Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo 2 - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1

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1 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Exercícios - Franco Brunetti Capítulo I. A viscosidade cinemática de um óleo é de 0.08 m /s e o seu peso específico relativo é de Encontrar a viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e SI (g=0 m/s ).. A viscosidade dinâmica de um óleo é de kgf.s/m e seu peso específico relativo é 0.8. Encontre a viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS (g=0m/s e γ a = 000kgf/m. cilindro é 0 cm e do pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com ν = 0-4 m /s e γ = 8000 N/m. Com que velocidade deve subir o cilindro para qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e g = 0 m/s ). L = 5 cm D fluido. O peso de dm de certa substância é.5 N. A viscosidade cinemática é 0-5 m /s. Se g = 0 m/s, qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI? 4. São dadas duas placas planas paralelas à distância de mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (ν = 0. St; ρ = 80 kg/m ), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? mm Resposta: τ = 6,6 N/m. v = 4m/s 5. Uma placa quadrada de.0 m de lado e 0 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 0, sobre uma película de óleo. A velocidade da placa é de m/s constante. Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película é de mm? mm D Resposta: v =, m/s 7. Num tear, o fio é esticado passando por uma fieira e é enrolado num tambor com velocidade constante. Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por uma substância. A máxima força que pode ser aplicada no fio é N, pois, ultrapassando-a, ela se rompe. Sendo o diâmetro do fio 0,5mm e o diâmetro da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do tambor 0 rpm, qual é a máxima viscosidade do lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do tambor? R.: M = 0,N.m ; η = 0, N.s/m Resposta: M=0, N.m; η = 0, N.s/m. 8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do tambor. Este enrola a corda, que levanta um peso de 0N com uma velocidade constante de 0,5 m/s. O fluido existente entre o eixo e o tambor tem η = 0, N.s/m e apresenta um diagrama linear de velocidades. Pede-se: (a) a rotação do eixo; (b) o momento provocado pelo fluido contra a rotação do eixo. Dados: R = 0 cm; R = 0, cm; R = 0 cm. 0,6mm 0,5mm lubrificante fieira fio n = cte m/s 0 N 0 Tambor D=0.m L = 0cm Resposta: η = 0 - N.s/m. 6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com velocidade constante. O diâmetro do N.m. Peso Resposta: (a) n=5 rpm; (b) M eixo =,47

2 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9. O turbocompressor de um motor de combustão interna tem uma rotação de 0000rpm. Os mancais do eixo são flutuantes e giram com uma certa rotação. São dados: η = N.s/m ; D =mm, D =.05mm; L=0mm. Nas condições de equilíbrio dinâmico da rotação dada, pede-se: (a) a rotação do mancal flutuante. (b) o momento resistente à rotação que age no eixo do turbocompressor relativo aos mancais. CP CP: Compressor TB: Turbina mancal flutuante eixo Mancais flutuantes A A L TB óleo ε D ω ω εm t Resposta: ω ω = π 4 D η. A placa da figura tem 4 m de área e espessura desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, formando um diagrama de velocidades dado por: η ( ) v= 0yv 5y max A viscosidade dinâmica do fluido é 0 - N.s/m e a velocidade máxima do escoamento é 4m/s. Pede-se: (a) o gradiente de velocidades junto ao solo. (b) a força necessária para manter a placa em equilíbrio. Resposta: (a) -80 m/s; (b), N ε η Placa F D D 0 cm v max D D 4 Solo Corte A-A sem escala Resposta: (a) 40,5 rpm; (b) 0,4 N.m 0. Dois discos são dispostos coaxialmente face a face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura ε pequena. Aplicando um momento no disco (), ele inicia um movimento em torno de seu eixo, através de um fluido viscoso, estabelece-se o regime, de tal forma que as velocidades angulares ω e ω ficam constantes. Admitindo o regime estabelecido, determinar em função a ω e ω.

3 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Sears Zemansky Young VII a pequena variação de pressão sobre a superfície da janela.) SEÇÃO 4. DENSIDADE 4. Fazendo um biscate, você foi solicitado a transportar uma barra de ferro de 85.8 cm de comprimento e,85 cm de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o peso da barra.) 4. A Lua possui massa de 7,5. 0 kg e raio igual a 740 km. Qual é sua densidade média? 4. Você compra uma peça retangular de metal com massa de 0,058 kg e com dimensões 5,0 x 5,0 x 0.0 mm. O vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar se é verdade você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor obtido? Você foi enganado? 4.4 Um seqüestrador exige como resgate um cubo de platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta? 4.8 Qual deve ser a pressão manométrica desenvolvida por uma bomba para bombear água do fundo do Grand Canyon (a uma altura de 70 m) até o Indian Gardens (a 70 m)? Expresse a resposta em pascais e em atmosferas. 4.9 O líquido no manômetro de tubo aberto indicado na Figura é o mercúrio, y =,00 cm e y = 7,00 cm. A pressão atmosférica é igual a 980 milibares. (a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo em forma de U? (b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície livre? (c) Qual é a pressão absoluta do gás no tanque? (d) Qual é a pressão manométrica do gás em pascais? SEÇÁO 4. PRESSÃD EM UM FLUIDO 4.5 Um barril contém uma camada de óleo de 0.0 m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,50 m. A densidade do óleo é igual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão manométrica na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a pressão manométrica no fundo do barril? 4.6 Um veículo esportivo vazio pesa 6.5 kn. Cada pneu possui uma pressão manométrica igual a 05 kpa. (a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam flexíveis de modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o pavimento seja igual à pressão do existente no interior do pneu.) (b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão manométrica do pneu, quando o peso total dos passageiros e da carga for igual a 9, kn? 4.0 Existe uma profundidade máxima na qual uma mergulhadora (Figura 4.) pode respirar através de um tubo snorkel (respirador), porque à medida que a profundidade aumenta, a diferença de pressão também aumenta, tendendo n produzir um colapso dos pulmões da mergulhadora. 4.7 Você está projetando um sino de mergulho para agüentar a pressão da água do mar até uma profundidade de 50 m. (a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade? (Despreze as variações de densidade da água com a profundidade.) (b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão dentro do sino é igual à pressão fora do sino, qual é a força resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 0,0 cm? (Despreze

4 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4 Como o snorkel liga o ar dos pulmões com SEÇÃO 4.4 EMPUXO a atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a diferença de pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da mergulhadora a uma profundidade igual 4.5 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma mulher de 45,0 kg possa ficar em a 6. m? Suponha que a mergulhadora esteja pé sobre o bloco sem que ela molhe seus pés? mergulhada em água doce. (Um mergulhador usando uma snorkel (tanque com ar comprimido) respirando o ar comprimido deste dispositivo pode 4.6 Uma amostra de minério pesa 7,50 N no ar. Quando a amostra é suspensa por uma corda atingir profundidades muito maiores do que um leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda é mergulhador usando o snorkel. uma vez que a igual a,0 N. Calcule o volume total e a densidade pressão do ar comprimido no interior da snorkel da amostra. compensa o aumento da pressão da água no exterior dos pulmões.) 4.7 Um objeto com densidade média ρ 4 4. Um curto-circuito elétrico impede o fornecimento da potência necessária para um submarino que está a uma profundidade de 0 m abaixo da superfície do oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com área de 0.75 m e peso igual a 00 N para poder escapar do fundo do submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm, qual é a força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha? 4. Você foi convidado a projetar um tanque de água cilíndrico pressurizado para uma futura colônia em Marte, onde a aceleração da gravidade é igual a,7 m/s. A pressão na superfície da água deve ser igual a 0 kpa e a profundidade deve ser igual a 4, m. A pressão do ar no edifício fora do tanque deve ser igual a 9 kpa. Calcule a força resultante para baixo sobre a base do tanque de área igual a,00 m exercida pelo ar e pela água no interior do tanque e pelo ar no exterior do tanque. 4. Em um foguete um tanque com tampa pressurizada contém 0,50 m de querosene de massa igual a 05 kg. A pressão na superfície superior do querosene é igual a,0.0 5 Pa. O querosene exerce uma força igual a 6,4 kn sobre o fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m. Calcule a profundidade do querosene. 4.4 O pistão de um elevador hidráulico de carros possui diâmetro igual a 0,0 m. Qual é a pressão manométrica em pascais, necessária para elevar um carro com massa igual a 00 kg? Expresse esta pressão também em atmosferas. flutua na superfície livre de um fluido com densidade ρ fluido. (a) Qual é a relação entre estas duas densidades? (b) Levando em conta a resposta do item (a), como um navio de aço flutua na água? (c) Em termos de ρ e de ρ fluido qual é a fração do objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que fica acima da superfície do fluido? Verifique se suas respostas fornecem os limites correios quando ρ ρ fluido e ρ 0. (d) Quando você está a bordo do seu iate, seu primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular (dimensões de 5,0 x 4,0 x,0 cm) e a joga no mar. A peça possui massa igual a 4 g. Quando ela flutua no oceano, que fração fica acima da superfície? 4.8 Uma esfera de plástico oca é mantida submersa em um lago de água doce amarrada em uma corda presa no fundo do lago. O volume da esfera é igual a 0,650 m e a tensão na corda é igual a 900 N. (a) Calcule a força de empuxo exercida pela água sobre a esfera, (b) Qual é a massa da esfera? (c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume da esfera que fica submersa? 4.9 Um bloco de madeira cúbico com aresta de 0,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50 cm abaixo da superfície livre do óleo (Figura 4.4). A densidade do óleo é igual a 790 kg/m. (a) Qual é a pressão manométrica na face superior do bloco? (b) Qual é a,pressão manométrica na face inferior do bloco? (c) Qual é a massa e a densidade do bloco?

5 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 superficial da seiva igual à da água a 0 C. Esta situação é diferente daquela indicada na Figura 4.5: neste caso é o arque desloca a seiva nos interstícios.) 4.5 Uma película de água de sabão possui cm de largura e está a 0 0 C. O fio que desliza possui massa igual a 0,700g. Qual é o módulo necessário T da força que puxa para baixo para manter o fio em equilíbrio? SEÇÃO 4.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO 4.0 Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N no ar. (a) Qual é g o seu volume? (b) O lingote é suspenso por uma corda leve e totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda (o peso aparente do lingote na água)? SEÇÃO 4.5 TENSÃO SUPERFICIAL 4. Ache a pressão manométrica em pascais em uma bolha de s sabão com diâmetro igual a,00 cm. A tensão superficial é igual a 5,0.0 - N/m. 4. Calcule o excesso de pressão a 0 C (a) no interior de uma gota de chuva grande com raio igual a l,00 mm; (b) no interior de uma gota de água com raio igual a 0,000 mm (típica de uma gotícula no nevoeiro). 4.6 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. No ponto a seção reta possui área igual a 0,07m e o módulo da velocidade do fluido é igual a,50 m/s. (a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos para os quais a seção reta possui área igual a (i) 0,05m? (ii) 0,047m? (b) Calcule o volume de água descarregada pela extremidade aberta do tubo em hora. 4.7 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável e em todos os pontos a água enche completamente o tubo. (a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual a 0,50m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a,0 m /s? (b) Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto? 4.8 Deduza a equação da continuidade. Quando a densidade cresce.50% de um ponto até um ponto, o que ocorre com a vazão volumétrica? 5 4. Como ficar em pé sobre a água. Estime a força da tensão superficial para cima que deveria ser exercida sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água. (Você precisa j medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o peso máximo de um corpo que poderia ser sustentado pela água desta maneira? 4.4 Por que as árvores não fazem sucção do ar? Verificou-se que as pressões negativas que ocorrem nos tubos que transportam a seiva de uma árvore alta podem atingir cerca de - 0 atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em contato com o ar e a água pode evaporar das folhas. Porém se as pressões são negativas, por que o ar não é sugado para as folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das paredes das células no interior das folhas (diâmetros da ordem de 0~ 8 m) e explique por que o ar exterior não pode penetrar nas folhas. (Considere a tensão J SEÇÃO 4.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI 4.9 Um tanque selado que contém água do mar até uma altura igual a,0m também contém ar acima da água a uma pressão manométrica igual a,00 atm. A água flui para fora através de um pequeno orifício na base do tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água. 4.0 Um pequeno orifício circular com diâmetro igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um grande tanque de água, a profundidade de 4m abaixo da superfície livre da água. O topo do tanque está aberto para a atmosfera. Ache: (a) a velocidade de efluxo; (b) o volume de água descarregada por unidade de tempo. 4. Qual é a pressão manométrica necessária no tubo principal da rua para que uma mangueira de apagar incêndio ligada a ele seja capaz

6 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 de lançar água até uma altura de 5m? (Suponha que o diâmetro do tubo principal seja muito maior do que o diâmetro da mangueira de apagar incêndio. 4. Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é,00 /s e a pressão manométrica é igual a 5, Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento,,0m abaixo do primeiro, sabendo o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro. 4. Sustentação sobre um avião. As linhas de corrente horizontais em torno das pequenas asas de um avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície inferior é igual a 60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 40 kg e a área da asa é igual a 6 m, qual é a força resultante vertical (incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A densidade do até.0 kg/m. 4.4 Uma bebida leve (essencialmente água) flui em um tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão volumétrica tal que deva encher 0 latas de 0.55L por minuto. Em um ponto do tubo, situado a.5m acima do ponto, a área da seção reta é igual a.00 cm. Obtenha: (a) a vazão mássica; (b) a vazão volumétrica; (c) as velocidades do escoamento nos pontos e ; (d) a pressão manométrica no ponto. 4.5 A água é descarregada de um tubo cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm /s. Em um ponto do tubo onde o raio é.05 cm a 5 pressão absoluta é igual a Pa. Qual é o raio do tubo em uma constrição onde a pressão se reduz 5 para.0 0 Pa? 4.6 Em dado ponto de um escoamento cilíndrico horizontal a velocidade da água é igual a.50 m/s e a pressão manométrica é igual a Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro. SEÇÃO 4.9 VISCOSIDADE *4.7 Água a 0 C se escoa em tubo de raio igual a 0,0 cm. A viscosidade da água a 0 C é igual a l,005 centipoise. (Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a,50 m/s, qual é a velocidade da água (a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na metade do caminho entre o centro e a parede)? (b) sobre as paredes do tubo? * 4.8 Água a 0 C se escoa em tubo de raio igual a 8.50 mm. A viscosidade da água a 0 C é igual a l,005 centipoise. Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a 0,00 m/s e o escoamento é laminar, calcule a queda de pressão devida à viscosidade ao longo de,00 m de comprimento do tubo. * 4.9 Água a 0 C se escoa em tubo horizontal com 5,0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma pressão manométrica igual a 00 Pa em um tanque grande conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 0 0 C é igual a l,005 centipoise. (a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a vazão volumétrica? (b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com diâmetro igual a,00 cm? (c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão volumétrica quando a água está a uma temperatura de 60 0 C? (A viscosidade da água a 60 0 C é igual a 0,469 centipoise.) * 4.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul suga o sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante a uma agulha hipodérmica muito fina (que permite sugar o sangue de sua vítima sem causar dor, portanto, sem que seja notado). A parte mais estreita da "agulha" possui diâmetro igual a 0 /um e comprimento igual a 0,0 mm. a) Qual deve ser a pressão manométrica na cavidade da boca do inseto se ele sugar 0,5 cm de sangue em 5 minutos? Expresse sua resposta em Pa e em atm. (A viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0 centipoise. Para obter uma resposta aproximada aplique a equação de Poiseuille ao sangue, embora ele seja um fluido não-newtoniano.) b) Por que não é uma boa aproximação desprezar as dimensões das outras partes do ferrão do inseto? * 4.4 Qual deve ser a velocidade de uma esfera de alumínio com raio igual a,00 mm se deslocando em óleo de rícino a 0 C para que a força de arraste devido à viscosidade seja igual a um quarto do peso da esfera? (A viscosidade do óleo de rícino para esta temperatura é igual a 9,86 poise.) * 4.4 Medida da viscosidade. Uma esfera de latão com massa igual a 0,5 g cai com velocidade terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido desconhecido. Sabendo que a densidade do líquido é igual a 900 kg/m\ qual é a sua viscosidade? 6

7 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 *4.4 Mantendo todas as demais grandezas constantes, o que ocorre com a vazão volumétrica de um escoamento laminar quando dobramos: (a) o diâmetro do tubo? (b) a viscosidade? (c) a diferença de pressão? (d) o gradiente de pressão? (e) o comprimento do tubo? 4.44 Para os arremessos normais de uma bola de basquete (exceto para os arremessos desesperados) a força de resistência do ar é desprezível. Para demonstrar isso, considere a razão da força da Lei de Stokes e o peso de uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete possui um raio igual a 0,4m e se move com velocidade de 5m/s no ar com densidade igual a, kg/m Um feixe de laser muito estreito com elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no casco de uma espaçonave de ficção científica; o orifício possui comprimento de 0.80m e um raio de apenas 50.0 µm. O interior da espaçonave possui pressão de atm e ar a 0 0 C com viscosidade igual a 8 µpo começa a escapar com escoamento laminar para o vácuo no exterior da espaçonave. (a) Qual é a velocidade do ar ao longo do eixo do cilindro na extremidade externa e na metade da distância entre este ponto e o ponto externo? (b) Quantos dias serão necessários para que ocorra uma perda de m de ar através desse orifício? (Suponha que a pressão interna permaneça igual a atm. (c) Qual seria o fator de multiplicação das respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício dobrasse de valor e o escoamento permanecesse laminar? (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a pressão para essa profundidade? (b) A pressão real nesse ponto é igual a Pa ; o valor que você calculou deve ser menor que este porque na realidade a densidade da água aumenta com a profundidade. Usando o valor da compressibilidade da água e o valor real da pressão, ache a densidade no fundo da fossa Marianas. Qual é a variação percentual da densidade da água? 4.48 Uma piscina mede 5.0 m de comprimento, 4.0 m de largura e possui.0 m de profundidade. Determine a força exercida pela água sobre: (a) o fundo da piscina; (b) sobre cada parte lateral da piscina (Sugestão: Calcule a força infinitesimal que atua sobre uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a parede lateral.) Despreze a força produzida pela pressão do ar A aresta superior de uma comporta de uma represa está em contato com a superfície da água. A comporta possui altura de.00 m, largura de 4.00 m e possui uma articulação passando pelo seu centro. Calcule o torque produzido pela força da água em relação ao eixo da articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao adotado no problema 9.48; calcule o torque infinitesimal produzido por uma faixa horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a comporta). 7 Problemas 4.46 Em uma aula experimental, uma professora separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro D) usando as duas mãos. A seguir ela os encaixa novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir a pressão absoluta p e coloca as faces opostas do hemisfério em um bodybuilder (um aparelho de ginástica usado para fazer exercícios de tração) para tentar separá-los. (a) Designando por p 0 a pressão atmosférica, qual é a força que o bodybuilder deve exercer sobre cada hemisfério? (b) Avalie a resposta para o caso p = 0.05atm e D = 0.0cm O ponto com maior profundidade de todos os oceanos na Terra é a fossa das Marianas com uma profundidade de 0.9 km Força e Torque sobre uma represa. Uma represa possui a forma de um sólido retangular. A face de frente para o lago possui área A e altura H. A superfície de água doce do lago atrás da represa está no mesmo nível do topo da represa. (a) Mostre que a força resultante horizontal exercida pela água sobre a represa é dada por, ou seja, o produto da pressão manométrica ρ gha através da face da represa pela área da represa. (b) Mostre que o torque produzido pela força da água em relação ao eixo passando no fundo da represa é dado por ρ. 6 gh A (c) Como a força e o torque dependem do tamanho da represa?

8 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori Um astronauta está em pé no pólo norte de um novo planeta descoberto com simetria esférica de raio R. Ele sustenta em suas mãos um recipiente que contém um líquido de massa m volume V. Na superfície do líquido a pressão é p 0 ; a uma profundidade d abaixo da superfície, a pressão possui um valor maior que p. A partir dessas informações, determine a massa do planeta. 4.5 Para calcular a densidade em um dado ponto no interior de um material, considere um pequeno volume dv em torno desseponto. Se a massa no interior do volume for igual a dm, a densidade no referido ponto será dada por dm ρ = dv. Considere uma barra cilíndrica com massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade varia com o quadrado da distância a uma de suas ρ = C x extremidades,. pela Equação (a) Mostre que C =. M π R L (b) Mostre que a densidade média, dada m ρ = V densidade na extremidade x = L. é igual a um terço da 4.5 A Terra não possui uma densidade constante; ela é mais densa em seu centro e menos densa na sua superfície. Uma expressão aproximada ( ) ρ r = A Br para sua densidade é dada por, onde A =.700 kg/m e B =,50. 0 kg/m 4. Considere a Terra como uma esfera com raio R = 6, m. (a) Evidências geológicas indicam que as densidades são de.00 kg/m no centro e de 400 kg/m na superfície. Quais os valores previstos pela aproximação linear da densidade para estes pontos? (b) Imagine a Terra dividida em camadas esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r, espessura dr, volume dv = 4π r dr e massa dm = ρ r dr. Integrando desde r = 0 até r = R, ( ) mostre que a massa da Terra com este modelo é dada por: 4 M = π R A BR 4 (c) Mostre que os valores dados de A e B fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%. (d) Vimos na que uma camada esférica não fornece nenhuma contribuição de g no interior da camada. Mostre que esse modelo fornece: 4 g( r) = πgr A Br 4 (e) Mostre que a expressão obtida no item (d) fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s na superfície da Terra, (f) Mostre que com este modelo g não diminui uniformemente com a profundidade e, ao contrário, atinge um valor máximo igual a 4π GA = 0,0 m/s no ponto 9B r = A/ B = 5640 km No Exemplo.9 (Seção.7) vimos que no interior de um planeta com densidade constante (uma hipótese irreal para a Terra) a aceleração da gravidade cresce uniformemente com a distância ao centro do planeta. Ou seja, ( ) g r ˆr g R =, onde g é a aceleração da gravidade na superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o raio do planeta. O interior do planeta pode ser considerado aproximadamente como um fluido incompressível com densidade ρ. (a) Substitua a altura h na Equação (4.4) pela coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior de um planeta com densidade constante em função de r. Considere a pressão na superfície igual a zero- (Isso significa desprezar a pressão da atmosfera do planeta.) (b) Usando este modelo, calcule a pressão no centro do Terra. (Use o valor da densidade média da Terra, calculando-a mediante os valores da massa e do raio indicados no Apêndice F.) (c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente igual a 4.0 Pa para a pressão no centro da Terra- Este valor concorda com o que você calculou para r = 0? O que poderia contribuir para uma eventual diferença? 4.55 Um tubo em forma de ü está aberto em ambas as extremidades e contém uma porção de mercúrio. Uma quantidade de água é cuidadosamente derramada na extremidade esquerda do tubo em forma de U até que a altura da coluna de água seja igual a 5.0 cm (Figura 4.6). (a) Qual é a pressão manométrica na interface água-mercürio? (b) Calcule a distância vertical h entre o topo da superfície do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da água do lado esquerdo. 8

9 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori A Grande inundação de melaço. Na tarde do dia 5 de janeiro de 99, em um dia não usualmente quente em Boston, correu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico com diâmetro de 7,4 m e altura de 7,4 m que continha melaço. O melaço inundou uma rua formando uma corrente com profundidade igual 9 m, matando pedestres e cavalos e destruindo edifícios. A densidade do melaço era igual a 600 kg/m. Supondo que o tanque estava completamente cheio antes do acidente, qual era a força total exercida para fora pelo melaço sobre a superfície lateral do tanque? (Sugestão: Considere a força para fora exercida sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy situado a uma profundidade y abaixo da superfície superior. Integre para achar a força total para fora. Suponha que antes do tanque se romper, a pressão sobre a superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora do tanque.) 4.57 Uma barca aberta possui as dimensões indicadas na Figura (4.7. Sabendo-se que todas as partes da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a 4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode suportar em água doce sem afundar? Existe espaço suficiente na parte interna da barca para manter esta quantidade de carvão? (A densidade do carvão é aproximadamente iguala 500 kg/m.) 4.58 Um balão com ar quente possui volume igual a 00 m. O tecido (envoltório) do balão pesa 900 N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de propano pesa 700 N. Se o balão pode suportar no limite um peso máximo igual a 00 N, incluindo passageiros, alimentos e bebidas, sabendo-se que a densidade do ar externo é de l, kg/m', qual é a densidade média dos gases quentes no interior do balão? 4.59 A propaganda de um certo carro afirma que ele flutua na água. (a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 900 kg e seu volume interno é de,0 m', qual é a fração do carro que fica submersa quando ele flutua? Despreze o volume do aço e de outros materiais, (b) Através de uma passagem, a água penetra gradualmente deslocando o ar do interior do carro. Qual será a fração do carro que fica cheia quando ele afunda? 4.60 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g flutua em um copo de 40 cm completamente cheio de água. A tensão superficial da água e a variação da densidade com a temperatura são desprezíveis (quando ela permanece líquida), (a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo de gelo? (b) Depois que o gelo se fundiu complelamente, a água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da água que transbordou. Em caso negativo, explique por que isto ocorre, (c) Suponha que a água do copo seja água salgada com densidade igual a 050 kg/m, qual seria o volume da água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 9,70 g? (d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo de gelo de água doce flutuando em água salgada. 4.6 Um bloco de madeira possui comprimento de 0,600 m, largura de 0,50 m, espessura de 0,080 m e densidade de 600 kg/m. Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja alinhado com a superfície da água? Qual é a massa deste volume de chumbo? 4.6 Um densímetro é constituído por um bulbo esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual a 0,400 cm (Figura 4.9a). O volume total do bulbo com a haste é igual a, cm'. Quando imerso em água, o densímetro flutua mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da superfície da água. Quando imerso em um fluido orgânico, a haste fica a uma altura de,0 cm acima da superfície. Ache a densidade do fluido orgânico. (Observação: Este problema ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de densidade relativamente pequena produz uma diferença grande na leitura da escala do densímetro). 4.6 As densidades do ar, do hélio e do hidrogênio (para p = l,0atm e T= 9 K) são,0 kg/m,0,66 kg/m e 0,0899 kg/m, respectivamente, (a) Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força de "sustentação" total igual a 0 kn? (A "sustentação" é a diferença entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o aeróstato.) (b) Qual seria a "sustentação" se o hélio fosse usado no lugar do hidrogênio? Tendo em vista sua resposta, explique por que o hélio é usado nos modernos dirigíveis usados em propagandas MHS de um objeto flutuando. Um objeto com altura h, massa M e área da seção reta A flutua verticalmente em um líquido com densidadeρ. 9

10 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 0 (a) Calcule a distância vertical entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio, (b) Uma força de módulo F é aplicada de cima para baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de equilíbrio, qual é a diferença entre a nova distância vertical entre a superfície do líquido e a parte inferior do objeto e a distância calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do objeto permaneça sobre a superfície do líquido.) (c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a força for repentinamente removida- o objeto deverá oscilar para cima e para baixo executando um MHS. Obtenha o período deste movimento em função da densidade p do líquido, da massa M e da área da seção reta A do objeto. Despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido (Seção.8). (a) Qual é a densidade do líquido? (b) Qual será a leitura de cada balança quando o bloco A for retirado do líquido? Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a 0,900 m. (a) Calcule a distância vertical adicional que a baliza deverá afundar quando um homem de 70,0 kg ficar em pé sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b) do Problema 4.64.) (b) Calcule o período do MHS resultante quando o homem pular para fora da baliza.(use a expressão deduzida na parte (c) do Problema 4.64 e, como nesse problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito do líquido.) 4.66 Na água do mar um salva-vidas com volume igual a 0,0400 m pode suportar o peso de uma pessoa com massa igual a 75,0 kg (com densidade média igual a 980 kg/m ) mantendo 0% do volume da pessoa acima da água quando o salvavidas está completamente submerso. Qual é a densidade média do material que compõe o salvavidas? 4.67 Um bloco de madeira leve está sobre um dos pratos de uma balança de braços iguais sendo exatamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um bloco de latão no outro prato da balança. Calcule a massa do bloco de madeira leve se a sua densidade for igual a 50 kg/m. Explique por que podemos desprezar o empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar sobre o bloco de madeira leve O bloco A da Figura 4.8 está suspenso por uma corda a uma balança de mola D e está submerso em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A massa do recipiente é igual a l,00 kg; a massa do líquido é l,80 kg. A leitura da balança D indica,50 kg e a balança E indica 7,50 kg. O volume do bloco A é igual a, m Uma barra de alumínio é completamente recoberta por uma camada de ouro formando um lingote com peso igual a 45,0 N. Quando você suspende o lingote em uma balança de mola e a seguir o mergulha na água, a leitura da balança indica 9,0 N. Qual é o peso do ouro na camada? 4.70 Uma bola solta cheia de hélio flutuando no interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se move no sentido da aceleração do carro, porem uma bola frouxa com pouco ar em seu interior se move em sentido contrário ao da aceleração do carro. Para explicar a razão deste efeito, considere somente as forças horizontais que atuam sobre a bola. Seja a o módulo da aceleração do carro. Considere um tubo de ar horizontal cuja seção reta possui área A com origem no pára-brisa, onde x = 0 e p = p 0 e se orienta para trás. Agora considere um elemento de volume de espessura dx ao longo deste tubo. A pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma densidade constante p. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume e mostre que dp = pa dx. (b) Integre o resultado da parte (a) para achar a pressão na superfície frontal em termos de a e de x. (c) Para mostrar que considerar p constante é razoável, calcule a diferença de pressão em atm para uma grande distância de,5 m e para uma elevada aceleração de 5,0 m/s, (d) Mostre que a força horizontal resultante sobre um balão de volume Vê igual ρva. (e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a aceleração da bola (densidade média ) é dada por ( )a, de modo que a aceleração relativa é dada por:

11 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori (f) Use a expressão da a obtida na parte (e) para explicar o sentido do movimento das bolas. (b) Qual é a pressão manométrica na face inferior do bloco? 4.7 O peso da coroa de um rei é w. Quando suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a tensão na corda (o peso aparente da coroa) é igual fw. (a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada por. Discuta o significado dos limites quando f = 0 e f = l. (b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar,9 N no ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente imersa na água? (c) Repita a parte (b) se a coroa for um sólido de chumbo com uma camada muito fina de ouro, porém com peso ainda igual a,9 N no ar. 4.7 Uma peça de aço possui peso w, um peso aparente (ver o Problema 4.7) w quando está totalmente imersa na água e um peso aparente w fluido quando está totalmente imersa em um fluido desconhecido, (a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada por (b) Este resultado é razoável para os três casos w fluido maior, menor ou igual a w água? (c) O peso aparente da peça de aço em água com densidade 000 kg/m é 87,% do seu peso. Qual é a porcentagem do seu peso para o peso aparente do corpo mergulhado em ácido fórmico (densidade 0 kg/m )? 4.7 Você funde e molda uma certa quantidade de metal com densidade em uma forma, porém deve tomar cuidado para que não se formem cavidades no interior do material fundido. Você mede um peso w para o material fundido e uma força de empuxo igual a B. (a) Mostre que é o volume total das eventuais cavidades formadas no interior do material fundido. (b) Se o metal for o cobre, o peso w do material fundido for igual a 56 N e a força de empuxo for igual a 0 N, qual é o volume total das cavidades formadas no interior do material fundido? A que fração do volume do material este volume corresponde? 4.74 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0,00 m de densidade igual a 550 kg/m flutua em um recipiente com água. Óleo com densidade igual a 750 kg/m é derramado sobre água até que a camada de óleo fique 0,05 m abaixo do topo do bloco. (a) Qual é a profundidade da camada de óleo? 4.75 Lançando uma âncora. Uma âncora de ferro com massa igual a 5,0 kg e densidade igual a 7860 kg/m está sobre o convés de uma barca pequena que possui lados verticais e está flutuando sobre um rio de água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00 m. A âncora é lançada pela parte lateral da barca e afunda sem tocar o fundo do rio sendo sustentada por uma corda de massa desprezível. Quando a âncora fica suspensa lateralmente e depois de a barca parar de oscilar, a barca afundou ou subiu na água? Qual o valor da distância vertical que ela afundou ou subiu? 4.76 Suponha que o petróleo de um superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m. O navio fica encalhado em um banco de areia. Para fazer o navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e armazenada em barris, cada um deles com massa igual a 5,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 0,0 m de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço do barril, (a) Se um trabalhador que está transportando os barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair pelo lado do navio, o barril flutuará ou afundará na água do mar? (b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu volume que fica acima da superfície da água? Se ele afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda necessária para rebocar o barril para cima a partir do fundo do mar? (c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o petróleo possua densidade igual a 90 kg/m e que a massa de cada barril vazio seja igual a,0 kg Um bloco cúbico com densidade e uma aresta com comprimento L flutua sobre um líquido de densidade maior. (a) Que fração do volume do bloco fica acima da superfície do líquido? (b) O líquido é mais denso do que a água (densidade igual a ) e não se mistura com ela. Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve ser a camada da água para que a superfície livre da água coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a resposta em termos de L,, e. (c) Calcule a profundidade da camada de água da parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco for de aço com aresta de 0,0 cm Uma barca está em uma eclusa retangular de um rio de água doce. A eclusa possui comprimento igual a 60,0 m e largura igual a 0,0 m e as comportas de aço das duas extremidades estão fechadas. Quando a barca está flutuando na eclusa, uma carga de N de sucata de metal é colocada

12 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori na barca. O metal possui densidade igual a 9000 kg/m, (a) Depois que a carga de sucata de metal, que estava inicialmente nas margens da eclusa, é colocada na barca, de quanto se eleva verticalmente o nível da água da eclusa? (b) A sucata de metal é agora despejada na água da eclusa pela parte lateral da barca. O nível da água da eclusa sobe, desce ou permanece inalterado? Caso ele suba ou desça, de quanto varia verticalmente o nível da água da eclusa? (Esta técnica é usada para fabricar espelhos parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e depois é solidificado enquanto está girando.) 4.79 Um tubo em forma de U que contém um líquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a l (Figura 4.9). Calcule a diferença de altura entre as duas colunas de líquido nos ramos verticais quando (a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a direita: (b) o tubo gira em torno de um dos ramos verticais com uma velocidade angular. (c) Explique por que a diferença de altura não depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem áreas das seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se a parte horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua seção reta de uma extremidade até a outra? Explique. 4.8 Um fluido incompressível com densidade p está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular em uma ultracentrífugadora. As forças gravítacionais são desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido de área A e espessura dr' situado a uma distância r' do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a pressão na superfície externa é p + dp. (a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de volume para mostrar que (b) Se a superfície do fluido está em um raio r 0 onde a pressão é p 0, mostre que a pressão p a uma distância é dada por: 4.80 Um recipiente cilíndrico que contém um liquido incompressível gira com velocidade angular constante em tomo de seu eixo de simetria, o qual vamos considerar como o eixo Ou (Figura 4.40). (a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de rotação) de acordo com (b) Integre esta equação diferencial parcial para achar a pressão em função da distância ao eixo de rotação ao longo de uma linha horizontal para y = 0. (c) Combine a resposta da parte (b) com a Equação (4.5) para mostrar que a superfície do líquido que gira possui uma forma parabólica, ou seja, a altura do liquido é dada por (c) Um objeto de volume V e densidade possui o centro de massa a uma distância do eixo. Mostre que a força resultante horizontal sobre o objeto é dada por, onde R cm é a distância entre o eixo e o centro de massa do fluido deslocado, (d) Explique por que o objeto se move para o centro quando para fora do centro quando. (e) Para pequenos objetos com densidade uniforme,. O que ocorre para uma mistura de pequenos objetos deste tipo com densidades diferentes em uma ultracentrifugadora? 4.8 Qual é o raio de uma gota d'água para que a diferença entre a pressão interna e a pressão externa da gota seja igual a atm? Considere T= 9 K, 4.8 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0.0 m é fabricado de modo que seu centro de gravidade fique na posição indicada na Figura 4.4a. flutuando na água com a metade de seu

13 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori volume submerso. Se o bloco for "tombado" de um ângulo de 45 0 como indicado na Figura 4.4. Calcule o torque resultante em torno de um eixo horizontal perpendicular ao bloco e passando pelo centro geométrico do bloco. (b) a pressão manométrica no ponto A água de um grande tanque aberto com paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 4.4). Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h abaixo da superfície da água. (a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o ponto onde a corrente atinge o solo? (b) A que distância acima da base do tanque devemos fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele tenha um alcance igual ao do primeiro furo? 4.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, possui diâmetro de 0.0 cm e altura igual a 5.0 cm. Um orifício circular com área da seção reta igual a l.50 cm é feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa igual a m /s. Até que altura a água subirá no tubo? 4.86 A água flui continuamente de um tanque aberto, como indicado na Figura 4.4. A altura do ponto l é igual a 0.0 m e os pontos e estão a uma altura igual a.00 m. A área da seção reta no ponto é igual a m ; no ponto ela é igual a m. A área do tanque é muito maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a equação de Bemoulii seja válida, calcule: (a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por segundo: 4.87 O projeto de um avião moderno exige uma sustentação oriunda do ar que se move sobre as asas aproximadamente igual a 00N por metro quadrado O furacão Emily ocorrido em 99 possuía um raio aproximadamente igual a 50 km. A velocidade do vento nas vizinhanças do centro (o "olho") do furacão, com raio de 0 km atingiu 00 km/h. À medida que o ar forma redemoinhos em direção ao olho. o momento angular permanece praticamente constante, (a) Estime a velocidade do vento na periferia do furacão. (b) Estime a diferença de pressão na superfície terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão: Ver a Tabela 4.). Onde a pressão é maior? (c) Se a energia cinética do ar que forma redemoinhos no olho pudesse ser convertida completamente em energia potencial gravitacional, até que altura o ar se elevaria? (d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de diversos quilômetros. Como você concilia este fato com sua resposta do item (c)? 4.89 Dois tanques abertos muito grandes A e F (Figura 4.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto ao ar no ponto D leva o líquido para fora na base do tanque A, e um tubo vertical E se liga com a constrição C e goteja o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a área da seção reta da constrição C é a metade da área em D e que D está a uma distância h abaixo do nível do líquido no tanque A. até que altura h o líquido subirá no tubo E? Expresse sua resposta em termos de h.

14 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori (a) Com que velocidade uma esfera de latão com raio de.50 mm cai em um tanque de glicerina no instante em que sua aceleração é a metade da aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da glicerina é igual a 8.0 poises, (b) Qual é a velocidade terminal da esfera? 4.90 O tubo horizontal indicado na Figura 4.45 possui seção reta com área igual a 40,0 cm em sua parte mais larga e 0.0 cm em sua constrição. A água flui no tubo e a vazão volumétrica é igual a m /s (6.00 L/s). Calcule (a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e na constrição; (b) a diferença de pressão entre estas duas partes: (c) a diferença de altura entre os dois níveis do mercúrio existente no tubo em U. 4.9 Velocidade de uma bolha em um líquido, (a) Com que velocidade terminal uma bolha de ar com diâmetro de.00 mm sobe em um líquido cuja viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual a 900 kg/m? (Suponha que a densidade do ar seja igual a l.0 kg/m e que o diâmetro da bolha permanece constante.) (b) Qual é a velocidade terminal da mesma bolha, na água a 0 0 C que possui uma viscosidade igual a l.005 centipoise? 4.94 Um óleo com viscosidade igual a,00 poises e densidade igual a 860 kg/m deve ser bombeado de um grande tanque aberto para outro através de um tubo liso de aço horizontal de comprimento igual a l,50 km e diâmetro de 0.0 m. A descarga do fubo ocorre no ar. a) Qual é a pressão manométrica exercida pela bomba, em pascais e atmosferas, para manter uma vazão volumétrica igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de potência da bomba é igual ao produto da vazão volumétrica pela pressão manométrica exercida pela bomba. Qual é o valor numérico da potência? A Figura 4.7a mostra um líquido se escoando de um tubo vertical. Note que a corrente de líquido vertical possui uma forma definida depois que ela sai do tubo. Para obter a equação para esta forma, suponha que o líquido esteja em queda livre quando ele sai do tubo. No exato momento em que ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v 0 e o raio da corrente é r 0. (a) Obtenha uma expressão para a velocidade do líquido em função da distância y que ele caiu. Combinando esta relação com a equação da continuidade, ache uma expressão para o raio da corrente em função de y. (b) Se a água escoa de um tubo vertical com velocidade de l.0 m/s, a que distância da saída do tubo o raio será igual à metade do seu valor na corrente original? 4.95 O tanque do lado esquerdo da Figura 4.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui área muito elevada. A profundidade é y = m. As áreas das seções retas dos tubos horizontais que saem do tanque são l.00 cm, 0.40 cm e 0.0 cm, respectivamente. O líquido é ideal, logo sua viscosidade é igual a zero. (a) Qual é a vazão volumétrica para fora do tanque? (b) Qual é a velocidade em cada seção do tubo horizontal? (c) Qual é a altura atingida pelo líquido em cada um dos cinco tubos verticais do lado direito? (d) Suponha que o líquido da Figura 4.46b possua viscosidade igual a poise, densidade igual a 800 kg/m e que a profundidade do líquido no tanque grande seja tal que a vazão volumétrica do escoamento seja a mesma que a obtida na parte (a). A distância entre os tubos laterais entre c e d e a distância entre e e f são iguais a 0.00 m. As áreas das respectivas seções retas dos dois diagramas são iguais. Qual é a diferença de altura entre os níveis dos topos das colunas de líquido nos tubos verticais em c e d? (e) E para os tubos em e e f?

15 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 (f) Qual é a velocidade do escoamento ao longo das diversas partes do tubo horizontal? 4.98 Um tanque grande de diâmetro D está aberto para a atmosfera e contém água até uma altura H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é praticado na base do tanque. Desprezando qualquer efeito de viscosidade, encontre o tempo necessário para drenar completamente o tanque. 5 PROBLEMAS DESAFIADORES 4.96 Uma pedra com massa m =,00 kg é suspensa do teto de um elevador por meio de uma corda leve. A pedra está totalmente imersa na água de um balde apoiado no piso do elevador, porém a pedra não toca nem o fundo nem as paredes do balde, (a) Quando o elevador está em repouso, a tensão na corda é igual a,0 N. Calcule o volume da pedra, (b) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está subindo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a =.50 m/s de baixo para cima. (c) Deduza uma expressão para a tensão na corda quando o elevador está descendo com uma aceleração constante a. Calcule a tensão na corda quando a =,50 m/s de cima para baixo, (d) Qual é a tensão na corda quando o elevador está em queda livre com uma aceleração de cima para baixo igual a g? 4.97 Suponha que um bloco de isopor, com ρ = 80 kg/m, seja mantido totalmente imerso na água (Figura 4.47). (a) Qual é a tensão na corda? Faça o cálculo usando o princípio de Arquimedes. (b) Use a fórmula p = p 0 + ρgh para calcular diretamente a força exercida pela água sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir mostre que a soma vetorial destas forças é a força de empuxo Um sifão, indicado na figura, é um dispositivo conveniente para remover o líquido de um recipiente. Para realizar o escoamento, devemos encher completamente o tubo com o líquido. Suponha que o líquido possua densidade ρ e que a pressão atmosférica seja p a. Suponha que a seção reta do tubo seja a mesma em todas as suas partes. (a) Se a extremidade inferior do sifão está a uma distância h abaixo da superfície do líquido no recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que o recipiente possua um diâmetro muito grande e despreze qualquer efeito da viscosidade. (b) Uma característica curiosa de um sifão é o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento ainda ocorra? 4.00 O trecho a seguir foi citado em uma carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para nivelar as fundações de edifícios relativamente longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com comprimentos da ordem de 5 a 0 cm. A teoria é que a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a

16 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 mesma altura nos dois tubos servindo de referência para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o que ocorre quando existe uma bolha no interior da mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que o ar não afeta a leitura da altura de uma extremidade para outra. Outros alegam que a bolha pode causar importantes imprecisões. Você é capaz de dar uma resposta relativamente simples para esta pergunta, juntamente com uma explicação? A figura 4.49 mostra um esquema para ilustrar a situação que causou a controvérsia. 6

17 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 4-: 4,8N, não. 4-: m m ρ = = V 4 πr cubo é Gabarito (7.5 x0 kg) = =. x0 kg / m. 4 6 π (.74x0 m) 4-:7,0.0 kg/m ; sim. 4-4: O comprimento L de uma aresta do m 40kg L = V = = =. cm. ρ.4 x0 kg / m 4-5: (a) 706 Pa (b) 60 Pa. 4-6: (a) Peso em cada pneu: 6.5 Pporpneu = kn 4 Pressão absoluta em cada pneu: pabs = pm + patm = , = 06,kPa Área em cada pneu: Pporpneu pporpneu = A Pporpneu A = = = 0, 048m pabs 06, Área total: A = 4A= 4 0,048m = 0,0586m = 58,6 cm t (b) Com o peso extra, a repetição do cálculo anterior fornece 86 cm. = 4-7: (a),5.0 6 Pa (b), Pa 4-8: ρ = ρgh = (.00 x 0 kg/m )(9.80 m/s )(640 m) = 6.7 x 0 6 Pa = 6.9 atm. 4-9: (a), Pa (b),0.0 5 Pa (c),0.0 5 Pa (d) 5,.0 Pa 4-0: ρgh = (.00 x 0 kg/m )(9.80 m/s )(6. m) = 6.0 x 0 4 Pa. 4-:,.0 5 Pa 4-: 0 x 0 Pa + (.00 x 0 kg/m )(.7 m/s )(4. m) 9 x 0 Pa (.00 m ) =.79 x 0 5 N. 4-: 4,4m 4-4: F mg kg m s ρ = = = A π( d /) π(0.5 m) ρ = = 4-5: 0,56m (00 )(9.80 / ) 5.66 x0 Pa.64 atm. 4-6: A força de empuxo é: B = 7.50 N -.0 N = 6.0 N, logo B 6.0N) V = = = 6.4x0 ρ g (.00x0 kg/ m )(9.80m/ s ) água ( 4 m A densidade é dada por m ω / g ω ρ= = = ρágua V B/ ρ g B água ρ= x kg m 7.50 = 6.0 x kg m 4-7: (a) ρ < ρ fluido (c) submerso ρ / ρ fluido :acima (ρ fluido - ρ)/ρ fluido (d) % (.00 0 / ).78 0 /. 4-8: (a) B = ρ água gv = (.00 x 0 kg/m )(9.80 m/s )(0.650 m ) = 670 N. (b) B T 670 N 900 N m = ω = = = 558 kg. g g 9.80 m / s (c) (Ver o Exercício 4-7.) Se o volume submerso é V, 4-9: (a) 6 Pa (b) 9 Pa (c) 0,8 kg, 8 kg/m 4-0: (a) Desprezando a densidade do ar, m ω/ g ω V= = = ρ ρ gρ (89 N) V= =.60 m (9.80 ms / )(.7 x0 kgm / ) ou seja m com dois algarismos significativos. (b) T = ω - B = ω - gρ água V = ω. 7

18 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 ρ água.00 = (89 N) = 56.0 N. ρ alumínio.7 4-: 6,67Pa 4-: Usando a Eq. (4-), γ ρ g =, e γ = 7.8 x0 N / m obtemos R (a) 46 Pa, (b).46 x 0 4 Pa (note que este resultado é 00 vezes maior do que a resposta do item (a)). 4-: 0. N; 0.0 kg 4-4: A análise que conduziu à Eq. (4-) é válida para os poros; 4-5: 4-6: γ 4 = γ =.9 x 0 7 Pa. R D A v= v A (.50 / )( ) 0.45 / m s m m s v = = A A (a) (i) (ii) A = m, v =. m/s. A = m, v = 5. m/s. (b) v A t = v A t = (0.45 m /s)(600 s) = : (a) 7.0 m/s (b) 0.7m. 4-8: (a) Pela equação que precede a Eq. (4-4), dividido pelo intervalo de tempo dt obtemos a Eq. (4-6). (b) A vazão volumétrica diminui de.50%. 4-9: 8.4 m/s 4-0: (a) Pela Eq. (4-), v = gh = (4.0m) = 6.6m / s. (b) va = (6.57 m/s)(π(0.0 x 0 - m) ) = 4.69 x 0-4 m /s. Note que mais um algarismo significativo foi mantido nos cálculos intermediários. 4-: 4-: Usando v = 4 v na Eq. (4-), p= p+ ρ( v v) + ρg( y y) 5 p= p+ ρ v + g( y y) 4 5 p= 5.00 x0 Pa+ (.00 x0 ) (.00) + (9.80)(.0) p =.6 Pa 4-: 500 N de cima para baixo 4-4: (0)(0.55 kg ) (a) =.0 kg / s s (b)a densidade do líquido é 0.55kg = 000 kg / m 0.55 x0 m e portanto a vazão volumétrica é.0 kg / s =.0 x0 m / s =.0 L / s. 000 kg / m Este resultado também pode ser obtido do seguinte modo (0)(0.55 L ) =.0 L / s s (b).0 x0 m / s v = 4.00 x0 m v = 6.50 m/ s, v = v / 4 =.6 m/ s. (d) p= p+ ρ( v v ) + ρg( y y) = 5 kpa + (/ )(000)(9.80)(.5) = 9 kpa. 4-5: 0.4cm 4-6: Pela Eq. (4-), para y = y, p = p + ρ v v ( ) 8

19 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 v p p v p v 4 8 = + ρ = + ρ =.80 x 0 4 Pa + 8 (.00 x 0 kg/m )(.50 m/s) = =.0 x 0 4 Pa, v onde usamos a equação da continuidade v =. 4-7: (a).88 m/s (b) 0 4-8: No centro, r = 0 na Eq. (4-5), e explicitando p p = p, obtemos 4η Lvmax p = R 4(.005 x0 N s/ m )(.00 m)(0.00 m/ s) = (0.85 x0 m) p =.4 Pa 4-9: (a) 0.8 m /s (b) Pa (c) 0.75 m /s 4-40: (a) Explicitando na Eq. (4-6) a pressão manométrica p = p - p, 8 ηldv ( / dt) p = 4 π R 6 8(.0 x0 )(0.0 x0 )(0.5 x0 ) / (5 x60) π (5 x0 ) 6 4 p = x Pa= atm Esta é a diferença de pressão abaixo da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a pressão manométrica é negativa. A diferença de pressão é proporcional ao inverso da quarta potência do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta diferença de pressão é devida à menor seção reta da boca do inseto. 4-4: 5.96 mm/s 4-4: Da equação da velocidade terminal, Eq. (4-7), obtemos ρ 6πηrvt = mg B = mg ρ onde ρ é a densidade do líquido e ρ é a densidade do latão. Explicitando a viscosidade obtemos ρ mg. ρ η = 6πrv O raio é obtido de m V = 4 πr, ρ = c donde obtemos r =.4 x 0 - m. Substituindo os valores numéricos na relação precedente η =. N s/m, aproximadamente igual a com dois algarismos significativos. 4-4: (a) 6x maior (b) ½ do valor inicial. (c) dobra seu valor. (d) dobra seu valor. (e) se reduz a ½ de seu valor inicial. 4-44: Pela Eq. (4-7), a lei de Stokes, obtemos: 6π(8 x 0-7 N s/m )(0.4 m/s) =..0-4 N logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a: : (a) 9.4 m/s, 0, 4.6 m/s. (b)5d (c) in (a), 4; in (b), / : (a) D A área da seção reta da esfera é π, F D 4 portanto = ( ) π. p 0 (b) A força em cada hemisfério produzida pela pressão da atmosfera é π(5.00 x 0 - m) (.0) x 0 5 Pa)(0.975) = 776 N. p 4-47: (a)..0 8 Pa (b) 080 kg/m, 5%. 4-48: (a) O peso da água é ρgv = (.00 x 0 kg/m )(9.80 m/s )((5.00 m)(4.0 m)(.0 m))=5.88x0 5 N, ou seja, 5.9 x 0 5 N com dois algarismos significativos. 4 9

20 Mecânica dos Fluidos Teoria Capítulo - Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 0 (b) A integração fornece o resultado esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria igual ao produto da pressão no ponto médio pela área, ou seja, d F= ρga F= (.00 x0 )(9.80)((4.0)(.0))(.50) F =.76 0 ou.8 x 0 5 N com dois algarismos significativos. 5 N 4-49: N.m 4-50: (a) Ver o Problema 4-49; a força total é dada pela integral df desde h = 0 até h = H, obtemos F = ρgω H / = ρgah/, onde A = ωh. (b) O torque sobre um faixa vertical de largura dh em relação à base é dr = df(h h) = ρgωh(h h)dh, e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos τ = ρgah /6. (c) A força depende da largura e do quadrado da profundidade e o torque em relação à base depende da largura e do cubo da profundidade; a área da superfície do lago não influi em nenhum dos dois resultados (considerando a mesma largura). 4-5: (a).7 kg/m (b) 40 kg/m 4-54: (a) A Equação (4-4), com o raio r em vez da altura y, pode ser escrita na forma dp = -ρg dr = -ρg s (r/r) dr. Esta forma mostra que a pressão diminui com o aumento do raio. Integrando, com: p = 0 em r = R, obtemos P(0) = ρgs p = R 4 R ρgs r dr = ( R R r (b) Usando a relação anterior com r = 0 e M M ρ = = V 4π R Obtemos: 4 (5.97 x0 kg)(9.80 m / s ) 8 π (6.8 x0 m) 6 P(0) =.7 0 Pa. (c) Embora a ordem de grandeza seja a mesma, o resultado não concorda bem com o valor estimado. Em modelos com densidades mais realistas (ver o Problema 4-5 ou o Problema 9-85), a concentração da massa para raios menores conduz a uma pressão mais elevada. 4-55: (a) 470 kg/m (b).9 cm ) : 4-56: Seguindo a sugestão: 4-5: A barra cilíndrica possui massa M, raio R, e comprimento L com uma densidade proporcional à distância até uma das extremidades, ou seja, ρ = Cx. (a) M = ρdv = Cx dv. O elemento de volume é dado por dv = πr dx. Logo a integral é dada por L M = Cx π R dx. 0 A Integração fornece L M = Cπ R L x dx = CπR. 0 Explicitando C, obtemos C = M/π R L. (b) A densidade para a extremidade x = L é dada por: M ρ = Cx M = ( ) =. L πr L πr L O denominador é precisamente igual ao volume total V, logo ρ = M/V, ou três vezes a densidade média, M/V. Logo a densidade média é igual a um terço da densidade na extremidade x= L. F = 0 h ( ρ gy)(πr) dy = ρgπrh onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que R = h é mais ou menos acidental).substituindo os valores numéricos obtemos F = 5.07 x 0 8 N. 4-57: kg, sim. 4-58: A diferença entre as densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver o Problema 4-6). A densidade média dos gases no balão é dada por (5800) ρ ave =. (9.80)(00) ρ ave = 0.96 kg / m 4-59: (a) 0% (b) 70% 4-60: (a) O volume deslocado deve ser aquele que possui o mesmo peso e massa do,