Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec
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- Elisa de Paiva
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1 Cálclo Diferencial e Integral I 1 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec 14 de Abril de horas I (8.0 val. 1. (1.0 val. Seja A R o conjnto solção da ineqação + ( 0. Escreva A como ma nião de intervalos e indiqe, se eistirem em R, o spremo e o infímo de A. Determine, o jstifiqe qe não eistem em R, a maior e a menor solções racionais da ineqação acima. Como + > 0 se + 0, vemos qe o sinal do lado esqerdo da ineqação depende apenas de, e temos + ( 0 + = 0 0 = = = 0 4. (Também se pode fazer directamente m qadro de sinais: ( Logo A = { } [0, 4]. Temos sp A = 4, inf A =. A maior e menor solções racionais da ineqação correspondem respectivamente a ma A Q = 4 e min A Q = 0.
2 . (3.0 val. Considere a scessão n, de termos positivos, definida por, 1 = 1, n+1 = n + 1, n N. (i Mostre por indção matemática qe a scessão n é estritamente decrescente. Qeremos provar qe, para qalqer n N, n+1 < n, por indção matemática: n = 1: = = < 1 = 1. Hipótese de indção: n+1 < n, para dado n (fiado. A provar: nesse caso, também n+ < n+1. Mas n+ < n+1 n < n + 1 n < n + 1 n < n + 1 n+1 < n. é verda- Como, por hipótese, 0 < n+1 < n, tem-se qe n+1 < n deira, logo também n+ < n+1. (ii A scessão n é limitada? Jstifiqe. Sim, n é limitada: como é decrescente, n 1 = 1, para todo n N, e é assim majorada. Por otro lado n > 0 (é dado 1, logo é também minorada, tendo-se 0 < n 1, n N. (iii A scessão n é convergente? Jstifiqe. Determine o limite da scessão n, caso eista em R. Sim, n é convergente, ma vez qe é decrescente e minorada (por 0, logo é monótona e limitada. Para calclar L n, notamos qe é também 1 e claro, já qe n é dada por ma raiz para n > 1 e 1 > 0
3 L n+1, logo n+1 = n + 1 lim n+1 n + 1 L + 1 L = (L = L L = 1 L = ± 1. 3 Como n > 0, temos L = (4.0 val. Determine, se eistirem em R, os limites das scessões segintes: ( v n = ( 1 n. 4 n + n 4 (n n+1, e w n = (n! (n!, n N. ( Para v n = ( 1 n. 4 n + n 4 (n n+1 : temos primeiro lim 4 n + n 4 (n n4 4 n n+1 (n+1 4 n + n = = 1, 4 n ma vez qe n p << a n np a n 0, p > 0, a > 1 (e n = 4 n. (Eqivalentemente, temos 4 n + n 4 4 n e (n n+1 n+1, logo lim 4 n + n 4 4n (n n+1 n = 1. Concli-se qe v n 1 e v n 1 1. Logo, v n tem dois sblimites diferentes e não converge em R. Em geral, diz-se qe n y n se lim n n + v n v n. y n = 1. Se n, v n + então n << v n lim n v n = 0 3
4 Qanto a w n = (n! (n! : temos lim w n = 0, já qe 0 < w n = (n! n!(n n = e lim w n = 0 pelo limite de scessões enqadradas. (Alternativamente, lim w n+1 w n Logo, lim w n = 0. ((n + 1! (n +! (n! (n! 1... n (n + 1(n +... n < 1 n ((n + 1! ( n! (n! (n +! (n + 1 (n + 1(n + = 1 4 < 1. II (1.0 val 1. (3.0 val. Determine, se eistirem em R, os segintes limites: ( ( 1 1 (i lim sen arctg, (ii lim (1 + cos cos. ( 1 arctg = 0 já qe as fnções sen e arctg são limita- ( 1 (i lim sen 0 das e 0: Como lim 0 também 0. 1 sen 0 ( ( 1 1 arctg 1. = 0, por enqadramento, o limite dado é (Alternativamente, lim 0 arctg ( 1 = e o argmento acima para sen ( 1. Também se podia fazer a mdança de variável y = 1 +, se 0, ( 1 e lim sen 0 enqadramento. arctg ( 1 4 y + sen y arctg y y = 0, de novo por
5 (ii Como cos = 0, temos ma indeterminação 1. Escrevemos lim (1 + cos 4 1 cos ( e log (1+cos 4 1 cos e log(1+cos4 cos Fazendo y = cos (podíamos ter feito logo no inicio, temos y 0 + qando e lim log(1 + cos 4 cos y 0 + log(1 + y y y 0 + y log(1 + y y = 0 1 = 0. Logo, lim (1 + cos 4 1 cos = e 0 = 1.. (8.0 val. Seja f : R R, diferenciável em 0, dada por ( 3e, se 0 f( = a sen + b, se < 0, em qe a, b R. (i Determine a e b. Sendo f diferenciável em 0, será em particlar contína nesse ponto, o seja, f(0 = f(0 = f(0 +. Temos f(0 = 3 e f(0 a sen f( 0 0 = a b = b. sen + b a sen 0 + b Logo, b = 3. Para determinar a: dado qe f tem derivada em 0, sabemos qe f d (0 = f e(0 = f (0. Temos f e(0 0 f( f(0 0 0 a sen 5 0 a sen 0 a ( sen 3 ( 3 = a.
6 Logo, a =. f d(0 f( f(0 ( 3e ( e 3(e e 3 e 1 = =. (ii Defina a fnção derivada de f. Para > 0: f ( = Para < 0, ( sen f ( = ( ( 3e = ( 3 e + ( 3 (e = e + ( 3 e = e ( = ( sen sen = 4 sen cos sen. Como f (0 = (de (i, temos e (1 + 3, 0, f ( = 4 sen cos sen, < 0. (iii Estde f qanto à monotonia e etremos locais em [0, + [. Estdamos o sinal de f em [0, + [, onde f ( = e ( Temos e > 0 para qalqer R. Qanto à parábola 1 + 3, temos = 0 = 3 ± = 1 = 1.
7 e f f Ma. Min. Concli-se qe f é crescente em [0, 1 [ e em ]1, + [ e decrescente em ] 1, 1[. Tem m máimo local em 1, com f(1 = e 1 4, e m mínimo local em 1, com f(1 = e. (iv Indiqe, jstificando, f([0, + [. Temos lim + f( + ( 3e = (+ (+ = +. Por otro lado, f(0 = 3 < f(1 = e. Como f é contína em [0, + [, sege do Teo. Valor Intermédio e de (iii qe f([0, + [ = [ 3, + [. (v Determine a eqação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. A eqação da recta tangente ao gráfico em (, f( é y = f( + f ((. Como f( = (4 3e 4 = e 4 e f ( = e 4 ( = 6e 4, temos y = e 4 + 6e 4 ( = 11e 4 + 6e 4 (vi Sendo h : R R ma fnção diferenciável, tal qe h(e 4 =, verifiqe qe (f h (e 4 = (h f (. Da regra de derivação da fnção composta, (f h ( = (f(h( = f (h( h (. Temos (f h (e 4 = f (h(e 4 h (e 4 = f ( h (e 4, 7
8 já qe h(e 4 =. Por otro lado, da mesma forma Logo (f h (e 4 = (h f (. (h f ( = h (f( f ( = h (e 4 f (. 3. (1.0 val. Seja f : [0, [ R ma fnção contína, com f(0 = 3 e f(n = + 1 n n, para n N. Assma qe lim + f( = L R. (i Determine L. 3 Uma vez qe lim + f( eiste, temos lim f( = + lim f( = +, N lim + 1 n +,n N n =. n (ii Baseando-se na definição de limite, jstifiqe qe eiste R > 0 tal qe f( < L + 1, se > R. Jstifiqe qe f tem máimo absolto em [0, + [. Terá também necessariamente mínimo? Jstifiqe. Como lim + f( = L =, para qalqer ε > 0, eiste R > 0 tal qe, para > R, a distância de f( a L é menor do qe ε, L ε < f( < L + ε Tomando ε = 1, temos em particlar qe f( < L + 1 = 3 para > R. A fnção tem máimo absolto: sendo contína, tem necessariamente máimo M em [0, R] (Teo. Weierstrass. Como f(0 = 3, tem-se M 3, e como f( < 3 para > R, M é majorante de f também em ]R, [ e é assim máimo absolto de f. Não tem necessariamente mínimo, pode ser decrescente (e terá apenas inf f =. 3 NOTA: Não sege do ennciado qe f( = + 1 para qalqer > 0, apenas em N. 8
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