MATEMÁTICA CADERNO 6 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 24 Números Complexos. Módulo 25 Potências Naturais de i e Forma Algébrica

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1 MATEMÁTICA CADERNO 6 CURSO E FRENTE ÁLGEBRA Módulo 4 Números Complexos ) (5 + 7i) ( i) = 5 0i + i 4i = 5 + i + 4 = 9 + i ) f(z) = z z + f( i) = ( i) ( i) + = = i + i + i + = i ) x + (y )i = y 4 + xi, (x e y são reais) x = y 4 x = y x = 5 x y = 0 y = x (y ) = y 4 y = 4) I) z = a + 8ai e z = 4 + bi, (a, b ) z + z = (a 4) + (8a + b)i II) (z + z ) deve ser imaginário puro, então a 4 = 0 e b a = 4 e b Resposta: a = 4 e b 5) I) (a + i) ( + i) = a + ai + i + i = (a ) + (a + )i II) (a + i) ( + i) deve ser um número real, então a + = 0 a = 6) (a + i) 4 = (a + i) (a + i) = (a + ai + i ) (a + ai + i ) = = [(a ) + ai] [(a ) + ai] = [(a ) + ai] = = (a ) + (a ) ai + 4a i = (a ) 4a + 4a(a )i Para que (a + i) 4 seja um número real, devemos ter: 4a (a ) = 0 4a = 0 ou a = 0 a = 0 ou a = ± Assim, a pode assumir valores reais, a saber: 0, e i ( i) ( i) 4 i i + i 4 4i 7) = = = = + i ( + i) ( i) i 4 ( ) 4i 4 = = i ) 5 + i (5 + i) (7 + i) 5 + 0i + 7i + i = = = 7 i (7 i) (7 + i) 7 (i) 5 + 7i + 7i + 7i 7 = = = = + i 49 4i ) z x + yi (x + yi) ( i) x + yi xi yi = = = z + i ( + i) ( i) i = (x + y) + (y x)i (x + y) (y x) = = + i, então: y x = 0 y x = 0 x y = 0 5 0) + i ( + i) ( + i) ( + i) + i + i i = = = = i ( i) ( + i) i + = i + i 4 Logo, = i 4 = i ) I) ( + i) 0 = [( + i) ] 5 = ( + i + i ) 5 = (i) 5 = 5 i 5 = i II) i i i = = = = ( + i) 0 i i i i Módulo 5 Potências Naturais de i e Forma Algébrica i 46 + i i ) = + i + i = = i i 4 i 9 9! ! ) I) n = = = = 6 4 4! (9 4)! 4 5! II) k = i + i + i + i 4 + i 5 + i 6 + i 7 + i i 5 + i 6 = i 5 + i 6 = = 0 = 0 = i + i = i = + i ) ( + i) 5 = ( + i) ( + i) ( + i) = = ( + i + i ) ( + i + i ) ( + i) = (i) (i) ( + i) = = 4i ( + i) = 4 ( + i) 4) ( + i) 0 = [( + i) ] 5 = [ + i + i ] 5 = (i) 5 = i 5) ( i) 6 = [( i) ] 8 = [ i + i ] 8 = ( i) 8 = 56i 8 = 56 6) Sejam u = a + bi u = a bi e v = c + di v = c di I) u + v = i (a bi) + (c di) = i a + c = (a + c) (b + d)i = i b + d = II) u v = 6 (u v) (u + v) = 6 [(a + bi) (c + di)] [(a + bi) + (c + di)] = 6 [(a c) + (b d)i] [(a + c) + (b + d)i] = 6

2 III) Substituindo (I) em (II), temos: [(a c) + (b d)i] [ + i] = 6 (a c) + (a c)i + (b d)i + (b d)i = 6 [(a c) (b d)] + [(a c) + (b d)]i = 6 + 0i 0) a) (I) z z = 4 (x + iy) (x iy) = 4 x i y = 4 x + y = 4 Os pontos (x, y), da última equação, descrevem uma circunferência de centro na origem e raio. (a c) (b d) = 6 (a c) + (b d) = 0 a c = b d = a + c = a = a c = b = u = i IV) u v = i b + d = c = v = + i b d = d = 7) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z + z + z + 4z = 0 + 8i 4z + 6z = 0 + 8i 4 (a + bi) + 6 (a bi) = 0 + 8i 4a + 4bi + 6a 6bi = 0 + 8i 0a bi = 0 + 8i Pode-se, também, observar que: x + y = 4 x + y = z = (II) (z ) = z (x iy) = (x + iy) x xyi + i y = x + xyi + i y 4xyi = 0 x = 0 ou y = 0 Re(z) = 0 ou Im(z) = 0 b) Fazendo (I) (II), temos: 0a = 0 b = 8 a = b = 4 z = 4i 8) Para z = a + bi e z = a bi, temos: z = z (a bi) = (a + bi) a bi = a + abi + b i a bi = (a b ) + abi a b = a a b = a a b = a a b =a ou ab = b b(a + ) = 0 b = 0 a = a = a = a a = 0 a = ou ou ou b = 0 b = 0 b = 0 b = 4 a = a = ou ou b = z = 0 ou z = ou z = + i ou z = i b = 9) Para z = x + yi e z = x yi, temos: z z 4 = 0 (x + yi) (x yi) = 4 x + y = 4, que representa uma circunferência de centro na origem e raio. Assim, as intersecções são os pontos P (; 0); P (0; ); P (, 0) e P 4 (0; ). Respostas: a) z = ; Re(z) = 0 ou Im (z) = 0 b) (; 0), (0; ), ( ; 0) e (0; ) z = + 4i Im(z ) = 4 ) z Im(z ) Im(z ) = 5 7i Im(z ) = 7 Módulo 6 Função Polinomial ) Se P(x) = x + ( + m)x + ( + m)x + m, então: P(m) = m + ( + m). m + ( + m)m + m = = m + m + m + m + m + m = = m + 4m + 6m ) P(x) = x n x n + x n + x x + ; P( ) = 9 Como os sinais dos coeficientes se alternam e x tem coefi - ciente positivo, todos os termos que possuem coeficiente positivo têm expoente par e, portanto, n é par. Para x =, tem-se: P( ) = ( ) n ( ) n + ( ) n + ( ) ( ) + = = = 9 8 termos (pois 8 + = 9) Como de ( ) n a ( ) temos 8 termos, então n = 8.

3 ) Se. P(x) + x. P(x ) = x + x +, então: I) Para x = 0 fi. P(0) + 0. P(0 ) = P(0) = P(0) = II) Para x = fi. P() +. P( ) = P() +. P(0) = + +. P() +. = 5. P() = 4 P() = 4) Em P(x + ) = x 7x + 6, substituindo x por x, tem-se: P(x + ) = (x ) 7(x ) + 6 P(x) = x x + 7x P(x) = x 9x + 4 9) I) ax + b(x + ) + c(x + ) = (x + ) ax + bx + bx + b + cx + 4cx + 4c = x + 6x + 9 (a + b + c). x + (b + 4c). x + b + 4c = x + 6x + 9 II) a + b + c = b + 4c = 6 a + b + c = b + c = b + 4c = 9 b + 4c = 9 a + b + c = b + 4c = 9 a + b = b = a = b = c = c = c = III) a b + c = ( ) + = + + = 7 5) I) P(x) = ax + bx + cx + II) P( x) = a( x) + b( x) + c( x) + = ax + bx cx + III) P(x) P( x) = ax + cx IV)Se P(x) P( x) = x fi ax + cx = x, então: a = c = 0 V) P( ) = 0 fi a + b c + = 0 fi fi + b 0 + = 0 b = Assim, P(x) =. x. x + e, portanto, P() = + = e P() = = 0 6) Para que o polinômio p(x) = (m 4)x + (m 6)x + (m + 4)x + 4 tenha grau, devemos ter: m 4 = 0 fi não existe m m 6 0 m = 4 m 4 e m 4 a = c = 0 0) I) P (x) = (m + n + p)x 4 (p + )x + mx + (n p)x + n II) P (x) = mx + (p + 7)x + 5mx + m III) P (x) = P (x) m + n + p = 0 m + n + p = 0 p = m m + p = m = p + 7 m = p + 7 n p = 5m n p = 5m n = m n = m m + n + p = 0 p = m = n = m = n = p = x + A B ) = + x x x + x + A. (x + ) + B. (x ) = (x ). (x + ) (x ). (x + ) Ax + A + Bx B = x + (A + B). x + (A B) = x + A + B = A B = A = B = 7) gr(f) = n + gr(g) = n f(x) g(x) r(x) q(x) I) gr(q) = gr(f) gr(g) = (n + ) (n ) = + = fi gr(q) = II) 0 gr(r) gr(g) fi 0 gr(r) n ; n Œ *, n ) 8 a b c 8 = + + x 4x x x x + x. (x ). (x + ) = a. (x ). (x + ) + b. x. (x + ) + c. x. (x ) = x. (x ). (x + ) a(x 4) + bx + bx + cx cx = 8 (a + b + c)x + (b c)x 4a = 8 8) 4x (x + x ) + x + x x x = = 4x x x + x + x x x = 4x 4x + 0. x + 0. x = = 0. x + 0. x + 0. x a + b = c = 0 b c = 0 a = b = 4a = 8 c =

4 Módulo 7 Polinômios: Divisão ) P(x) = x 5 7x + x + 4 Q(x) = x 8 I) x 5 7x + x + 4 x 8 x 5 + 8x x R(x) = x + x + 4 II) R(x) = x + x + 4 A = ; B = ; C = 4 III) 4A + B + C = = ) x x + 4x + 8 x 4 4x 8x x 4x + 8 4x 8x x + 6x + x 8x + x x x ) I) x + mx x + x x x + x x + (m ) (m ). x + x (m ). x (m ). x + m ( m + ). x + m II) ( m + ). x + m = 0. x + 0 m = m + = 0 m = 0 7) I) ax 4 + 5x ax + 4 x 4 ax 4 + 4ax ax + (5 + 4a) (5 + 4a)x ax + 4 (5 + 4a)x + 6a + 0 ax + 6a + 4 II) r(4) = 0 fi r(4) = 4a + 6a + 4 = 0 fi a = 4 fi a = III) Q(x) = ax + (5 + 4a) = x + [ ( )] = x IV)Q() =. () = = 5 8) Note que x + x = (x + ). (x ) ) I) P(x) =. (x + ) + x. (x ) + 8 = = x + 4x + + x x + 8 = x + x + 0 II) x + x + 0 x + x + x x 7 Fazendo P(x) = x x 79 x x, temos: I) x x 79 x x x + r Q (x) r = P( ) = ( ) ( ) 79 ( ) ( ) = = = 7 fi P( ) = 7 4) P(x) x + fi x + x fi P(x) = (x + ). (x ) + (x + ) II) x x 79 x x x r Q (x) r = P() = = + = fi fi P() = P(x) = x x + x + x + P(x) = x x + x III) P(x) (x + ). (x ) R(x) = ax + b Q(x) fi fi P(x) = (x + ). (x ). Q(x) + ax + b 5) I) P(x) x + x x + 5 x 5 Portanto: P(x) = (x + x ). (x 5) + x + 5 II) P() = ( + ). ( 5) = = 4 P( ) = 7 IV) fi fi R(x) = x P() = a + b = 7 a + b = a = b = V) R(0) =. 0 = 4

5 FRENTE ÁLGEBRA Módulo 4 Arranjos Simples e Permutações Simples 7) Com 4 clubes de futebol, o número de possibilidades para escolher o time que joga no seu campo é 4 e o número de maneiras para escolher o seu adversário é. Assim, o total de jogos é 4. = 8 ou A 4, = 4. = 8 Resposta: 8 ) Já que os livros são diferentes, o número de maneiras de distribuir esses livros é A 4, = 4. 4 = 7 ) Existem 0 maneiras para escolher o coordenador, 9 maneiras para o secretário e 8 para o digitador, assim, o número de equipes é = 70 ou A 0; = = 70 ) Números de algarismos são do tipo C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números maiores que 500, o número de possibilidades é: I) 5 para C (5, 6, 7, 8 ou 9) II) 9 para D (deve ser diferente de C) III) 8 para U (deve ser diferente de C e de D) Assim, a quantidade pedida é = 60 Resposta: 60 8) A palavra VESTIBULAR tem 0 letras, assim, o número de anagramas é P 0 = 0! = = Resposta: Questões 9 a 6: A palavra ALIMENTO tem 8 letras. 9) O número de anagramas que começam com M é P 7 = 7! = = 5040 Resposta: ) O número de anagramas que terminam com O é P 7 = 7! = = 5040 Resposta: 5040 ) O número de anagramas que começam com M e terminam com L é P 6 = 6! = = 70 Resposta: 70 4) Números de 4 algarismos são do tipo M C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números ímpares, o número de possibilidades é: I) 5 para U (,, 5, 7 ou 9) II) 8 para M (deve ser diferente de U e diferente de zero) III) 8 para C (deve ser diferente de U e de M) IV) 7 para D (deve ser diferente de U, de M e de C) Assim, a quantidade pedida é = 40 Resposta: 40 5) Números de 4 algarismos são do tipo M C D U. Dispondo dos algarismos de 0 a 9, sem repetição, para formar números pares, existem duas situações: I) Se o número terminar com zero, o número de possibili - dades é 9 para M, 8 para C e 7 para D, totalizando = 504. II) Se o número não terminar com zero, o número de possi - bilidades é 4 para U (, 4, 6 ou 8), 8 para M (deve ser diferente de U e diferente de zero), 8 para C e 7 para D, totalizando = 79 Assim, a quantidade pedida é = 96 Resposta: 96 ) O número de anagramas que começam com uma vogal é 4. P 7 = 4. 7! = = 0 60 Resposta: 0 60 ) O número de anagramas que terminam com uma consoante é 4. P 7 = 4. 7! = = 0 60 Resposta: ) O número de anagramas que começam com vogal e terminam com consoante é P 6 = ! = = 50 Resposta: 50 5) O número de anagramas que começam e terminam com vogal é 4.. P 6 = 4.. 6! = = 8640 Resposta: ) I) Começam com vogal, 060 anagramas (Ex. 40). II) Terminam em consoante, 060 anagramas (Ex. 4). III) Começam com vogal e terminal em consoante, 50 anagramas (ex. 4). IV) Começam com vogal ou terminam em consoante, um total de = anagramas. Resposta: ) Dispondo dos algarismos,, e 4, sem repetição, podem ser formados: I) Números com algarismo, num total de 4 II) Números com algarismos, num total de 4. = III) Números com algarismos, num total de 4.. = 4 IV) Números com 4 algarismos, num total de 4... = 4 Assim, a quantidade pedida é = 64 7) Dos 6 vagões do trem, um deles é o restaurante, assim, após a locomotiva deve ser colocado um dos outros 5 vagões. Para as demais posições não há restrições, logo, pode-se permutar os 4 vagões restantes com o restaurante. Portanto, o número de maneiras de montar a composição é 5. P 5 = 5. 5! = 5. 0 = 600 5

6 8) Existem formas de escolher o banco em que a família Souza irá sentar e P formas de posicioná-la nesse banco. Existem formas de escolher, entre os bancos que so braram, aquele em que o casal Lúcia e Mauro senta. Para cada um desses bancos existem duas formas de posicionar o casal (à esquerda ou à direita do banco, por exemplo) e, para cada uma dessas formas, P maneiras de o casal trocar de lugar entre si. Existem P 4 formas de posicionar as quatro outras pessoas. Assim, no total, temos:. P... P. P 4 =.!.!. 4! = 456 maneiras distintas de dispor os passageiros no lotação. Módulo 5 Combinações Simples, Permutações, Arranjos e Combinações com Repetição ) Como não importa a ordem dos livros escolhidos, o número 8 8! procurado é dado por C 8, = = = = 56!. 5!.. Resposta: ! ) C 7, = = = = 5!. 4!.. Resposta: 5!. 0 ) C, = = = = 0!. 9!. Resposta: 0! ) C, = = = = 0!. 8!.. Resposta: 0 5) I) Dos brinquedos, a criança mais nova deve ganhar 5, e o número de maneiras de escolhê-los é C,5. II) Dos 7 brinquedos restantes, deve-se escolher 4 para a criança mais velha, num total de C 7,4 maneiras. III) Os brinquedos restantes ficarão com a outra criança. Assim, o número de maneiras de distribuir os brinquedos é 7! 7! C,5. C 7,4 =. = = 5 4 5!. 7! 4!.! = =. = = Resposta: 770 6) Para comissões de 5 pessoas com, necessariamente, médicos, devem-se escolher, portanto, enfermeiros entre os 6 existentes. O número de maneiras de escolhê-los é C 6, = = = 0.. 7) I) Todos os júris de 7 pessoas tem pelo menos um advogado. II) O número de formas de compor o júri é 0! C 0,7 = = 7!! 6 = 0 8) Dos 7 professores especializados em Parasitologia, devem ser escolhidos 4 e, dos 4 especializados em Microbiologia, devem ser escolhidos. Assim, o número de equipes diderentes que poderão ser formadas é C 7,4. C 4, =. =. = 5. 6 = Resposta: 0 9) Temos apenas 4 salgadinhos que são servidos quentes e os 6 restantes são servidos frios. Se a travessa deve ter exatamente salgadinhos frios e só quentes então o número total de possibilidades de compor essa travessa é: C 4,. C 6, = 4! 6! =!!! 4!.. = 90 0) Existem possibilidades: I) A comissão é formada por especialista e outros profissionais. Assim, tem-se: C,. C 9, =. 6 = 08 II) A comissão é formada por especialistas e outro profissional. Assim, tem-se: C,. C 9, =. 9 = 7 III) A comissão é formada por especialistas. Assim, tem-se: C, = O total de comissões possíveis de se formar é: = 6 ) (A,R) 6! P 6 = =!.!. = 60 Resposta: 60 ) I) O número total de permutações da palavra economia é P 8. II) O número de permutações que começam com O é P 7. O número das que terminam em O também é P 7. III) O número de permutações que começam e terminam com O é P 6. IV) O número de permutações pedidas é P 8. P 7 + P 6 = 0800 ) Sejam L, L as duas letras iguais e L, L, L,... L n as outras n. Se as duas letras iguais devem ficar juntas então devemos calcular as permutações de n elementos, pois as duas letras iguais valem por uma única letra. L, L, L, LL, L 4,... L n n 6

7 Assim sendo: (n )! = 0 (n )! = (n )! = 5! n = 5 n = 6 4) Lembrando que o primeiro algarismo deve ser diferente de zero, a quantidde de números de algarismos existentes no sistema decimal de numeração é = 900 Resposta: 900 5) Lembrando que o primeiro algarismo deve ser diferente de zero, com os algarismos 0,,, e 4, a quantidade de números de algarismos é = 00 Resposta: 00 6) I) A quantidade total de números de 4 algarismos é = 9000 II) A quantidade de números de 4 algarismos distintos é = 456 III) A quantidade de números de 4 algarismos com pelo menos dois algarismos iguais é = 4464 Resposta: ) Devem-se escolher 5 frutas entre os tipos disponíveis (maçãs, peras e laranjas), independente da ordem da escolha, assim, obrigatoriamente tem-se alguma repetição. Trata-se, portanto de combinações completas de elementos em grupos de 5. Assim, o número de tipos de pacotes é dado por C *,5 = C + 5,5 = C 7,5 = 7 = = Pode-se pensar em obter o número de soluções inteiras não negativas da equação m + p + = 5, que é dado por (5, +) 7! 7. 6 P = = = 7 5!.!. Resposta: 8) I) O número de comissões diferentes, de pessoas cada, que po demos formar com os n diretores de uma firma é C n,. n! Logo: C n, = k = k n. (n ) = k!(n )! II) Se, ao formar estas comissões, tivermos que indicar uma das pessoas para presidente e a outra para suplente então o número de comissões será A n, e portanto: A n, = k + n. (n ) = k + III) De (a) e (b), temos: k = k + k = n. (n ) = k IV) fi n (n ) = 6 n = k = Módulo 6 Probabilidade ) Dos 00 homens, 0 não são solteiros e a probabi lidade pedida é, portanto 0 00 = 0,55 = 55% ) Das bolas, 4 são brancas, assim, a probabilidade pedida é 4 = ) Se o número da chapa do carro é par, o algarismo das unidades pode ser 0,, 4, 6 ou 8. A probabilidade de ser zero é. 5 4) Das 90 empadinhas, 60 são mais apimentadas, assim, a 60 probabilidade pedida é =. 90 5) I) O número de bolas na urna é 00, numeradas de a 00. II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8 e 00, num total de 0 bolas. III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são, 8, 7 e 64, num total de 4 bolas. IV) Observando que as bolas com número e número 64 foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é = = 0, ) I) Das 7 lâmpadas, o número de maneiras de acender 4 ao mesmo tempo é C 7,4 = = = II) Uma das 5 combinações forma o número 4, assim, a probabilidade pedida é 5 7) a) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 6 possibili - dades: 4 (;) (;) (;) (;4) (;) (;) (;) (;4) (;) (;) (;) (;4) 4 (4;) (4;) (4;) (4;4) II) Das 6 possibilidades, em 4 existem números iguais, 4 portanto, a probabilidade pedida é = 6 4 7

8 b) Das 6 possibilidades, em a soma é 4, portanto, a probabilidade pedida é 6 8) Considerando-se um polígono regular de n lados, n 4, temse: I) O número total de diagonais é II) O número de diagonais que passam pelo centro do Observe que se n é ímpar, nenhuma diagonal passa pelo centro. III) Se uma diagonal é escolhida ao acaso, a probabilidade de que ela passe pelo centro é 9) I) Das n etiquetas numeradas de a n, o número de maneiras de sortear é Cn, = = n n!! (n )! II) Os casos que apresentam números consecutivos são (,, ), (,, 4), (, 4, 5),... e (n, n, n), num total de (n ) (n ) III) A probabilidade pedida é = n!! (n )! 4 (;) (;) (;) (;4) (;) (;) (;) (;4) (;) (;) (;) (;4) 4 (4;) (4;) (4;) (4;4) Respostas: a) b) 4 6 n polígono é, se n é par. n. (n ) n n =. =, se n é par n. (n ) n. (n ) n (n ).! (n )! n! (n ). (n )!! = = n! (n )!! n! Módulo 7 Probabilidade da União e Probabilidade Condicional ) I) O número de bolas na urna é 00, numeradas de a 00. II) As bolas cujo número é um quadrado perfeito são, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8 e 00, num total de 0 bolas. III) As bolas cujo número é um cubo perfeito são, 8, 7 e 64, num total de 4 bolas. IV)Observando que as bolas com número e número 64 foram contadas duas vezes, a probabilidade pedida é = = 0, ) a) X + X + + X + + X + = 50 4X = 44 X = b) I) Para X =, o número de bolas azuis é X + = + = II) Para X =, existem bolas com o número (uma azul, uma amarela e uma verde). III) Observando que a bola azul com o número foi con - tada duas vezes, a probabilidade de retirar uma bola azul ou uma bola com o número é = = = 8% Resposta: a) b) 8% ) No conjunto S = {0; ; ; ; 500}: I) Os múltiplos de são os termos da progressão arit mética (; 4; 7; ; 498), num total de 60 ele mentos, pois 498 = + (n ). n = 60 II) Os múltiplos de 7 são os termos da progressão arit mética (; 8; 5; ; 497), num total de 69 ele mentos, pois 497 = + (n ). 7 n = 69 III) Os múltiplos de e 7 são os múltiplos de, num total de, pois a progressão aritmética (; 4; 6; ; 48) possui ter mos. Assim sendo, a) Em S, existem múltiplos de e de 7. b) Como existem = 06 elementos de S que são múltiplos de ou de 7, a probabilidade de o elemento escolhido de S ser múltiplo de ou 7 é = Respostas: a) b) ) I) Se, no lançamento do dado, ocorreu um número maior que, são 4 casos possíveis (, 4, 5 ou 6). II) A probabilidade de ser um número ímpar é = 4 Resposta: 8

9 5) I) Se, retirando uma carta de um baralho comum de 5 cartas, saiu uma carta de copas, são casos possíveis. II) A probabilidade de ser um rei é Resposta: ) III) Volume do prisma (V): V = A b. h = 4. 4 m = 6 m 6) I) Observando a tabela a seguir, verificam-se 5 casos com soma (;) (;) (;) (;4) (;5) (;6) (;) (;) (;) (;4) (;5) (;6) (;) (;) (;) (;4) (;5) (;6) 4 (4;) (4;) (4;) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;) (5;) (5;) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;) (6;) (6;) (6;4) (6;5) (6;6) Prisma de base pentagonal II) Das 5 possibilidades, em duas ocorrem o número 5, por - tanto, a probabilidade pedida é. 5 ) FRENTE GEOMETRIA MÉTRICA Módulo 4 Prismas ) I) Base do prisma: I) Área lateral (A L ): A L = 48 m fi. L = 48 fi L = 4 m II) Área da base (A b ): L. 4. A b = = m = 4 m = 4 + h fi h = II) Área da base (A b ): 8. A b = m = m III) Volume do prisma (V): V = A b. H = m. m = 6 m 9

10 4) 6) I) Aresta da base (): = raio circunferência circunscrita = II) Área base (A b ): A b = = = III) Área lateral (A L ): A L = 6.. h = 6.. = IV)Área total (A T ): A T =. A b + A L =. 6 + = = + = 4 I) Área lateral (A L ), em cm : A L = = 5000 II) Área da base (A b ), em cm : A b = 5. 5 = 65 III) Sendo n, em cm, o comprimento do tecido, temos: A L + A b = n. 50 fi = n. 50 n =,5 IV),5 cm =,5 m 7) I) Área da base do prisma (pentágono da frente do galpão): 5) ( + 5). 4 A b =. = II) Volume galpão = A base. =. = 84 8) I) Altura da base (a), em cm: 0 = a + 6 fi a = 8 II) Área da base (A b ), em cm :. 8 A b = = 48 III) Altura do prisma (h), em cm, e volume do prisma (V), em cm : V = A b. h fi 58 = 48. h h = 0

11 9) I) Área total (A T ), área da base (A b ), área lateral (A L ), em m, e aresta da base (), em m: A T =. A b + A L fi 80 = = 0 fi = 4, pois > 0 II) Volume do prisma (V), em m : V = A b. h =. h = 4. = 48 a) Considerando que os lados são as arestas de base (), em cm, e a área lateral (A L ), em cm, temos: A L = 6.. h fi 60 = = b) Volume do prisma (V), em cm, e área da base (A b ), em cm : l V = A b. h = 6... h = = Respostas: a) cm b) 0 cm 0) I) Cálculo da aresta do cubo: V = = dm = 000 cm = a fi a = 0 cm II) Cálculo de x: x x 0 tg 0 = fi = x = cm a 0 cm III) Volume do leite derramado, em cm, é o volume do pris - ma de base triangular e altura a V leite = A base. altura =. 0 = 500