Aula 09 - Momento (formulação vetorial) 2011 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

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Maria das Neves Cortês Bardini
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1 Aula 09 - Momento (formulação vetorial) slide 1

2 Lembrete: 29/08 Revisão e esclarecimento de dúvidas. 31/08/17 - Prova 01 slide 2

3 Momento de uma força sobre um eixo especificado slide 3

4 Momento de uma força sobre um eixo especificado Para determinar o efeito de rotação, apenas a componente y do momento é necessária, e o momento total produzido não é importante. Para determinar essa componente, podemos usar uma análise escalar ou vetorial. slide 4

5 Análise escalar Em geral, para qualquer eixo a, o momento é: Análise vetorial M a = Fd a M y = j M O = j (r F) slide 5

6 Análise vetorial Essa combinação é chamada de produto triplo escalar. slide 6

7 Análise vetorial Uma vez que Ma é determinado, podemos expressar Ma como um vetor cartesiano, a saber, slide 7

8 Pontos importantes O momento de uma força em relação a um eixo especificado pode ser determinado desde que a distância perpendicular da a partir da linha de ação da força até o eixo possa ser determinada. M a = Fd a. Se usarmos análise vetorial, M a = u a (r F), onde u a define a direção do eixo e r é definido a partir de qualquer ponto sobre o eixo até qualquer ponto sobre a linha de ação da força. Se M a é calculado como um escalar negativo, então o sentido da direção de M a é oposto a u a. O momento M a expresso como um vetor cartesiano é determinado a partir de M a = M a u a slide 8

9 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB.

10 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB. M AB = u B.(r x F)

11 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB. M AB = u B.(r x F)

12 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB.

13 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB.

14 A barra é sustentada por dois grampos em A e B. Determine o momento M AB produzido por F = {-600i + 200j 300k}N, que tende a girar a barra em torno do eixo AB.

15 Momento de um binário Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância perpendicular d. slide 15

16 Momento de um binário Por exemplo, os vetores posição r A e r B estão direcionados do ponto O para os pontos A e B situados na linha de ação de F e F. slide 16

17 Momento de um binário Portanto, o momento do binário em relação a O é M = r B F + r A F = (r B r A ) F Entretanto, r B = r A + r ou r = r B r A, tal que M = r F slide 17

18 Formulação escalar O momento de um binário M é definido como tendo uma intensidade de: M = Fd slide 18

19 Formulação vetorial O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial usando: M = r F slide 19

20 Binários equivalentes slide 20

21 Momento de binário resultante Considere os momentos de binário M 1 e M 2 agindo sobre o tubo na figura abaixo: slide 21

22 Momento de binário resultante Podemos unir suas origens em qualquer ponto arbitrário e encontrar o momento de binário resultante, M R = M 1 + M 2, como mostra a figura abaixo: Se mais de dois momentos de binário agem sobre o corpo, podemos generalizar esse conceito e escrever a resultante vetorial como: slide 22 M R = Σ(r F)

23 Pontos importantes Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade, mas com direções opostas. Seu efeito é produzir rotação pura, ou tendência de rotação em uma direção específica. Um momento de binário é um vetor livre e, consequentemente, causa o mesmo efeito rotacional em um corpo, independentemente de onde o momento de binário é aplicado ao corpo. slide 23

24 Pontos importantes O momento das duas forças de binário pode ser determinado em relação a qualquer ponto. Por conveniência, esse ponto normalmente é escolhido na linha de ação de uma das forças a fim de eliminar o momento dessa força em relação ao ponto. Em três dimensões, o momento de binário geralmente é determinado usando a formulação vetorial, M = r F, onde r é direcionado a partir de qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças até qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força F. Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momentos de binário do sistema. slide 24

25 Simplificação de um sistema de forças e binários slide 25

26 Simplificação de um sistema de forças e binários Um sistema é equivalente se os efeitos externos que ele produz sobre um corpo são iguais aos causados pelo sistema de forças e momentos de binário original. Nesse contexto, os efeitos externos de um sistema se referem ao movimento de rotação e translação do corpo se este estiver livre para se mover, ou se refere às forças reativas nos suportes se o corpo é mantido fixo. slide 26

27 Simplificação de um sistema de forças e binários Se F for aplicado perpendicularmente ao bastão, como na Figura 4.35a, então podemos conectar um par de forças F e F iguais e opostas no ponto B (Figura 4.35b). A força F agora é aplicada em B, e as outras duas forças, F em A e F em B, formam um binário que produz o momento de binário M = Fd (Figura 4.35c). (a) (b) (c) slide 27

31 Sugeridos: 4.51; 4.52; 4.54; 4.61; 4.62 e 4.67;

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