LISTA DE EXERCÍCIOS. Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem.
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- Cacilda Vidal Ribeiro
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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Pré-Cálculo UFF GMA (*) 03 Funções reais (domínio, imagem e gráfico), modelagem. [01] Para cada uma das figuras abaixo, determine se a curva dada é o gráfico de uma função de x. Se for o caso, obtenha o domínio e a imagem da função. (a) (b) (c) (d) [02] Para cada uma das funções abaixo, calcule f(2 + h), f(x + h) e (a) f(x) = x x 2, (b) f(x) = x/(x + 1). [03] Seja f(x) = x 2. Determine f(a), f(f(a)) e f(f(f(a))). f(x + h) f(x). h [04] Sejam f(x) = 1/(x 2 + 1) e g(x) = 2 x + 3. Determine f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)) e g(f(a)). [05] Quando duas funções são iguais? [06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 3]. [07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1, 2] e imagem [ 2, 1] [3, 4]. [08] Considere a função f(x) = 1/x cujo domínio é o intervalo (1, 2). Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de f e as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f. [09] A função f : R R é definida por Esboce o gráfico de f. f(x) = { x, se x 0 x, se x < 0 [10] Considere a função dada por f(x) = x+1, definida em seu domínio natural (máximo). Determine o domínio natural (máximo) da função definida x 1 por g(x) = f(x) 2 1
2 [11] Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deverá armazenar 1000 cm 3 de óleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de produção do recipiente é medido pela área total do recipiente. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o custo de produção em termos do raio r da base circular do cilindro medida em cm. possível gerar um cilindro com custo igual a 500? (b) É possível gerar um cilindro com custo igual a 1000? De quantas maneiras diferentes? [12] Determine uma função (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume de um cone circular reto que pode ser inscrito em uma esfera de raio 3 m em termos da altura deste cone. possível gerar um cone com volume igual a 40 m 3? (b) É possível gerar um cone com volume igual a 20 m 3? De quantas maneiras diferentes? [13] Um retângulo encontra-se inscrito em um semicírculo de raio r = 1 m, como indica a figura a qseguir. Encontre as dimensões do retângulo de maior área. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse a área do retângulo em termos de x (metade da medida da base do retângulo). 2
3 possível gerar um retângulo com área igual a 1.5 m 2? (b) É possível gerar um retângulo com área igual a 0.5 m 2? De quantas maneiras diferentes? [14] Um fabricante quer construir caixas com tampa a partir de uma folha de papelão medindo 10 cm por 15 cm. Para construir a caixa, dois quadrados e dois retângulos são removidos dos cantos da folha de papelão, como indica a figura a seguir. Tampa Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume da caixa em termos da medida x indicada na figura. possível gerar uma caixa com volume igual a 80 cm 3? (b) É possível gerar uma caixa com volume igual a 50 cm 3? De quantas maneiras diferentes? [15] Um homem lança seu bote em um ponto A na margem de um rio reto, com uma largura de 3 km, e deseja atingir tão rápido quanto possível um ponto B na outra margem, 8 km abaixo, conforme ilustra a figura seguinte. Ele pode dirigir seu barco diretamente para o ponto C e então seguir andando para B, ou rumar diretamente para B, ou remar para algum ponto D entre C e B e então andar até B. Se ele pode remar a 6 km/h e andar a 8 km/h, onde ele deveria aportar para atingir B o mais rápido possível? Assuma que a velocidade da água é desprezível comparada com a 3
4 velocidade na qual o homem rema. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o tempo gasto para sair do ponto A e chegar no ponto B em termos do comprimento do percurso andado pela margem do rio. possível fazer o trajeto gastando 1.2 h? (b) É possível fazer o trajeto gastando 1.4 h? De quantas maneiras diferentes? [16] A gamela na figura abaixo dever se construídas com as dimensões indicadas (em decímetros), apenas o ângulo θ pode variar. Determine uma função real (sua lei de associação e o seu domínio) que expresse o volume da gamela em termos do ângulo θ indicado na figura. possível gerar uma gamela com volume igual a 30 dm 3? (b) É possível gerar uma gamela com volume igual a 10 dm 3? De quantas maneiras diferentes? (c) É possível gerar uma gamela com volume igual a 20 dm 3? De quantas maneiras diferentes? 4
5 Respostas dos Exercícios Atenção: as respostas apresentadas aqui não possuem justificativas. Você deve escrevê-las! [01] (a) Sim, a curva é gráfico de uma função que depende de x. O domínio da função é o conjunto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto [ 2, 2]. (b) Não, a curva não é gráfico de uma função que depende de x, pois a reta vertical x = 0 intercepta a curva em dois pontos. (c) Não, a curva não é gráfico de uma função que depende de x, pois a reta x = 1 intercepta a curva em mais de um ponto (na verdade, em infinitos pontos). O domínio da função é o con- (d) Sim, a curva é gráfico de uma função que depende de x. junto [ 3, 2 ] e sua imagem é o conjunto { 2} (0, 3]. [02] (a) Temos que f(2 + h) = (h h + 2), f(x + h) = x + h x 2 2 xh h 2 e f(x + h) f(x) h = 1 2 x h. (b) Temos que f(2 + h) = 2 + h x + h, f(x + h) = 3 + h x + h + 1 e f(x + h) f(x) h = 1 (x + h + 1) (x + 1). [03] f(a) = a 2, f(f(a)) = a 4 e f(f(f(a))) = a 8. [04] Temos que f(f(a)) = (a2 + 1) 2 a a 2 + 2, g(g(a)) = 4 a + 9, f(g(a)) = 1 (2 a + 3) e g(f(a)) = 3 a2 + 5 a [05] Duas funções f e g são iguais quando possuem mesmos domínio e contradomínio e, para todo x no domínio, f(x) = g(x). [06] Um exemplo: 5
6 [07] Um exemplo: [08] Exemplos de pontos que pertencem ao gráfico: ( , , , , 15, ). Exemplos de pontos que não pertencem ao gráfico: ( 11 10, 1), ( 12 10, 1), ( 13 10, 1), ( 14 10, 1), ( 15 10, 1). [09] Um exemplo: [10] (1, 3]. * Questões 1 a 8 e 11 a 16 propostas pelo professor Humberto Bortolossi. Texto composto em L A TEX2e, 28/03/
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