Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. 3º Teste de avaliação versão B.

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II º Teste de avaliação versão B Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. De um número real sabe-se que log5 ( ) = π 1. Indique o valor de 5. (A) 1 5 π (B) 5 π π (C) 5 π (D) ( ) 5. Sejam f e g duas funções, reais de variável real, sendo ( ) ( ( ) ) domínio da função f é IR. Qual das seguintes representações gráficas pode corresponder à função g? (A) (B) f = ln g. Sabe-se que o O 1 O 1 (C) (D) O - O Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 011/01

2 . Lança-se quinze vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Indique qual dos acontecimentos seguintes tem probabilidade igual a: 1 C (A) A face sai pelo menos uma vez (B) A face sai pelo menos duas vezes (C) A face sai no máimo uma vez (D) A face sai no máimo duas vezes 4. A curva de Gauss representada na figura está associada a uma variável aleatória X com distribuição normal. Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à reta de equação =. Para um certo valor de a tem-se que P( X < a) = 15%. Qual dos seguintes pode ser o valor de a? (A) 1,5 (B) (C),5 (D) 5. Numa certa linha do Triângulo de Pascal, o segundo termo é 01. Quantos elementos dessa linha são maiores que 1 milhão (A) 008 (B) 009 (C) 010 (D) 011 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eato. 1. Numa certa região, uma doença está a afetar gravemente os coelhos que lá vivem. Em consequência dessa doença, o número de coelhos eistentes nessa região está a diminuir. Admita que o número, em milhares, de coelhos que eistem nessa região, t semanas após a doença ter sido detetada, é dado aproimadamente por: ( ) 0,1t número real positivo. k =, onde k designa um e Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, responda às seguintes questões: Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01 f t

3 Nota: Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, quatro casas decimais Determine o valor de k, arredondado às décimas, sabendo que, durante a primeira semana após a deteção da doença, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum. 1.. Admita agora que k = Ao fim de quantos dias, após a doença ter sido detetada, é que o número de coelhos eistentes na referida região é igual a 9000? 1... Com o decorrer do tempo, mantendo-se o modelo matemático, será possível termos menos de 000 coelhos na região? Justifique.. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e f -1, função inversa de f, sendo a função f definida por: ( ) ( ) f = + log Indique uma equação da assímptota do gráfico da função f. f A f -1.. Por processos eclusivamente analíticos determine, na forma de intervalo, o conjunto solução da condição f ( ) log ( + ).. Sem utilizar a função f -1, determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f -1 com os eios coordenados. B.4. Os pontos A e B pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares. Justifique..5. Mostre que ( ) 1 f = 1+, onde f -1 é a função inversa de f..6. Determine, com aproimação às centésimas, recorrendo à calculadora gráfica, as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e f -1.. Num saco encontram-se seis fichas com o formato dos seis polígonos representados na figura, quatro brancos e dois cinzentos. São escolhidas, ao acaso, duas fichas, uma seguida da outra e sem reposição..1. É mais provável que estas sejam da mesma cor ou de cor diferentes? Justifique a sua resposta. Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

4 .. Na mesma eperiência aleatória, considere os acontecimentos: A: O º polígono escolhido é cinzento. B: O 1º polígono escolhido é um quadrilátero. C: O º polígono escolhido é um triângulo. Sabe-se que ( ( )) P A B C 0. Sem utilizar a fórmula de probabilidade condicionada, indique a cor do primeiro polígono. Numa pequena composição eplique o seu raciocínio começando por interpretar o significado de P( A ( B C) ). Questão Cotação (grupo II) Formulário Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 011/01

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II º Teste de avaliação versão B proposta de resolução Grupo I 1. (C) De um número real sabe-se que log5 ( ) = π 1. Indiquemos o valor de 5 : 5 ( ) 1 1 log = π 1 = 5 5 = = 5 π π π. (D) Sejam f e g duas funções, reais de variável real, sendo ( ) ( ( ) ) f = ln g. Sabe-se que o domínio da função f é IR,ou seja IR = { IR : g( ) > 0} o que significa que ( ) g >, IR Das representações gráficas dadas só a que se apresenta verifica a condição g( ) >, IR e pode corresponder à função g. O. (B)Lança-se quinze vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade C traduz a negação de não sair a face nem sair apenas uma vez a face isto é traduz A face sai pelo menos duas vezes 4. (A) A curva de Gauss representada na figura está associada a uma variável aleatória X com distribuição normal. Tal como a figura sugere, a curva é simétrica relativamente à reta de equação =. Para um certo valor de a tem-se que P( X < a) = 15%. Só 1,5 ser o valor de a pois para os restantes a probabilidade é maior ou igual a 50%. 5. (B) Numa certa linha do Triângulo de Pascal, o segundo termo é 01. Os elementos dessa linha que são maiores que 1 milhão são todos menos o 1º, o, o último e o penúltimo. Assim como a linha tem 01 elementos serão 01 4 = 009 os elementos da linha que tem Grupo II Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 011/01

6 1. Numa certa região, uma doença está a afetar gravemente os coelhos que lá vivem. Em consequência dessa doença, o número de coelhos eistentes nessa região está a diminuir. Admita que o número, em milhares, de coelhos que eistem nessa região, t semanas após a doença ter sido detetada, é dado aproimadamente por: f ( t) 0,1t k =, onde k designa um e número real positivo Determine o valor de k, arredondado às décimas, sabendo que, durante a primeira semana após a deteção da doença, morreram dois mil coelhos e não nasceu nenhum. k 0,1 f ( 0) = f ( 1) k = 0,1 1 ( e )( k ) = k e 6 4e + = = = e 0,1 0,1 0,1 0,1 k 6 e k 4e k k e k 6 4e k 0,1 0,1 pelo que k 10, 1.. Admita agora que k = e =. A função será f ( t) 0,1t Ao fim de quantos dias, após a doença ter sido detetada, é que o número de coelhos eistentes na referida região é igual a 9000? e e e e ,1t 0,1t 0,1t = = = = 0,1t 17 ln ,1t = ln t = 18 0,1 Como 0, é ao fim de dias que há 9000 coelhos 1... Com o decorrer do tempo, mantendo-se o modelo matemático, será possível termos menos de 000 coelhos na região? Justifiquemos lim f t = lim = = =, t + 0,1t e 0 t + ( ) ( ) Sendo a função decrescente e tendo o gráfico uma assíntota de equação podemos dizer que não haverá menos de 000 coelhos. 10 = 10 1t 1t 1t 1 Doutra maneira podemos: < 10 < 9 6e 6e < 1 e < 0,1t e 6 inequação impossível porque a eponencial é positiva para todos os valores de t.. No referencial da figura estão partes das representações gráficas das funções f e f -1, função inversa de f, sendo a função f definida por: f ( ) log ( 1) = + +. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 011/01

7 .1. Indique uma equação da assímptota do gráfico da função f. Porque f { } ] [ D = IR : + 1> 0 = 1, +, uma equação da assímptota do gráfico da função f é = 1.. Por processos eclusivamente analíticos determine, na forma de intervalo, o conjunto solução da condição f ( ) log ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) + log + 1 log + log + log + 1 log + ( ) ( ) log log > > 1 > 1, + B f A f -1.. Sem utilizar a função f -1, determine as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico de f -1 com os eios coordenados. f ( 0) = + log1= ( ) ( ) ( ) f = 0 + log + 1 = 0 log + 1 = + 1= > 1 1 = 1+ > 1 = 4 4 O gráfico de f -1 interseta O em (,0 ) e o eio O em simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares. 0, 4 porque os gráficos são.4. Os pontos A e B pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares porque a curva que representa a função inversa de f é simétrica em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares da curva que representa o gráfico de f. Os pontos de intersecção das duas curvas são simétricos deles mesmos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares, logo pertencem-lhe..5. Calculemos f -1 (). ( ) ( ) = + log + 1 log + 1 = + 1= = 1+ ( ) f = Determine, com aproimação às centésimas, recorrendo à calculadora gráfica, as coordenadas dos pontos de interseção dos gráficos de f e f -1. Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 011/01

8 Os pontos de interseção têm coordenadas ( ) 1 c = d 4, 44 I a,b com a = b 0,86 e I ( ) c,d com. Num saco encontram-se seis fichas com o formato dos seis polígonos representados na figura, quatro brancos e dois cinzentos. São escolhidas, ao acaso, duas fichas, uma seguida da outra e sem reposição..1. É mais provável que estas sejam da mesma cor ou de cor diferentes? Justifique a sua resposta. QB QC TB TC PAR TRAP QB = = = QC = TB = = = TC = PAR = = = TRAP = = = QB QUADRADO BRANCO QC QUADRADO CINZENTO TB TRIÂNGULO BRANCO TC TRIÂNGULO CINZENTO PAR PARALELOGRAMO TRAP TRAPÉZIO Há 14 pares de figuras com cor igual e 16 com cor diferente pelo é mais provável serem de cor diferente... Na mesma eperiência aleatória, considere os acontecimentos: A: O º polígono escolhido é cinzento. B: O 1º polígono escolhido é um quadrilátero. C: O º polígono escolhido é um triângulo. Sabe-se que ( ( )) P A B C 0. Sem utilizar a fórmula de probabilidade condicionada, indique a cor do primeiro polígono. Numa pequena composição eplique o seu raciocínio começando por interpretar o significado de P( A ( B C) ). Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 011/01

9 B C significa não ser o 1º polígono um quadrilátero e o º polígono ser triângulo pelo que as duas figuras escolhidas são triângulos e se ( ( )) polígono é o triângulo cinzento e assim o 1º será o triângulo branco. P A B C 0 é porque o º Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 011/01

10 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II º Teste de avaliação versão B Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos C D B A B Grupo II (150 pontos) Escrever a condição f ( 0) = f ( 1) 5 Resolver a condição 8 Dar a resposta na forma pedida Escrever a condição f ( t) = 9 Resolver a condição 8 Calcular o número de dias Calcular f ( t ) lim t + 5 Interpretar o resultado Calcular o domínio 5 Indicar a equação da assímptota Escrever log ( 1) log ( ) Eplicitar o domínio da condição 5 Resolver a inequação 5 Apresentar o resultado na forma pedida.. 10 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 011/01

11 Calcular f ( 0) = Calcular : f ( ) = 0 4 Indicar as coordenadas dos pontos pedidos Escrever f ( ) = Resolver a equação em ordem a 8 Dar a resposta Apresentar os gráficos 10 Dar a resposta na forma pedida Fazer a tabela 10 Concluir Dar o significado deb C 5 Concluir que se escolhem triângulos 5 Concluir a cor do 1º polígono 5 Total 00 Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 011/01