Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 9 30 de abril de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 9 3 de abril de Aula 9 Pré-Cálculo

2 Cuidado! Se os eios coordenados são desenhados com escalas diferentes, distorções podem aparecer! Escalas em Gráficos (escalas iguais para os eios) (escalas diferentes para os eios) Aula 9 Pré-Cálculo 2 Aula 9 Pré-Cálculo 5 Cuidado! Cuidado! Um círculo é desenhado como uma elipse. Um círculo é desenhado como uma elipse. Aula 9 Pré-Cálculo 6 Aula 9 Pré-Cálculo 7

3 Cuidado! Um quadrado é desenhado como um retângulo. Cuidado! Um quadrado é desenhado como um retângulo. Aula 9 Pré-Cálculo 8 Aula 9 Pré-Cálculo 9 Cuidado! Cuidado! Ângulos são distorcidos. Ângulos são distorcidos. Aula 9 Pré-Cálculo Aula 9 Pré-Cálculo

4 Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias! = f () = 2 Contudo, escalas diferentes podem ser necessárias! = f () = 2.5 Aula 9 Pré-Cálculo 2 Aula 9 Pré-Cálculo 3 Cuidado: escalas no PowerPoint Cuidado: escalas no PowerPoint Aula 9 Pré-Cálculo 4 Aula 9 Pré-Cálculo 5

5 Cuidado: TV widescreen Aula 9 Pré-Cálculo 6 Aula 9 Pré-Cálculo 7 Como saber se um número real a pertence ao domínio de uma função f? Resposta: verifique se a reta vertical = a intercepta ou não o gráfico de f. Como saber se um número real pertence à imagem de uma função f? Resposta: verifique se a reta horizontal = b intercepta ou não o gráfico de f. Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaio? (Ir para o GeoGebra) Aula 9 Pré-Cálculo 23 Aula 9 Pré-Cálculo 25

6 Resposta: o domínio da função f é o conjunto D =[, 4] Resposta: o domínio da função f é o conjunto D =[, 4] Aula 9 Pré-Cálculo 26 Aula 9 Pré-Cálculo 27 Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaio? Qual é o domínio da função f cujo gráfico é dado abaio? Aula 9 Pré-Cálculo 28 Aula 9 Pré-Cálculo 3

7 Resposta: não é possível determinar pois apenas uma parte do gráfico está sendo apresentada! Qual é a imagem da função f cujo gráfico é dado abaio? Aula 9 Pré-Cálculo 32 Aula 9 Pré-Cálculo 33 Resposta: não é possível determinar pois apenas uma parte do gráfico está sendo eibida! Funções monótonas Aula 9 Pré-Cálculo 34 Aula 9 Pré-Cálculo 35

8 Função crescente Funções decrescente Dizemos que uma função f : D C é crescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) < f ( 2 ). Dizemos que uma função f : D C é decrescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) > f ( 2 ). f ( 2 ) f ( ) f ( ) f ( 2 ) 2 2 Aula 9 Pré-Cálculo 38 Aula 9 Pré-Cálculo 4 Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) f ( 2 ). Funções monótonas não-decrescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-decrescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) f ( 2 ). f ( 2 ) f ( 2 ) f ( ) f ( ) 2 2 Aula 9 Pré-Cálculo 44 Aula 9 Pré-Cálculo 45

9 Funções monótonas não-crescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) f ( 2 ). Funções monótonas não-crescentes Dizemos que uma função f : D C é monótona não-crescente em um subconjunto S de D se, 2 S, < 2 f ( ) f ( 2 ). f ( ) f ( 2 ) f ( ) f ( 2 ) 2 2 Aula 9 Pré-Cálculo 48 Aula 9 Pré-Cálculo 49 Observações Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente, decrescente, monótona não-decrescente ou monótona-crescente neste conjunto. Observações Eistem funções que não são monótonas. Por eemplo, a função descrita na figura abaio não é monótona no conjunto S =[, 4]. Contudo, ela é monótona em [, ], em[, ], em[, 3] eem[3, 4]. Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótona não-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em um conjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto. Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentes simplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas nãocrescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, que negar (por eemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto S não implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescente neste conjunto. Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela é crescente ou ela é decrescente neste conjunto. Aula 9 Pré-Cálculo 57 Aula 9 Pré-Cálculo 64

10 Eemplo Mostre que a função = f () = 2 é crescente no intervalo S =[, + ). Demonstração. Sejam, 2 S =[, + ), com < 2. Com estas condições, vale que 2 > e 2 >. Como e 2 >, segue-se que 2 + >. Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temos que ( 2 )( 2 + ) >. Sendo assim, > e, consequentemente, 2 2 > 2, isto é, f ( 2 ) > f ( ). Mostramos então que, 2 S, < 2 f ( ) < f ( 2 ). Logo, f é uma função crescente em S. Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! Em quais intervalos a função f abaio é crescente? f : R R f () = f é crescente nos intervalos (, ] (ln(2)) 2 ln(2) =(, ] e [ + (ln(2)) 2 ln(2), + ) =[ ,+ ]. A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Aula 9 Pré-Cálculo 78 Aula 9 Pré-Cálculo 84 Estudar o crescimento de funções pode ser difícil! f : R R f () = Máimos e mínimos de funções reais Aula 9 Pré-Cálculo 85 Aula 9 Pré-Cálculo 86

11 Motivação: o problema da caia Motivação: o problema da caia Você foi contratado por uma empresa que fabrica caias sem tampa. Cada caia é construída a partir de um folha retangular de papelão medindo 3 cm 5 cm. Para se construir a caia, um quadrado de lado medindo cm é retirado de cada canto da folha de papelão. 3 cm 5 cm Dependendo do valor de, diferentes caias (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor de a fim de que a caia correspondente tenha o maior volume possível. Aula 9 Pré-Cálculo 87 Aula 9 Pré-Cálculo 88 O problema da caia Etremos globais Seja f : D C uma função e seja A um subconjunto do domínio D. () Dizemos que p A é um ponto de máimo global (ou máimo absoluto) def em A se f (p) f (), A. Neste caso, f (p) é denominado de valor máimo da função f em A. (2) Dizemos que p A éumponto de mínimo global (ou mínimo absoluto) de f em A se f (p) f (), A. Neste caso, f (p) é denominado de valor mínimo da função f em A. (3) Dizemos que p A éumetremo global (ou etremo absoluto) def em A se p é um ponto de máimo global ou p é um ponto de mínimo global de f em A. Aula 9 Pré-Cálculo 95 Aula 9 Pré-Cálculo 99

12 Etremos locais Eemplo: = f () = , A =[, 4] O ponto de máimo global de f em A é p =. Seja f : D C uma função e seja A um subconjunto do domínio D. () Dizemos que p A éumponto de máimo local (ou máimo relativo) de f em A se eiste um intervalo aberto I, com p I e f (p) f (), I A. (2) Dizemos que p A éumponto de mínimo local (ou mínimo relativo) de f em A se eiste um intervalo aberto I, com p I e f (p) f (), I A. (3) Dizemos que p A éumetremo local (ou etremo relativo)def em A se p é um ponto de máimo local ou p é um ponto de mínimo local de f em A. Aula 9 Pré-Cálculo 3 Aula 9 Pré-Cálculo 6 Eemplo: = f () = , A =[, 4] O ponto de mínimo global de f em A é p = 3. Eemplo: = f () = , A =[, 4] Os pontos de máimo local de f em A que não são globais são p = eq = 4. Aula 9 Pré-Cálculo 8 Aula 9 Pré-Cálculo

13 Eemplo: = f () = , A =[, 4] O ponto de mínimo local de f em A que não é global é p =. Eemplo: = f () =, A =(, +) A função f não possui etremos locais nem etremos globais em A. 2 2 Aula 9 Pré-Cálculo 3 Aula 9 Pré-Cálculo 5 Calcular os etremos de uma função pode ser difícil! Quais são os etremos da função f abaio? Calcular os etremos de uma função pode ser difícil! f : R R f () = f : R R f () = = 5 3 ( ) = é ponto de mínimo global de f em R. 6 A função f não possui outros etremos globais em R. A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! 2 2 Aula 9 Pré-Cálculo Aula 9 Pré-Cálculo 2