Funções Exponenciais

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Exponenciais Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Funções Exponenciais 1.Funções exponenciais 2.Funções exponenciais naturais

3 Definição de função exponencial Se a > 0 e a 1, a função exponencial de base a é dada por f(x) = a x. 3

4 Propriedades dos expoentes Sejam a e b números positivos. 1. a 0 = 1 5. (ab) x = a x b x 2. a x a y = a x+y 6. (a:b) x = a x :b x 3. a x :a y = a x-y 7. a -x = 1/a x 4. (a x ) y = a xy 4

5 Exemplo 1: Aplicação das propriedades dos expoentes ( )( ) = 2 = 2 = 32 ( )( ) 2 2 = 2 = 2 = ( ) = 3 = 3 = 729 Propriedade 2 Propriedades 2 e 7 Propriedade 4 5

6 Exemplo 1: Aplicação das propriedades dos expoentes = = = = (1/ 3) 1/ Propriedades 6 e = 3 = 3 = Propriedades 3 e 7 ( 1 )( 1 ) = (2 3) = 6 = 6 Propriedade 5 6

7 Embora o Exemplo 1 demonstre as propriedades dos expoentes para expoentes inteiros e racionais, é importante notar que essas propriedades valem para todos os expoentes reais. Com uma calculadora, podemos obter aproximações de a x para qualquer base a e expoente real x. 0,6 0, ,660, π 2,360, (1,56) 1,876 7

8 Exemplo 2: Em materiais orgânicos vivos, a razão dos isótopos radioativos do carbono para o número total de átomos de carbono é da ordem de 1 para Quando o material orgânico morre, seus isótopos radioativos de carbonos começam a decair, com uma meia-vida de cerca de anos. Isto significa que, após anos, a razão dos isótopos para os átomos estará reduzida à metade da razão original; após mais anos, estará reduzida a um quarto do original, e assim por diante. A figura seguinte mostra esta razão decrescente. A fórmula para a razão R dos isótopos de carbono para os átomos de carbono é 8

9 1 1 R = t 5700 onde t é o tempo (em anos). Determine o valor de R para os tempos (a) anos, (b) anos e (c) anos. R R R = 2, = 8, = 4,

10 Exemplo 3: Trace os gráficos das seguintes funções exponenciais. f ( x ) = 2 x x x 1/8 1/4 1/

11 Exemplo 3: Trace os gráficos das seguintes funções exponenciais. 1 g( x) = = 2 2 x x x x /2 1/4 1/8 1/16 11

12 Exemplo 3: Trace os gráficos das seguintes funções exponenciais. h( x ) = 3 x x x 1/27 1/9 1/

13 As figuras anteriores mostram os gráficos de três funções. Os gráficos de f(x) = 2 x e h(x) = 3 x são crescentes, enquanto o de g(x) = 2 -x é decrescente. As formas dos gráficos das figuras anteriores são típicas dos gráficos das funções exponenciais y = a -x e y = a x, com a > 1. As figuras seguintes resumem as características básicas desses gráficos. 13

14 14

15 Exemplo 4: Trace o gráfico de x f ( x) = 3 1 ( x ) ( x ) lim 3 1 = lim 3 lim 1 x x x 1 lim lim x 3 x = = x x f(x) /3-8/9 Vemos que y = -1 é assíntota horizontal do gráfico. 15

16 2. Funções exponenciais naturais Funções exponenciais naturais No começo desta aula, introduzimos as funções exponenciais utilizando uma base genérica a. No cálculo, a escolha mais conveniente (ou natural) para uma base é o número irracional e, cuja aproximação decimal é e = 2,

17 2. Funções exponenciais naturais Definição limite de e O número irracional e é definido como o limite de (1 + x) 1/x, quando x 0. Isto é, x 0 ( x) 1 x lim 1+ = e Veja a tabela abaixo, com valores aproximados de e x f(x) 2, , , , , , ,

18 2. Funções exponenciais naturais Veja o gráfico na vizinhança de x = 0 e observe que os valores de y ficam cada vez mais próximos do número e 2,

19 2. Funções exponenciais naturais Exemplo 5: Faça o gráfico de f ( x) = e x x 1 lim e = lim = 0 x x e x x f(x) 0,135 0, ,718 7,389 19

20 2. Funções exponenciais naturais As funções exponenciais são usadas com frequência como modelo de crescimento de uma grandeza ou de uma população. Quando o crescimento da grandeza não sofre restrição, utiliza-se um modelo exponencial. Quando o crescimento é restringido, o melhor modelo é a função de crescimento logístico da forma a f ( t) = kt 1 + be 20

21 2. Funções exponenciais naturais A figura acima mostra ambos os modelos de crescimento da população. 21

22 2. Funções exponenciais naturais Exemplo 6: Uma cultura de bactérias cresce segundo o modelo de crescimento logístico y 1,25 =, t ,25 0,4t e onde y é o peso da cultura (em gramas) e t é o tempo (em horas). Ache o peso da cultura após 0 horas, 1 hora e 10 horas. Qual é o limite do modelo quando t cresce indefinidamente? 22

23 2. Funções exponenciais naturais y y y 1,25 = = 1grama Peso quando t = 0 0,4 (0) 1+ 0,25e 1,25 = 1,071gramas Peso quando t = 1 0,4 (1) 1+ 0,25e 1,25 = 1,244 gramas Peso quando t = 10 0,4 (10) 1+ 0,25e 23

24 2. Funções exponenciais naturais Quando t cresce sem limite, o peso da cultura tende para 1,25 gramas. A figura ao lado mostra o gráfico do modelo. 1,25 1,25 1,25 lim = lim = = 1,25 t 0,4t 1+ 0,25e t 0, ,4t e 24