1. Nas funções abaixo pede-se: 2. Nas funções abaixo pede-se:

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1 UESB-Licenciatura em Física 5 0 Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I Variação de Funções 1. Nas funções abaixo pede-se: i) Verique se as condições do Teorema de Rolle são válidas. ii) Determine os valores x 0 correspondentes à conclusão do teorema. (a) f(x) = x 7x + 10 no intervalo [0, 7]. (b) f(x) = x 4x no intervalo [ 1, 5]. (c) f(x) = x 5x 17x + 1 no intervalo [, 7]. (d) f(x) = sin x + cos x no intervalor [ π 4, π 4 ].. Nas funções abaixo pede-se: i) Verique se as condições do Teorema do Valor Médio são válidas. ii) Determine os valores x 0 correspondentes à conclusão do teorema. (a) f(x) = x x no intervalo [1, ]. (b) f(x) = x 5x + 6 no intervalo [1, 6]. (c) f(x) = sin x no intervalo [0, π].. Calcule os pontos críticos, se existem, das seguintes funções: (a) f(x) = x + 4 (b) f(x) = x x + 4 (c) f(x) = + x x (d) f(x) = (x )(x + 4) (e) f(x) = x (f) f(x) = x + x + 5x + (g) f(x) = x 4 + 4x (h) f(x) = sin x (i) f(x) = sin x cos x (j) f(x) = e x x 1

2 (k) f(x) = (x 9) (l) f(x) = x x 4 4. Usando a primeira derivada, determine os intervalos de crescimento e/ou decrescimento das seguintes funções: (a) f(x) = 6x 4 0x 6x + 7x + 1 (b) (c) f(x) = 4x x f(x) = e x x (d) f(x) = ln (x + 1) (e) f(x) = x ln x (f) f(x) = x + 6x Calcule os pontos de máximo e de mínimo locais, se existem, das seguintes funções: (a) f(x) = 7x 6x + (b) f(x) = 4x x (c) (d) (e) f(x) = x + x 7x + 9 f(x) = x x + 4x f(x) = 6x x (f) f(x) = x + x 6. Calcule os pontos de inexão, se existem, e estude a concavidade das seguintes funções: (a) f(x) = x + 5x 6x (b) f(x) = x 4 10x 1x + 10x + 9 (c) f(x) = 1 x + 4 (d) f(x) = xe x (e) f(x) = x 1 x (f) f(x) = e x 7. Esboce o gráco das seguintes funções:

3 (a) f(x) = x 4 x x (b) f(x) = x x x + 1 (c) f(x) = x4 + 1 x (d) f(x) = x x + 1 Problemas de Otimização 1. Determine a área do retângulo máximo, com base no eixo x e vértices superiores sobre a parábila y = 1 x.. Uma reta passando por (1, ) corta o eixo dos x em A(a, 0) e o eixo dos y em B(0, b). Determine o triângulo AOB de área mínima para a e b positivos.. Durante várias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos carros que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre as 1 e 18 horas, a velocidade méida neste cruzamento é dada aproximandamente por v(t) = t 10, 5t + 0t + 10 (em km/h), onde t é o número de horas após o meio-dia. (a) Qual é o instante, entre 1 e 18 horas, em que o trânsito é mais rápido? (b) E qual é o instante em que ele é mais lento? 4. Quando uma pessoa tosse, o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Se r 0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio r da traquéia é dada por uma função da forma v(r) = ar (r 0 r), onde a é uma constante positiva. Determine o raio para o qual a velocidade do ar é máxima. 5. O peso especíco da água a uma temperatura de T o C é dada por P (T ) = 1 + at + bt + ct, 0 T 100, sendo a = 5, 10 5 ; b = 6, e c = 1, Qual é a temperatura na qual a água apresentará o maior peso especíco? 6. Qunado um resistor R ohms é ligado aos terminais de uma bateria com uma força eletromotriz de E volts e uma resistência interna de r ohms, uma corrente de I ampéres atravessa o circuito e dissipa uma potência de P watts, sendo:

4 I = E r + R e P = I R. Supondo que r seja constante, qual o valor de R para o qual a potência dissipada é máxima? 7. Uma craga elétrica, em Coulombs, transmitida através de um circuito varia de acordo com a função q(t) = 1t 48t. Determinar o tempo t quando a corrente i = q (t) atinge um valor mínimo. 8. Uma janela tem forma retangular com parte de cima formado por um semicírculo. Dentre as janelas de perímetro P qual deixa passar o maior quantidade de luz? 9. Um homem lança seu bote de um ponto A na margem de um rio que tem km de largura. Ele deseja chegar num ponto B localizado 8km rio abaixo o mais rápido possível. Ele pode remar seu barco diretamente através do rio para um ponto C na outra margem do rio e, em seguida, correr até o ponto B, ou ainda, remar diretamente para B, ou remar para algum ponto D entre C e B, e em seguida, correr para B. Se ele remar a 6km/h até D e correr a 8km/h até B, onde deveria parar para chegar o mais rápido possível? (Assume-se que a velocidade da água é insignicante em comparação com a velocidade em que o homem rema). 4

5 GABARITO-VARIAÇÃO DE FUNÇÕES 1) a) x 0 = 7 b) x 0 = c) x 0 = 5 ± 19 ) a) x 0 = ± 19 b) x 0 = 7 c) x 0 = π 4 d) x 0 = π 4 ) a) não existem pontos críticos b) x = c) x = 1 d) x = 1 e) x = 0 f) não existem pontos críticos g) x = 0, h) x = π + kπ i) x = π 4 4) + kπ j) x = 0 k) x = 0 l) não existem pontos críticos. Crescimento Decrescimento ( 1, ) (, + ) (, 1) (, ) (, 1) ( 1, + ) ( 1, 1) (0, + ) (, 0) (0, + ) (, 0) (e 1, + ) (0, e 1 ) ( 1, + ) (, 1) 5) Ponto de máximo Ponto de mínimo não tem x = 7 x = não tem x = 7 x = 1 não tem x = 0 x = não tem 9 x = ±1 não tem 6) Ponto de inexão Conc. para cima Conc. para baixo x = 5 ( 5, + ) (, 5) x = 1 e x = ( 1, ) (, ) (, + ) não tem (, 4) ( 4, + ) x = (, ) (, + ) x = ±1 ( 1, 1) (, 1) (1, + ) x = ± 1 ( 1 1, ) (, 1 ) ( 1, + ) 5

6 7) GABARITO-PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 1) u.a. ) 4 u.a. ) a) 14 horas b) 17 horas 4) r = r 0 P 6) r 7) t = s 8) 4 + π 9) 9 7 5) 4, 05 o C 6