1. Conceito de função. 1, existe um só elemento y B tal que (x, y) S. 1. Conceito de função. 1. Conceito de função

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1 UNIVERSIDDE DO ESTDO DE MTO GROSSO CMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FCULDDE DE CIÊNCIS EXTS E TECNOLÓGICS CURSO DE ENGENHRI CIVIL DISCIPLIN: FUNDMENTOS DE MTEMÁTIC Introdução às Funções. Conceito de função nalisando cada uma das relações, temos: a) R = {(, ), (, ), (, )} Para cada elemento, com eceção do, eiste um só elemento tal que (, ) R. Para o elemento, não eiste tal que (, ) R. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Introdução às Funções. Conceito de função.conceito de função.definição.notação das funções 4.Domínio e imagem R - 5. Conceito de função. Conceito de função Eemplos iniciais Vamos considerar, por eemplo, os conjuntos = {,,, } e = {-,,,, } e as seguintes relações bináriasde em : R = {(, ) / = + } S = {(, ) / = } T = {(, ) / = } V = {(, ) / = ( ) } W = (, ) / = { } b) S = {(, ), (, ), (, -), (, ), (, )} Para cada elemento, com eceção do, eiste um só elemento tal que (, ) S. Para o elemento, eistem dois elementos de, o e o -, tais que (, ) S e (, -) S. 6

2 . Conceito de função. Conceito de função d) V = {(, ), (, -), (, ), (, )} S - Para todo elemento, sem eceção, eiste um só elemento tal que (, ) V. 7. Conceito de função. Conceito de função c) T = {(, ), (, ), (, ), (, )} Para todo elemento, sem eceção, eiste um só elemento tal que (, ) T. V - 8. Conceito de função. Conceito de função e) W = {(, ), (, ), (, ), (, )} T - Para todo elemento, sem eceção, eiste um só elemento tal que (, ) W. 9

3 . Conceito de função. Definição Esquema de flechas W - Vejamos agora, com o auílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de em para ser aplicação (ou função). 6. Conceito de função. Definição s relações T, V, W, que apresentam a particularidade: para todo eiste um só tal que (, ) pertence à relação, recebem o nome de aplicação de em ou função definida em com imagens em. º) É necessário que todo elemento participe de pelo menos um par (, ) f, isto é, todo elemento de deve servir como ponto de partida de flecha. º) É necessário que cada elemento participe de apenas um único par (, ) f, isto é, cada elemento de deve servir como ponto de partida de uma única flecha. Uma relação f não é aplicação (ou função) se não satisfizer uma das condições acima, isto é: 4 7. Definição. Definição Dados dois conjuntos e (*), não vazios, uma relação f de em recebe o nome de aplicação de em ou função definida em com imagens em se, e somente se, para todo eiste um só tal que (, ) f. º) se eistir um elemento de do qual não parta flecha alguma ou ( f ) f é aplicação de em, / (, ) (*) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que e são conjuntos5 formados de números reais, isto é, e contidos em R. f não é função

4 . Definição. Definição º) se eistir um elemento de do qual partam duas ou mais flechas. - f não é função 9. Definição. Definição Gráfico cartesiano Podemos verificar pela representação cartesiana da relação f de em se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela ao eio conduzida pelo ponto (, ), em que, encontra sempre o gráfico de f em um só ponto. Eemplos º) relação f de em R, representada a seguir, em que { R } = /, não é função, pois há retas verticais que encontramo gráfico de f em dois pontos.. Definição. Definição Eemplos º) relação f de em R, com { R } = /, representada a seguir, é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa encontra sempre o gráfico de f num só ponto

5 . Definição. Notação das funções Eemplos º) relação f de em R, representada a seguir, em que { R } = / 4, não é função de em R, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (, ) não encontra o gráfico de f. Observemosque f é função de emrem que: { R } = / 4, Para indicarmos uma função f, definida em com imagens em segundo a lei de correspondência = f(), usaremos uma das seguintes notações: f f : f : f ( ) f ( ) = f ( ) 5 8. Definição. Notação das funções 4 6 Eemplos º) f : tal que = é uma função que associa a cada de um de tal que =. º) f : R R tal que = é uma função que leva a cada derum der tal que =. º) f : R R tal que + é uma função que leva a cada R um Rtal que =. = + 9. Notação das funções. Notação das funções Toda função é uma relação binária de em ; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, eiste uma sentença aberta = f() que epressa a lei mediante a qual, dado, determina-se tal que (, ) f, então {( ) } f =, /, e = f ( ). Isso significa que, dados os conjuntos e, a função f tem a lei de correspondência = f(). Imagem de um elemento Se (a, b) f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, e indicamos: f(a) = b que se lê: f de a é igual a b. 7 5

6 . Notação das funções. Notação das funções Eemplo Seja a função f : R R +, então: a) a imagem de pela aplicação f é, isto é: f () = + = b) a imagem de - pela aplicação f é -, isto é: f ( ) = ( ) + = Eercício : Qual é a notação das seguintes funções der em R? a) f associa cada número real ao seu oposto; b) g associa cada número real ao seu cubo; c) h associa cada número real ao seu quadrado menos um; d) k associa cada número real ao número.. Notação das funções. Notação das funções c) analogamente f = + = f ( ) = + f (,7) =,7 + =,4 Eercício : Qual é a notação das seguintes funções? a) f é função deq emq que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com um; b) g é a função dez emq que associa cada número inteiro à potência de base desse número; * c) h é a função der emr que associa cada número real ao seu inverso.. Notação das funções. Notação das funções,7 R +,4 + R Eercício : Seja a função der emr definida por + 4. Calcular: a) f() b) f(-) c) f(/) d) f(-/) e) f( ) f) f( ) 6

7 . Notação das funções. Notação das funções Eercício 4: Seja a função dez emz definida por f() = -. Calcular: a) f() b) f() c) f(-) d) f(/) { } Eercício 7: Seja a função f der emr definida por + f ( ) =. Qual é o elemento do domínio que tem imagem?. Notação das funções. Notação das funções Eercício 5: Seja a função de R em R assim definida se Q f ( ) = + se Q a) f() b) f(-/7) c) f( ) d) f( 4) e) f( ) f) f(,75) Eercício 8: Quais são os valores do domínio da função real definida por f() = que produzem imagem igual a?. Notação das funções Eercício 6: Seja a função der emr definida por f ( ) =. 5 Qual é o elemento do domínio que tem -/4 como imagem? Considerando que toda função f de em é uma relação binária, então f tem um domínio e uma imagem. 4 7

8 Domínio Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos para os quais eiste tal que (, ) f. Como, pela definição de função, todo elemento de tem essa propriedade, temos nas funções: isto é, domínio = conjunto de partida D =. Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos: Domínio (D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f Imagem Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos para os quais eiste tal que (, ) f; portanto: isto é, imagem é subconjunto do contradomínio Im. Imagem (Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f Eemplos Im 4 4 domínio contradomínio { R / } { R } D = Im = / 4 { R / } { R } D = Im = /

9 Eemplos Eemplos - - Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio. º) = notando que R para todo R, temos: D =R - { R / } D = Im = { R / < < ou < < } { R / } { } D = < < Im = ; 49 º) = notando que R para todo R, temos: D =R 5 Domínio das funções numéricas s funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funções numéricas, isto é, aquelas em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R. s funções numéricas são também chamadas funções reais de variável real. Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondência = f(). º) = notemos que se, e somente se, é real e R diferente de zero; temos, então * D =R 4º) = notando que R se, e somente se, é real e não negativo; então: D =R + 5 Quando nos referimos à função f e damos apenas a sentença aberta = f() que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é, D é formado por todos os números reais para os quais é possível calcular f(). D f ( ) R 5º) = notando que para todo R, temos: D =R 5 9

10 Eercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaio: f Eercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaio: k Eercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaio: g Eercício : Nos gráficos cartesianos das funções a seguir representadas, determinar o conjunto imagem. - Eercício 9: Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaio: h - - -

11 Eercício : Considerando que os gráficos a seguir representados são gráficos de funções, estabelecer o domínio e a imagem.

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13 Eercício : Dar o domínio das seguintes funções reais: + a) f ( ) = + f) r ( ) = b) g( ) = g) s( ) = + c) h( ) = h) t( ) = 4 + d) p( ) = i) u( ) = e) q( ) = + +