MAP Cálculo Numérico e Aplicações

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1 MAP151 - Cálculo Numérico e Aplicações Lista 6 Correção Neste ponto, todos já sabemos que todas as questões têm o mesmo valor, totalizando 1. pontos. Questão 1 Comecei escrevendo uma função ajusta reta.sci que recebe como entrada uma tabela matriz [ [ x x1... x T n y y 1... y n e a ajusta por uma reta que melhor a aproxima no sentido dos mínimos quadrados. Para isso, selecionei como modelo uma função de reta, i.e. onde identificamos as componentes yx c 1 + c 2 x f 1 x : 1 f 2 x : x de modo que o modelo fica yx c 1 f 1 x + c 2 f 2 x. Usando a notação fx : fx 1,..., fx n considerando então o produto interno de funções induzido por x f, g x : fx, gx fxgx n fx i gx i i1 montamos o sistema do MMQ: [ f1 x, f 1 x f 1 x, f 2 x f 2 x, f 1 x f 2 x, f 2 x [ c1 c 2 [ f1 x, y f 2 x, y 1

2 o qual denotamos simplesmente por Ac b. 1 Por fim, resolvemos o sistema linear 1 utilizando algum algoritmo conhecido. Como eu já havia implementado o Método de Gauss com Pivotamento Parcial na Lista 4, utilizei esse método. A função ajusta reta.sci ficou assim: // ajusta_reta.sci function [c1, c2 ajusta_retat [nl, nc sizet; n nc; // importando funcoes auxiliares getf"gausspv.sci"; // inicializando o sistema do MMQ A zeros 2, 2; b zeros 2, 1; // modelo de reta: c1 + c2x deff"y f1x", "y 1"; deff"y f2x", "y x"; // montando o sistema com o produto // interno dado por T for i 1:n do A1,1 A1,1 + f1t1,i * f1t1,i; A1,2 A1,2 + f1t1,i * f2t1,i; A2,1 A2,1 + f2t1,i * f1t1,i; A2,2 A2,2 + f2t1,i * f2t1,i; b1 b1 + f1t1,i * T2,i; b2 b2 + f2t1,i * T2,i; end // exibindo na tela as matrizes A, b mprintf "%.2f\t%.2f\t%.2f\n", A, b; mprintf "\n"; 2

3 // resolvendo o sistema linear Ac b [p, B, c gausspv A, b; c1 c1; c2 c2; endfunction e, quando executada para produziu o sistema e a solução A T [ [ c c [ 8, b 27 ou seja, a reta que melhor ajusta a tabela é yx x. Sugestão: faça o gráfico no SciLab para ver como ficou. Vamos ver o problema agora por um outro enfoque mais intuitivo, que nos levará ao mesmo resultado e poderá ser bastante esclarecedor. Essencialmente, o que gostaríamos de fazer é encontrar c 1, c 2 tais que yx i c 1 + c 2 x i y i para cada x i, y i da tabela T, ou seja, gostaríamos que c 1 + c 2 c 1 + 2c 2 2 c 1 + 3c 2 1 c 1 + 4c 2 5 o que é o mesmo que a forma matricial 1 1 [ c1 c

4 note onde foram parar os x i e os y i da tabela. Sendo esse um sistema de 4 equações e apenas 2 incógnitas, dificilmente terá solução. No entanto, podemos mostrar que o sistema normal [ 1 1 [ [ c c multiplicando-se pela matriz transposta do sistema dos dois lados possui uma única solução, c 1, c 2 T, que é exatamente aquela que que minimiza o erro quadrático Ec 1, c 2 : [c 1 + c 2 x i y i 2 e, portanto, é a melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados. Note que, reescrevendo o sistema normal, obtemos [ [ [ 4 1 c que é um sistema linear quadrado de posto máximo e, portanto, possui uma e somente uma solução. Note que ele é exatamente o sistema que obtivemos na resolução pelo primeiro método. Resolvendo este sistema pelo Método de Gauss obtemos, novamente, c 2 c c que define completamente a solução. Questão 2 Mesmo problema de MMQ, só que agora para ajustar funções mais gerais a uma tabela, em vez de uma reta. Para o primeiro modelo gx ax 2 + b temos as funções componentes g 1 x : x 2 g 2 x : 1 ou seja, gx ag 1 x + bg 2 x. Então, dada a tabela [ [ x T y

5 devemos encontrar a, b R que minimizam o erro quadrático Ea, b [gx i y i 2 [ag 1 x i + bg 2 x i y i 2 [ax 2 i + bx i y i 2. Para montar o sistema linear, temos novamente o produto interno, x a partir de T, e então g 1, g g 1, g g 2, g 1 g 2, g donde temos e [ g1, g C 1 g 1, g 2 g 2, g 1 g 2, g 2 [ g 1, y g 2, y donde [ g1, y d g 2, y [

6 Resolvendo o sistema utilizando o MEG, obtemos ou seja, gx 2x 2 3. C [ a b a 2 b 3 d Para o modelo hx cx 2 + dx temos as componentes h 1 x : x 2 h 2 x : x. Reproduzindo os mesmos passos feitos no caso do modelo g temos [ [ h1, h A 1 h 1, h 2 34 h 2, h 1 h 2, h 2 1 [ [ h1, y 38 b h 2, y 2 Resolvendo o sistema obtemos ou seja, hx x2 + 2x. A [ c d c d 2 b É muito fácil modificar o método ajusta reta.sci para calcular os coeficientes de g e h, e até de modelos mais gerais. Tente fazê-lo! Para descobrir qual destas funções melhor se ajusta à tabela T pelo critério dos mínimos quadrados, devemos efetivamente computar os erros quadráticos Eg 2 : [gx i y i 2 E 2 h : [hx i y i 2 6

7 e compará-los: o modelo que produzir o menor erro é aquele que melhor ajusta a tabela pelo critério dos mínimos quadrados, por definição claro que para obter os verdadeiros erros devemos tirar a raiz quadrada dos E 2, mas evidentemente isto não interfere no critério de seleção do melhor modelo. Para fazer estas contas, escrevi um script erro quad.sci, o qual vocês mesmos podem fazer, pois é muito fácil. Obtive E 2 g 4 E 2 h ou seja, E 2 h < E2 g e, portanto, h ajusta melhor T do que g no sentido dos mínimos quadrados. Fiz também um gráfico gversush.pdf só para comparar visualmente os ajustes. Questão 3 Recordemos que o n-ésimo polinômio mônico p n é aquele que tem grau n e cujo coeficiente do termo de maior grau é 1. Logo sempre temos que p x 1. Então, dada a tabela da Questão 1 [ [ x T y e o produto interno por ela definido f, g : n fx i gx i i1 gostaríamos de encontrar a família {p n } n N de polinômios mônicos ortogonais, isto é, se n m então p n, p m. Como já conhecemos p vamos determinar p 1 e p 2, nesta ordem. Sabemos que, por definição, p 1 deve ser um polinômio de grau igual a 1 e que o coeficiente do termo de maior grau deve se igual a 1 já que estamos tratando de polinômios mônicos. Ou seja, devemos ter p 1 x a 1 + x 2 7

8 onde a constante a 1 deve ser determinada. Para determinarmos a 1, usamos que p, p1 p 1 p p 2 p p 3 p p 4 p a a a a 1 4 4a a Substituindo em 2 obtemos p 1 x x. Vamos agora calcular p 2. Novamente, a expressão de p 2 deve ser p 2 x a 2 + b 2 x + x 2 3 onde as constantes a 2, b 2 devem ser determinadas sabendo que p, p 2 4a 2 + 1b p 1, p 2 5b Resolvendo o sistema linear acima por exemplo, aplicando o MEG, obtemos a 2 5 b 2 5 e, substituíndo em 3, obtemos p 2 x 5 5x + x 2. Questão 4 Embora o enunciado não tenha sido explícito nesse sentido, vou calcular o 3 primeiros polinômios mônicos em relação ao produto interno f, g : fxgxdx 8

9 Naturalmente, p x 1. Além disso, p 1 é dado pela expressão 2, onde devemos determinar a 1 usando que p, p 1 p xp 1 xdx 1 a 1 + xdx a 1 x + x2 2 a donde temos que a e, portanto, p 1x x. Ainda, p 2 tem a expressão geral 3, com a 2, b 2 a determinar. Temos p, p 2 p xp 2 xdx 1 a 2 + b 2 x + x 2 dx a b p 1, p 2 p 1 xp 2 xdx.5 + x a 2 + b 2 x + x 2 dx 1 12 b Resolvendo o sistema linear, obtemos b 2 1 e a 2 1, donde temos 6 que p 2 x 1 x + 6 x2. Questão 5 Este exercício, quem tentou viu que são uma porção de integrais a se resolver por integração por partes, que dão uma conteira danada. Só vou contar para vocês tomara que minhas contas estejam 9

10 certas! que p O, p p 1, p 1 1 e que π sin 6 x dx 6 π π cos 6 x dx x 2 dx p 2, p 2 6 x + x2 dx 1 18 π x sin 6 x dx 6 π π x cos 6 x [ π x 2 sin 6 x dx donde temos que π π x2 π sin 6 x dx x sin π 6 x dx 1 2 π x 2 sin 6 x dx 3 Então temos o seguinte: definindo π fx : sin 6 x 2 6 π6 + sin π x π cos 6 x π π 2 π π π π6 x sin π x 6 π 1

11 temos que p, f fxdx π p 1, f [ 12 fx + xfx dx π π 2 π π π [ 1 p 2, f 6 fx xfx + x2 fx dx π π π Logo, quando quisermos encontrar c, c 1, c 2 tais que gx c p x + c 1 p 1 x + c 2 p 2 x seja a melhor aproximação deste tipo para a função f definida acima, chegaremos ao sistema linear p, p p 1, p 1 p 2, p 2 c c 1 c 2 p, f p 1, f p 2, f onde as entradas nulas se justificam pela ortogonalidade de p, p 1, p 2. Esta é a grande vantagem dos polinômios ortogonais: na hora de utilizálos para obter aproximações, chegamos a um sistema diagonal, o qual é trivial de se resolver: de fato, temos que c p, f c 1 12 p 1, f c 2 18 p 2, f e então basta substituí-los na expressão da g sinto muito pessoal, a expressão completa não cabe em uma linha... 11