ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II TPC nº ª Parte Nesta ª parte assinale a resposta certa e justifique. Na figura estão representadas partes dos gráficos de duas funções polinomiais, g e h ambas de domínio IR. Qual das epressões seguintes pode definir uma função f de domínio IR, tal que f g h? (A) (B) + (C) + (D). Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, contínua em IR. A função f tem apenas dois zeros 3 e. Seja g a função definida por g( ) f( ) Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domínio da função g? (A) ],] (B) IR \ { 3,} (C) ], 3[ (D) [ 3, + [ 3. Na figura junta está representada em referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, definida em ], + [ por f( ) log ( + ) Na mesma figura, está também representado um triângulo rectângulo [ ABO ]. O ponto A tem abcissa 3 e pertence ao gráfico de f. O ponto B pertence a Oy. Qual é a área do triângulo [ ABO ]? (A) (B) (C) 3 (D) 4 Professora: Rosa Canelas

2 4. A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela: 0 4 i P( X i ) a b b A média da variável aleatória X é igual a. Qual é o valor de a e qual é o valor de b? (a e b designam números reais) (A) a e b (B) 4 3 a e b 5 5 (C) a e b (D) a e b ª Parte. Num saco estão três bolas pretas e nove brancas, indistinguíveis ao tacto. Etraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição as doze bolas do saco. Determine:.. A probabilidade de as duas primeiras bolas etraídas não serem da mesma cor. Apresente o resultado na forma de fracção irredutível... A probabilidade de as três bolas pretas serem etraídas consecutivamente (umas a seguir às outras). Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.. Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 90, é dado aproimadamente por: P t 5, 0 e,t 0, em que N e M são duas constantes, denominadas, respectivamente, taa de natalidade e taa de mortalidade da população... Sabendo que N M <, calcule lim P( t) e interprete o resultado obtido, no conteto do problema... No início de 000, a população era metade da que eistia no início de 90. Sabendo que a taa de natalidade é,56, determine a taa de mortalidade. Apresente o resultado arredondado às centésimas. 3. Na figura está parte do gráfico de uma função de domínio ] 3, + [ A recta r, que intersecta os eios coordenados nos pontos (,0) e ( 0, ), é assímptota do gráfico de f. Seja g a função de domínio IR +, definida por g 3 + f + ln Prove que a recta de equação y é assímptota do gráfico de g. Professora: Rosa Canelas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II TPC nº Proposta de resolução ª Parte. (C) Na figura estão representadas partes dos gráficos de duas funções polinomiais, g e h ambas de domínio IR. A função f que multiplicada por g dá h terá de ter um zero em e tem de ser negativa antes de - e positiva depois, porque h tem sinal diferente de g antes de - e igual ao de g depois de -. Significa isto que a epressão que define f só pode ser +.. (D) Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, contínua em IR. A função f tem apenas dois zeros 3 e. Seja g a função definida por g( ) f( ) O conjunto que pode ser o domínio da função g é [ 3, + [ por nele f( ) 0 3. (C) Na figura junta está representada em referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, definida em ], + [ por f( ) log ( + ) Na mesma figura, está também representado um triângulo rectângulo [ ABO ]. O ponto A tem abcissa 3 e pertence ao gráfico de f, pelo que tem coordenadas ( 3,log 4) ( 3,) O ponto B pertence a Oy. E tem coordenadas ( 0,log 4) ( 0,) A área do triângulo [ ABO ] é dada por 3 A 3 4. (C) A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é dada pela tabela: Professora: Rosa Canelas

4 0 4 i P( X i ) a b b A média da variável aleatória X é igual a. Sabemos então que: a a a+ b a+ b a+ b+ 4b 6b b b 6 6 o valor de a e qual é o valor de b são respectivamente ª Parte (a e b designam números reais) a e b 3 6. Num saco estão três bolas pretas e nove brancas, indistinguíveis ao tacto. Etraem-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição as doze bolas do saco. Determine:.. A probabilidade de as duas primeiras bolas etraídas não serem da mesma cor é dada por P pois o número de casos possíveis é 3 e o número de casos favoráveis é que resulta de podermos tirar uma bola preta seguida de uma branca ou uma branca seguida de uma preta... A probabilidade de as três bolas pretas serem etraídas consecutivamente (umas a seguir 0 3! 9! às outras) é dado por P! Admita que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 90, é dado aproimadamente por: P t 5, 0 e,t 0, em que N e M são duas Professora: Rosa Canelas

5 constantes, denominadas, respectivamente, taa de natalidade e taa de mortalidade da população... Sabendo que N < M, o lim P() t lim 5, 0 e 5, 0 e 0. Se a taa de natalidade é inferior à de mortalidade com o decorrer do tempo a população etinguese, daí o limite ser zero... No início de 000, a população era metade da que eistia no início de 90. Sabendo que a taa de natalidade é,56, determinemos a taa de mortalidade. Apresentando o resultado arredondado às centésimas. (,56 M ).t Sendo a taa de natalidade,56, P( t) 5, 0 e,t 0 e P( 30) determinar a taa de mortalidade resolvendo a equação: P0, vamos (,56 M ).30 5, 0 (,56 M ).30 ln 0,5 5, 0 e e (,56 M ).30 ln,56 M 30 ln0,5 M,56 M, Na figura está parte do gráfico de uma função de domínio ] 3, + [ A recta r, que intersecta os eios coordenados nos pontos (,0) e ( 0, ), é assímptota do gráfico de f. Seja g a função de domínio IR +, definida por g 3 + f + ln Para provar que a recta de equação y é assímptota do gráfico de g temos de calcular o lim g ( ) + e concluir que ele é igual a. Calculemos então: ln 3 + f + ln f f ln lim g( ) lim lim 3 lim 3 lim lim porque: f lim + (,0) e ( 0, ). ao declive da assímptota oblíqua que podemos calcular usando os pontos 0 m 0 ln lim 0 porque a função logarítmica cresce mais devagar que qualquer potência do + seu argumento (limite notável). Professora: Rosa Canelas

6 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II Critérios de Correcção do TPC nº ª parte 40. (C) A função f que multiplicada por g dá h terá de ter um zero em e tem de ser negativa antes de - e positiva depois, porque h tem sinal diferente de g antes de - e igual ao de g depois de -. ou quadro. (D) O conjunto que pode ser o domínio da função g é [ 3, + [ por nele f( ) 0 3. (C) O ponto A tem coordenadas ( 3, ). O ponto B tem coordenadas ( 0, ) 3 A área do triângulo [ ABO ] é dada por A 3 a a a+ b a+ b (C) 0 0 a+ b+ 4b 6b (+8) b b 6 6 ª parte 60.. A probabilidade de as duas primeiras bolas etraídas não serem da mesma cor é dada por P.. A probabilidade de as três bolas pretas serem etraídas consecutivamente (umas a seguir às outras) é dado por 0 0 3! 9! P! Sabendo que N < M, o lim ( 5, 0 e ) 5, 0 e 0. 5 Se a taa de natalidade é inferior à de mortalidade com o decorrer do tempo a população etingue-se, daí o limite ser zero.. 5 (,56 M ).t P t 5, 0 e,t 0 P( 30) P0 3 (,56 M ).30 5, 0 (,56 M ).30 5, 0 e e ln0,5 M,56 M, Professora: Rosa Canelas (+8) 0 (+8) 0 (+8) 0

7 Para provar que a recta de equação y é assímptota do gráfico de g temos de e concluir que ele é igual a 5. calcular o lim g ( ) + f lim + (,0) e ( 0, ). ao declive da assímptota oblíqua que podemos calcular usando os pontos 0 m 0 ln lim 0 porque a função logarítmica cresce mais devagar que qualquer potência + do seu argumento (limite notável). 3 + f + ln f ln lim g lim lim f ln lim 3 + lim + lim Total Professora: Rosa Canelas