Mat. Monitor: Rodrigo Molinari

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1 Mat. Professor: Gabriel Miranda Monitor: Rodrigo Molinari

2 Logaritmo 09 ago RESUMO Definição: Definimos como logaritmo de um número positivo a na base b o valor do expoente da potência de base b que tem como resultado o número a. Ou seja: log b a = X b x = a Chamamos a de logaritmando, sendo a > 0, e b de base, sendo b > 0 e b 1 Ex: log 8 = 3, pois 3 = 8. a) log b 1 = 0. log b 1 = x b x = 1 x = 0 b) log b b = 1. log b b = x b x = b 1 x = 1 c)log b b α = α. log b b α = x b α = b x x = α Ex: log3 81 = log3 3 4 = 4 d) b log b a = a Fazendo b Log b a = b x, temos que logb a = x e, da definição desse logaritmo, temos que b x = a. Portanto: b Log b a = x = a Ex: 4 log 9 = (²) log 9 = ( log 9 )² = 9² = 81 e) logb (p.q) = logb p + logb q f) logb ( p ) = logb p logb q q g) logb a α = α.logb a h) logb β a = 1. logb a Ex: log7 81 = log = 4 3 log33 = 4 3 i)mudança de base: log b a = j) log b a = 3) Sistemas de logaritmos: 3.1)Sistema decimal (base 10): Nos exercícios, é mais usual usarmos logaritmos na base 10. Dessa maneira, podemos omiti-la. Ex: log 100 = log =, pois 10² = ) Sistema neperiano (base e):

3 O número e, chamado de número de euler, pertence ao conjunto dos números irracionais e vale, aproximadamente,,7. e, O logaritmo neperiano, também chamado de logaritmo natural, é o logaritmo de base e e é apresentado pela letra n: ln x log e x EXERCÍCIOS 1. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a.. Considerando log = 0,30 e log3 = 0,48, o número real x, solução da equação 5 x-1 = 150, pertence ao intervalo: a),0 b) 4, 5 c) 1, 3 d) 0, e) 5, + 3. O valor CORRETO da expressão 3 0, E = log é: a) b) 11, c) d) 11. e) 1 4. O número log 7 está entre a) 0 e 1. b) 1 e. c) e 3. d) 3 e 4. e) 4 e A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M w), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. M w e M se relacionam pela fórmula: Mw = 10,7 + log 10( M0) 3 Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M w = 7,3 Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M w do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 10-5,10. b) 10-0,73. c) 10 1,00. d) 10 1,65. e) 10 7,00.

4 6. Se log = x e log 3 = y, então log 7 é igual a: a) x + 3y b) 3x + y c) 3x y d) x 3y e) x + y 7. Quando ocorre um terremoto, o sismógrafo registra o tremor de terra em um gráfico como o apresentado a seguir. A altura máxima A, que aparece no desenho é chamada de amplitude da onda sísmica e é medida em milímetros. A magnitude do terremoto a uma distância de 00 km do local onde ele ocorreu é um número calculado por m = log10a +,5. Notícia No dia 13 de agosto de 011 foi registrado na costa sudeste do México, um terremoto com epicentro a cerca de 00 km de Salinas Cruz, onde o sismógrafo mostrou ondas de amplitude máxima de 160mm. (Serviço Sismológico Nacional, Brasília). Usando log= 0,3, a magnitude desse terremoto foi de: a)4,6 b)5,0 c)5,4 d)5,7 e)6,1 8. São dados: log 15 3 = a e log 15 = b. O valor de log 10 é: a) b) c) d) e) 9. A acidez de frutas cítricas é determinada pela concentração de íons hidrogênio. Uma amostra de polpa de laranja apresenta ph =,3. Considerando log = 0,3, a concentração de íons hidrogênio nessa Obs: ph = - log[h + ] a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005 d) 0,007

5 10. Suponha que o nível sonoro β e a intensidade I de um som estejam relacionados pela equação logarítmica β = log 10 I, em que β é medido em decibéis e I, em watts por metro quadrado. Sejam I 1 a intensidade correspondente ao nível sonoro de 80 decibéis de um cruzamento de duas avenidas movimentadas e I a intensidade correspondente ao nível sonoro de 60 decibéis do interior de um automóvel com ar-condicionado. A razão I 1/I é igual a: a) 1 10 b) 1 c) 10 d) 100 e) PUZZLE Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar em sequência D,T, D e T, o resultado será qual número?

6 GABARITO 1. c Dados dois números reais onde são positivos, e Denotamos o logaritmo de na base por onde é a base do logaritmo; é o logaritmando. Esse logaritmo é o expoente ao qual devemos elevar a base para se obter como resultado: Opção c. É o número ao qual se eleva b para se obter a.. b Temos que 3. b Portanto, x [4,5[ 4. c 5. e Basta substituir na fórmula as informações dadas no enunciado: M W = 7,3. Substituindo na equação das escalas, vamos obter, 7,3 = -10,7 + /3 log(m 0). Operando: 7,3 + 10,7 = /3 log(m 0)

7 6. b 18 = /3 log(m 0) 9= 1/3 log(m 0) 7 = log(m 0) Agora, podemos aplicar a definição de logarítmo: 10 7 = M 0 Logo a relação é: E1 = 10³.E log 7 = log8.9 = log8 + log 9 = log ³ + log 3² = 3log + log 3 Substituindo log = x e log3 = y, temos: log 7 = 3x+ y 7. d Como A=160mm logo substituímos ele na equação dada : m=log10a +,5 m=log10 x 160 +,5 m=log10 + log 160 +,5 Fatorando o 160: x x x x 10 m=log10 + log 4 x 10 +,5 m=log10 + log 4 +log10 +,5 m=log10 + 4log + log10 +,5 m=1+4.(0,3)+1+,5 m=1+1,+1+,5 m=5,7 8. b log15 log15 log15 log15 log15 log = = = = = log 10 log 5. log 5 + log log 15 / 3 + log log 15 log 3 + log b log = 1 a + b c A concentração de íons hidrogênio dessa fruta pode ser denotada como [H + ]. Portanto: + ph = log 10 H +,3 = log 10 H +,3 = log 10 H, = H 0, = H = H 0, Como log 10 = 0,3, tem-se 10 0,3 =. Logo

8 = H = H 00 H = 0,005 mol x L d Primeiro, vamos calcular I 1: 80 = log I 8 = 1 + log I log I = 4 I 1 1 = 10 4 Agora, vamos calcular I : 60 = log I 6 = 1 + log I log I = 6 I = Queremos I 1/I, assim: = = Puzzle O número 1999 duplicado dá Pressionando a tecla T, tem-se 399. Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o algarismo da unidade, obtendo 79.