UNIDADE 2 VETORES E FÍSICA. Exercícios 1 Vetores

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1 1 UNIDADE 2 VETORES E FÍSICA Exercícios 1 Vetores 1. Na figura abaixo está representada, vista do alto, uma sala quadrada de paredes com 5 metros de comprimento. Você entra na sala pela porta, em A, e anda ao longo da parede AB por 4 metros, até oponto P, e depois paralelamente à parede BC por mais 3 metros, até oponto Q. Represente graficamente estes deslocamentos, e marque na figura os pontos Pe Q. Qual a distância que você percorreu? A que distância do ponto de partida você chegou? Estabeleça um sistema de coordenadas (x, y) com origem no ponto A, eixo x ao longo da parede AB e eixo y ao longo da parede AD. Escreva as coordenadas (x, y) dos pontos P, Q, A, B, C e D. Quanto vale o cosseno do ângulo que a direção AQ faz com a direção AB? E o seno deste ângulo? 2. Suponha que você ande sobre um terreno plano percorrendo as seguintes distâncias nas direções indicadas, em qualquer ordem possível e sucessivamente: 3 metros para leste; 2 metros para norte; 3 metros para oeste. A que distância do ponto de partida você chegará ao fim da caminhada?

2 TópFísBás Un.2 p Um automóvel percorre 50 km para leste e, depois, 30 km para nordeste num terreno plano. Desenhe os deslocamentos num plano, representando-os como vetores. Desenhe e calcule o vetor deslocamento resultante. Calcule a distância percorrida. Calcule também a distância percorrida se o automóvel fosse em linha reta do ponto de partida ao ponto de chegada. 4. Na figura está representada a trajetória num plano de um carro que se move indo do ponto A ao ponto D. (a) Represente as coordenadas (x, y) dos pontos A, B, C e D da trajetória percorrida. (b) Escreva, em termos dos vetores unitários îeĵdasdireções x e y e das componentes dos vetores ao longo destes eixos, os vetores que representam as posições em relação ao ponto O dos pontos A, B, CeD. (c) Represente em termos destes unitários os vetores deslocamento entre A e B, entre B e C, entre C e D, e entre A e D. (d) Escreva o vetor deslocamento que representa a volta de D para A.

3 TópFísBás Un.2 p A figura a seguir representa um bloco de massa m em repouso sobre uma mesa. A mesa está fixa em um elevador acelerado verticalmente para cima. Sobre bloco atuam a força normal de contato N eaforça peso P. Marque com um X as afirmativas falsas, justificando suas respostas: (a) A força resultante sobre o bloco é R = N P. (b) A força resultante sobre o bloco é R = N + P. (c) O módulodaforçaresultante sobre o bloco é R = N P. (d) O módulodaforçaresultante sobre o bloco é R = N + P. (e) A intensidade da força resultante sobre o bloco é R = N + P. (f) A força resultante sobre o bloco énula. (g) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é R y = N y P y. (h) O vetor componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é R y = N y + P y. (i) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y é R y = N y P y. (j) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo yé R y = N P.

4 TópFísBás Un.2 p A figura abaixo representa um bloco de massa m sobre um plano inclinado liso que forma um ângulo θ com a horizontal. Sobre bloco atuam aforça normal N eaforça peso P. Marque com um X as afirmativas falsas justificando as suas respostas. (a) A força resultante sobre o bloco é R = N P. (b) A força resultante sobre o bloco é R = N + P. (c) O módulodaforçaresultante sobre o bloco é R = N P. (d) O módulodaforçaresultante sobre o bloco é R = N + P. (e) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer y = N y P y. (f) A componente da força resultante sobre o bloco na direção do eixo y ésemprer y = N y + P y. (g) A componente da força peso na direção x é P senθ. (h) O vetor normal é N = P cos θ. (i) O vetor normal é N = P cos θ. (j) O vetor normal é N = P cos θ. (k) O vetor força resultante sobre o bloco énulo.

5 TópFísBás Un.2 p Dados os vetores a =î+ĵ b =î ĵ desenhe-os num plano (x, y) e determine: (a) a + b ; (b) a b ; (c) os módulos de a e b ; (d) o módulo dos vetores a + b e a b ; (e) os ângulos formados por a e b com os eixos x e y definidos pelos unitários îeĵ; (f) o unitário da direção formada por a + b; (g) o ângulo formado por a e b. 8. Dados os vetores determine: a =î+4ĵ 5ˆk b =3î 2ĵ 3ˆk c =4î 2ĵ 3ˆk (a) a + b + c ; (b) a b + c ; (c) os módulos de a ede b ; (d) o módulo de a + b ; (e) os ângulos formados por a com os eixos x, y e z (definidos pelos unitários î, ĵeˆk); (f) o unitário da direção definida por a + b.

6 TópFísBás Un.2 p O vetor posição r de um ponto no plano xy também pode ser caracterizado por seu módulo r = r epeloângulo θ que ele faz com o eixo x. Esta representação (r, θ) é chamada de representação em coordenadas polares, earepresentação em coordenadas (x, y) derepresentação em coordenadas cartesianas. Podemos associar a estas coordenadas polares dois vetores unitários ˆr e ˆθ, como especificados na figura. Expresse: (a) o vetor posição r em função dos unitários îeĵ; (b) o vetor posição r em função dos unitários ˆr e ˆθ ; (c) os unitários ˆr e ˆθ em função dos unitários îeĵ; e (d) os unitários îeĵ em função dos unitários ˆr e ˆθ.

7 TópFísBás Un.2 p. 7 Exercícios 2 Vetores Novamente 1. Represente em termos dos unitários î, ĵdasdireções x, y os vetores representados na figura. 2. Considere os vetores: a =3î+2ĵ b = î+2ĵ c =2î ĵ d = 2î 3ĵ (a) Represente cada um destes vetores num plano (x, y). (b) Represente neste plano os vetores a + b e 2 c. (c) Escreva as componentes ao longo do eixo x dos vetores (i) a (ii) b (iii) d (iv) a + b (v) 3 c (vi) a 2 b (vii) c + d 3. O produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a dois vetores a e b um número real de valor igual a ab cos θ, onde θ éo ângulo entre a e b,medidode a para b. Usa-se a notação para representar o produto escalar. Da figura e da definição, observa-se que

8 TópFísBás Un.2 p. 8 a b = ab cos θ = ab a, onde b a éaprojeção de b sobre a direção definida por a. Demonstre que (a) a a = a 2. (b) Se a 0,b 0,então a b =0 a b. (c) î ĵ=0; î î=1; ĵ ĵ=1. (d) a x = a î (e) a b = b a (f) a ( b + c ) = a b + a c. (g) Se a = a x î+a y ĵ+a z ˆk e b = bx î+b y ĵ+b z ˆk,então a b = a x b x + a y b y + a z b z 4. Para a =î 2ĵ, b =2î+3ĵ e c = î+ĵcalcule (a) a + b (b) 3 c (c) 2 a b (d) a ( ) b + c (e) b ( a 2 c) 5. Um bloco de massa m está apoiado e em repouso sobre um plano inclinado de um ângulo α em relação à horizontal.

9 TópFísBás Un.2 p. 9 (a) Isole o bloco e indique todas as forças que atuam sobre ele. (b) Com os eixos da figura, calcule a componente x e a componente y de cada uma das forças atuando sobre o corpo. (c) Calcule o módulo de cada uma das forças e o ângulo entre cada uma delas e o eixo x. 6. Sobre um corpo de massa m = 1 kg atuam as forças constantes, expressas em unidades do Sistema Internacional por meio do uso de um sistema de coordenadas cartesianos como F 1 =î+2ĵ 3 ˆk F 2 =ĵ ˆk F 3 = î +ĵ O observador que descreve este sistema é um observador inercial. (a) Calcule a força resultante sobre este corpo. (b) Obtenha o valor da intensidade de cada uma destas forças e da força resultante. (c) Calcule o ângulo que a força F 1 faz com o eixo x. (d) Calcule o ângulo entre as direções das forças F 2 e F 3. (e) Obtenha o ângulo que a força resultante faz com o eixo z. (f) Obtenha o vetor unitário da direção definida pela força F 1. (g) Qual o vetor aceleração deste corpo? (h) Se num instante inicial a velocidade do corpo vale v =12ĵ 16 ˆk, esuaposição em relação a um ponto fixo para o observador vale vecr = 0, qual a trajetória que o corpo descreve? 7. Considere o vetor posição de uma partícula de massa m = 0, 5kg medido por um observador fixo a um sistema inercial: r(t) =5t 2 î+(10t 4) ĵ+6exp( 2t) ˆk. (a) Obtenha o valor do vetor posição desta partícula nos instantes de tempo correspondentes a t =0s,t =2s,et =4s.

10 TópFísBás Un.2 p. 10 (b) Obtenha a expressão que descreve a velocidade desta partícula como função do tempo, v(t). (c) Obtenha a expressão que descreve a aceleração desta partícula como função do tempo. (d) Calcule os valores da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t =1set =4s. (e) Calcule a força resultante sobre a partículanoinstantet =4s.

11 TópFísBás Un.2 p. 11 TEXTO COMPLEMENTAR VETORES Marta F. Barroso Muitas das grandezas usadas na Física não podem ser representadas por um único número. Grandezas como a posição de um objeto, sua velocidade, aforça aplicada sobre ele, entre outras, necessitam, para sua especificação precisa, não só de um valor numérico a distância a um ponto de referência, o valor medido no odômetro de um carro, a intensidade da força mas também de direção e sentido. De uma maneira simplificada, um vetor é uma grandeza que pode ser representada como um segmento de reta orientado. O tamanho do segmento é o módulo do vetor, sua direção é fornecida pela direção da reta que suporta o semento, e o sentido é dado pela orientação do segmento. Um vetor em geral é representado graficamente por uma letra com uma seta em cima, como a; seumódulo é representado por a = a. Um vetor pode sofrer deslocamentos paralelos sem se alterar. Isto é, um vetor é um representante de um conjunto de segmentos orientados partindo de diferentes pontos do espaço. Um vetor também é um elemento de um conjunto chamado espaço vetorial que associado a duas operações, a adição e a multiplicação por escalar, tem algumas propriedades: é fechado em relaçãoaestasduasoperações (a soma de dois vetores é um vetor,...), o elemento neutro da adição (vetor nulo) faz parte do conjunto, todos os vetores possuem elemento inverso em relação àadição,... Um exemplo de vetor bem conhecido éovetor deslocamento de um objeto pontual. Um deslocamento de um ponto A a um ponto B pode ser representado por um vetor d com módulo igual àdistância entre os pontos A e B, direção definida pela reta que une A a B e sentido indo de A para B. Dois deslocamentos sucessivos resultam num deslocamento final que corresponde ao segmento orientado do ponto de partida ao ponto de chegada.

12 TópFísBás Un.2 p. 12 Assim, a soma de dois deslocamentos do ponto A ao ponto B, e depois do ponto B ao ponto C, resulta num deslocamento final de A a C. Aoperação de adição de dois vetores é definida de forma análoga àsoma de dois vetores deslocamentos. O vetor c que resulta da soma de dois outros vetores a e b, c = a+ b,é o vetor correspondente ao segmento de reta orientado obtido de acordo com a regra do paralelogramo. Esta regra de soma tem este nome porque o vetor soma representa a diagonal do paralelogramo que pode ser formado com lados a e b. A adição de vetores é comutativa a + b = b + a eé distributiva: a + ( ) ( ) b + c = a + b + c o que pode ser facilmente demonstrado geometricamente. Um deslocamento d de um ponto A a um ponto B define uma direção, adireçãoda reta que une os dois pontos. Um outro deslocamento sobre a mesma direção pode ser escrito como o produto deste deslocamento d por um número real α, de forma tal que a distância percorrida seja αd. Se α é positivo, os sentidos são os mesmos. Para voltar de B até A,odeslocamento pode ser representado por um vetor com a mesma direção, mesmo módulo e sentido oposto, d. Aoperação de multiplicação de um vetor b por um escalar α (um número real) é definida como sendo uma operação cujo resultado éumvetorα b

13 TópFísBás Un.2 p. 13 cujomódulo é dado por α b, cujadireção éamesmadireção do vetor b, ecujosentidoéode b no caso em que α>0, e contrário se α<0. Desta maneira, a diferença de dois vetores é a soma de dois vetores, o primeiro com o produto escalar do segundo pelo número real 1: a b = a + ( b ). Um deslocamento de uma unidade de comprimento (por exemplo, de 1 m) na direção de A para B pode ser o padrão de medida de todos os vetores que têm a direção AB. Da mesma maneira que é necessária uma unidade de medida, um padrão, para a descrição de grandezas escalares (como temperatura, massa), precisamos de um padrão de medida para vetores. Mas a especificação de um vetor exige módulo, direção e sentido; um padrão para descrevê-lo não pode ser um simples número, tem que ter também direção e sentido. Ou seja, é também um vetor. Um vetor cujo módulo vale 1 unidade é chamado de vetor unitário. A sua representação é feita usuamente por um chapéu (acento circunflexo) sobre uma letra: â. Da operação de multiplicação por escalar, podemos escrever imediatamente d = a ˆd. E para obter-se o vetor unitário associado a um vetor qualquer basta dividí-lo pelo seu módulo: ˆd = 1 d d. Para descrever um deslocamento, em geral usa-se um sistema de coordenadas cartesiano ou outro qualquer. No espaço, são necessárias três

14 TópFísBás Un.2 p. 14 coordenadas para caracterizar um ponto. Para caracterizar um vetor, portanto, precisamos de suas três componentes ao longo de três eixos ou de três unitários de direções independentes. O sistema de três vetores unitários mais comum é um sistema constituído de três unitários mutuamente perpendiculares, com a convenção de ordem indicada na figura abaixo. Para descrever um deslocamento, pode-se colocar o ponto de partida como sendo a origem de nosso sistema de coordenadas e descrever o deslocamento através das coordenadas do ponto final. Num plano, a descrição fica como na figura. As coordenadas do ponto A são as componentes segundo os eixos x e y: A =(x A,y A ). Ovetor OA = d pode ser decomposto em outros dois, um paralelo ao eixo x e outro paralelo ao eixo y. Esta decomposição fica r A = x A + y A como mostrado na figura. Se definimos os unitários das direções x e y como sendo îeĵ, temos r A = x A î+y A ĵ O vetor componente de r A na direção x, x A,temmódulo igual a x A,pois x A pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo do sentido do vetor x A coincidir ou nãocomosentidodounitário î. O mesmo ocorre para o vetor

15 TópFísBás Un.2 p. 15 componente de r A na direção de y, y A. Assim, x A = x A î, y A = y A ĵ. Os valores x A e y A são chamadas de componentes do vetor r A segundo os eixos x e y, ou segundo as direções dos unitários îeĵ. Pode-se usar um sistema de coordenadas polares planas A =(r, θ), onde r corresponde àdistância à origem de coordenadas e θ oângulo que a direção OA faz com um eixo arbitrário nocasooeixox. As duas descrições A =(r, θ) =(x, y) estão relacionadas através das expressões x = r cos θ, y = r sen θ r = x 2 + y 2, θ = arctg y x eé imediatamente claro que 0 θ<2π, x e y podem ser maiores, iguais ou menores que zero, e que r corresponde a um valor positivo e igual ao módulo do vetor OA. As operações de adição de vetores e multiplicação por escalar podem ser feitas em termos de componentes. Da figura, para a adição de vetores c x = ( a + b ) x = a x + b x

16 TópFísBás Un.2 p. 16 edeformaanáloga c y = ( a + b ) y = a y + b y Para a multiplicação de um vetor por um escalar, b x =(α a) x = αa x, b y =(α a) y = αa y. Duas outras operações com vetores são usadas para a definição de conceitos físicos. A primeira operação é o chamado produto escalar de dois vetores. Nesta operação, a um par de vetores a e b associa-se um número real a b definido como a b = ab cos θ onde θ éoângulo entre as direções de a e b. Esta definição é equivalente a dizer que o produto escalar de a por b éo produto do módulo de b pela projeção de a na direção de b. Geometricamente, verifica-se trivialmente que a b = b a a a = a 2 a b =0 (a 0,b 0) a ( b + c ) = a b + a c a b Se os vetores a e b são paralelos, a b = ab. Se são anti-paralelos (seus sentidos são opostos) a b = ab. Em componentes, o produto escalar pode ser calculado usando as propriedades anteriores. Se a = a x î+a y ĵ+a z ˆk e b = bx î+b y ĵ+b z ˆk,então a b = ( a x î+a y ĵ+a z ˆk ) ( bx î+b y ĵ+b z ˆk ) = ax b x + a y b y + a z b z

17 TópFísBás Un.2 p. 17 Da definição do produto escalar, também, pode-se demonstrar que a x = a î, a y = a ĵ, a z = a ˆk a b cos θ = ab O produto escalar surge pela primeira vez nas discussões em Física com a definição de trabalho realizado por uma força F num deslocamento: WAB F = F d r. A outra operação, o produto vetorial entre dois vetores, associa a dois vetores a e b um terceiro vetor c c = a b com o módulo dado por c = absenθ, onde θ éo(menor)ângulo entre a e b, com direção perpendicular ao plano que contém a e b,esentidodadopela chamada regra da mão direita. Esta definição está ilustrada na figura a seguir. O produto vetorial de dois vetores não é comutativo a ordem dos fatores troca o sinal do resultado. Suas propriedades também podem ser verificadas facilmente da definição, a b = b a a ( b + c ) = a b + a c a ( α b ) = α a b a a =0 O produto vetorial de dois vetores paralelos ou anti-paralelos énulo.

18 TópFísBás Un.2 p. 18 Em componentes, a b =(a y b z a z b y )î+(a z b x a x b z )ĵ+(a x b y a y b x ) ˆk O produto vetorial aparece em Física na definição de torque de uma força em relação a um ponto, e momento angular de uma partícula em relação a um ponto: τ = r F L O = r p = m r v