f ( ) = 4 f ( ) = 6... ¾ Se n é ímpar e n 3, f ( ) = 3 f ( ) = 5... Função Potência Negativa ¾ Se n é ímpar e n 1, f ( ) = 1 = 1 f ( ) = 3 = ¾ Se n é par e n 2, f ( ) = 2 = 1 2 f ( ) = 4 =

40 40 FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA Se n = 1 p onde p é inteiro positivo, a função potência tem a forma f ( ) = p = 1 p. Fazendo p variar, com p 2, temos as funções representadas abaio. ¾ Se p é par. Por eemplo, f() = = ¾ Se p é impar. Por eemplo, f() = 3 = 3 Observa que o domínio destas funções depende de p ser par ou ímpar, pois as raízes de índice par só estão definidas para 0. Se p é par, o domínio será [0; + ). Se p é ímpar, o domínio será R. Eercício: faze o esboço do gráfico das funções abaio definidas: 1) f ( ) = 2 2) g( ) = + 2

41 41 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS Esboça o gráfico, determina o domínio e a imagem das seguintes funções: 1) f ( ) = + 1 2) f ( ) = + 1 3) f ( ) = 1 4) f ( ) = 2 2 5) f ( ) = ) f ( ) = 2 1 7) f ( ) = ) f ( ) = + 2 9) f ( ) = 1 10) f ( ) = 3 11) f ( ) = ) f() = ( -3) 3 13) f ( ) = ) f() = 1 15) f() = 1 16) f ( ) = ) f() = ) f() = ) f () = ( 20) f () = ( + 1) 3 1) 2 Respostas 1) 2) 3) Dom f = R Dom f = R Dom f = R Im f = ( ; 0] Im f = [1;+ ) Im f = ( ; 0]

42 42 4) 5) 6) Dom f = R Dom f = R Dom f = R Im f = [ 2;+ ) Im f = [2;+ ) Im f = [0;+ ) 7) 8) 9) Dom f = R Dom f = [ 2;+ ) Dom f = [1;+ ) Im f = [0;+ ) Im f = [0;+ ) Im f = [0;+ ) 10) 11) 12) Dom f = [0;+ ) Dom f = R Dom f = R Im f = [ 3;+ ) Im f = [7;+ ) Im f = R

43 43 13) 14) 15) Dom f = R Dom f = R * Dom f = R * Im f = R Im f = R * Im f = R * 16) 17) 18) Dom f = R { 1} Dom f = R {2} Dom f = R * Im f = R * Im f = R * Im f = (0;+ ) 19) 20) 1-1 Dom f = R {1} Im f = (0;+ ) Dom f = R Im f = R

44 44 FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a, tal que a 1 e a > 0, é dado o nome de função eponencial de base a à função f : R R definida por = a ou f() = a. Eemplos a) f() = 2 b) f() = ( 2 ) c) f() = (0,4) 1 d) f() = 3 e) f()= e Gráfico da função eponencial O gráfico de uma função eponencial é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades: ¾ o gráfico nunca corta o eio das abscissas (O), ou seja, a função não tem zeros (raízes); ¾ o gráfico corta o eio das ordenadas (O) no ponto (0,1); ¾ os valores de são sempre positivos. Seu domínio é o conjunto dos números reais e sua imagem é o conjunto dos números reais positivos. Ou seja, Dom f = R e Im f = = (0; + ). R+ * Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: ¾ Base maior que um (a > 1) f () = a ( a > 1 ) A função é crescente. Dom f = R. Sua imagem são os reais positivos (Im = = (0; + )). R+ Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 2 > 1. * 1 0

45 45 ¾ Base entre zero e um (0 < a < 1) f () = a ( 0 < a < 1 ) A função é decrescente. Dom f = R. Sua imagem são os reais positivos (Im = = (0; + )). R+ Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 2 < 1. * 1 0 As funções eponenciais são usadas para representar muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. A base mais comumente usada é o número e = 2, , número irracional chamado número de Euler. Assim a função eponencial de base e, f () = e 1/e, f () = (1/e) = e - têm os seguintes gráficos: e a função eponencial de base = e = e FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Dado um número real a, tal que a 1 e a > 0, é dado o nome de função * logarítmica de base a à função f : R + R definida por = log a ou f() = log a. Eemplos a) f ( ) = log 2 b) f ( ) = log 1 c) f () = log = ln 2 e

46 46 Algumas observações quanto aos logaritmos ¾ Definição de logaritmo: log a = a =, a > 0. ¾ Só eiste logaritmo de um número positivo, já que a base é positiva (a > 0) e o resultado de qualquer potência positiva é um número positivo. ¾ Quando a base não estiver escrita, subentendemos que é a base 10, ou seja log 10 = log. ¾ Quando a base for o número de Euler, a constante e, chamamos de logaritmo natural e usamos a notação ln, ou seja, log e = ln. Gráfico da função logarítmica O gráfico de uma função logarítmica é uma curva, em que devem ser observadas algumas particularidades: ¾ o gráfico nunca corta o eio das ordenadas (O); ¾ o gráfico corta o eio das abscissas (O) no ponto (1,0), ou seja, 1 é a raiz ou zero da função; ¾ os valores de são sempre positivos. Seu domínio é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o * conjunto dos números reais. Ou seja, Dom f = R+ e Im f = R. Quanto à base da função, devemos considerar dois casos: ¾ Base maior que um (a > 1) f () = log a ( a > 1 ) A função é crescente. Dom f = *. + R Sua imagem são os reais positivos(im = R ). Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 2 > ¾ Base entre zero e um (0 < a < 1) f () = log a ( 0 < a < 1 ) A função é decrescente. Dom f = R +. * Sua imagem são os reais positivos (Im = R ).

47 47 Para quaisquer 1 e 2 do domínio: 2 > 1 2 < Da mesma forma que na função eponencial, a base mais comumente usada é o número de Euler e chamamos este logaritmo de logaritmo natural : log e = ln. Eercício: faze o esboço do gráfico e determina o domínio e a imagem para cada função abaio definida: 1) f() = 8 2) g() = ) = ) h() = ln 5) = log 1 5 6) p() = 2 + ln

48 48 Funções Definidas por mais de uma Lei EXEMPLOS Vamos construir o gráfico, determinar o domínio e a imagem de uma das cada funções abaio. 2, se 0 1) f ( ) = + 1, se < 0 + 1, se 2 < < 5 2) g( ) = 2, se 2 2 2, se < 2 5, se 3) h( ) = 2, se 4, se - > < < 2

49 49 EXERCÍCIOS 1) Dada a função f ( ) = 2, se 0 2, se < 0 a) constrói o gráfico de f(); b) determina o domínio e a imagem da f; c) determina f(3), f(-1) e f [f(-2)]; d) determina o valor de R tal que f() = 4; e) determina o valor de R tal que f() = 7., para 2 0 2) Dada a função f ( ) = 2, para 0 < 2 4, para 2 < < 4 a) constrói o gráfico da f (); b) determina o domínio e a imagem da f ; c) determina f(0), f(-1), f(2) e f(4); d) determina o valor de R tal que f() = 2; e) determina o valor de R tal que f() = 3. 3) Determina a função = f ( ) definida de R em R, que representa a figura ao lado:

50 50 LISTA COMPLEMENTAR DE EXERCÍCIOS 1) Constrói o gráfico e determina o domínio e a imagem da função + 2, se f ( ) = 0 2, se > 0 2) Constrói o gráfico, determina o domínio e a imagem das seguintes funções: + 1, se 2 + 1, se > 2 a) f ( ) =, se 2 < < 2 2, se 2 b) f ( ) = 2, se 2 2 2, se < 2 2, se c) f ( ) = 2 4, se > aqui, calcula f(-2), f(1), f(2), f(0) e f(5) 2, se < 2 3, se > 3 d) f ( ) = 2 + 9, se 3 3 3, se < 3 aqui, calcula também f (-1), f(3) e f(-3). 3) Determina a função = f() definida de R + em R, que representa a figura abaio 9 { 8 z ) Dada a função a) constrói o gráfico de f(); b) determina f(3), f(0) e f(-4); c) determina D(f) e Im(f); + 1, se > 5 f ( ) =, se 5 < 5 2, se 5

51 51 d) determina o valor de R tal que f() =3; e) determina o valor de R tal que f() = -7.

52 52 Respostas 1) 2) a) Dom f = R ; Im f = (-, 2] Dom f = R ; Im f = (, 2) ; 2) b) 2)c) Dom f = R ; Im f = [0, + ) Dom f = R ; Im f = [ 4, + ) ; f (-2) = 0; f (1) = -3; f (2) = 0; f (0) = -4; f (5) = 3 2) d) -4 9 Dom f = R ; Im f = [0, + ) ; f (-1) = 8, f (3) = 0, f (-3) = ) 9, para 0 < 6 f ( ) = , para 6 4) a) ) b) f (3) = 3; f ( 0) = 0; f (-4) = -2. 4) c) Dom f = R ; Im f = (-, 5). 4) d) = 3 ; 4) e) = 8. -5

53 53 Operações com Funções e Composição OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Duas funções f e g podem ser combinadas para formar novas funções f + g, f g, f.g e f/g de uma forma similar àquela pela qual somamos, subtraímos, multiplicamos e dividimos números reais. Sejam f e g funções com domínios A e B, respectivamente. Então, as funções f + g, f g, f.g e f/g são definidas da seguinte forma: (f + g) () = f() + g() Dom(f + g) = A B (f g) () = f() g() Dom(f g) = A B (f.g) () = f().g() Dom(f.g) = A B f ( ) = f ( ) Dom = { A B g() 0} g g () f g Eemplo: se f() = e g() = 3 4 encontra as funções f + g, f g, f.g e f/g e determina o domínio em cada caso.

54 54 COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES Além de somar, subtrair, multiplicar e dividir funções, outra maneira de combinar duas funções f e g para formar uma nova função é a composição. Dadas duas funções f e g, a função composta f o g é definida da seguinte forma: (f o g )( ) = f (g ( )) O domínio da função f o g é o conjunto de todos os no domínio de g tal que g() está no domínio de f. Ou seja, (f o g )( ) está definida sempre que g() e f(g()) estiverem definidas. g g() f f (g()) Eemplo: se f() = 5 6 e g() = 3 2 encontra as funções f o g, g o f, f o f, g o g e determina o domínio em cada caso. Eercício Para cada item a seguir, encontra f + g, f g, f.g, f/g e f o g domínio em cada caso. e determina o a) f ( ) = 3 2 e g( ) = 5 b) f ( ) = 3 e g( ) = 2 5 c) f ( ) = e g( ) = + 4 d) f ( ) = e g( ) =