p2n 1q p 1q 2n 1 p2n 1q 1 1 o TESTE (2,0 val.) Problema 1 Considere o conjunto A tx P R : arctan x 2 3 π{4u.

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1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Época de Recurso de Cálculo Diferencial e Integral I Cursos: LMAC, MEBiom, MEFT, LEMat, LEAN, MEQ, MEAmbi, MEBiol o Sem. 04/5 6//05 Duração: h0m + h0m Versão A o TESTE (,0 val.) Problema Considere o conjunto A tx P R : arctan x π{4u. (a) Mostre que A,? Y?,. Res: Como π{4 arctan e a função arcotangente é crescente, temos que A tx P R : x u tx P R : x 4u,? Y?,. (b) Determine, se existirem, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo de A X Q e A XpR zq q, onde Q R X Q e Q R X Q. Res: sup A X Q max A X Q, inf A X Q?, o conjunto não tem mínimo. sup A X pr zq q? max A X pr zq q, inf A X pr zq q, o conjunto não tem mínimo. (,0 val.) Problema Use indução para mostrar que n k k p q k k P N. Res: Para n temos: k Assumindo que para um dado n P N se tem que temos que mostrar que k p q k k p q 0. n k n k k p q k k 0 k p q k k 0. Por definição de somatório e pela hipótese de indução, n k k p q k k n k k p q k k n p q n n pn q p q n pn q 0 npn q pn qp pn q q 0. (4,5 val.) Problema Calcule os seguintes ites: (a) xñπ{7 senp7xq xpx π{7q (c) xñ0 arctanp{xq log x 5 (b) (d) senhpxq xñ 8 coshpxq xñ 8 x 5 {logpxq

2 Res: xñπ{7 senp7xq xpx π{7q senp7px π{7q πq xñπ{7 xpx π{7q senp7px π{7qq xñπ{7 xpx π{7q senp7px π{7qq 7 49 xñπ{7 7xpx π{7q π. Res: senhpxq xñ 8 coshpxq xñ 8 e x e x e x e x xñ 8 e x. e x Res: Como a função arcotangente é itada e xñ0 log x 8, temos pelo princípio do encaixe que arctanp{xq xñ0 log x 5 0. Res: Como temos uma indeterminação do tipo 8 0, xñ 8 x 5 {logpxq xñ 8 e logpx 5q logpxq e xñ 8 logpx 5q logpxq e aplicando a Regra de Cauchy temos que: pelo que o ite pedido é logpx 5q 8 RC xñ 8 logpxq 8 x xñ 8 x 5, xñ 8 x 5 {logpxq e. (,5 val.) Problema 4 Seja f : r, s Ñ R a função contínua no ponto zero tal que f pxq x arcsenpxq x P r,szt0u. (a) Mostre que f p0q 0 e que f é diferenciável no ponto zero com f p0q {6. Res: Sendo f contínua em x 0, então f p0q xñ0 f pxq. Por aplicação sucessiva da Regra de Cauchy temos: x arcsenpxq 0 RC p x q xñ0 x 0 xñ0 x De forma semelhante, 0 RC 0 x 0. xñ0 p x q f pxq f p0q x arcsenpxq xñ0 x 0 xñ0 x 6 f p0q. (b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de f em x 0. Res: A recta tangente ao gráfico em x 0 tem como equação y f p0q f p0qpx 0q x 6.

3 (c) Seja g : R Ñ R uma função diferenciável tal que gpq 0 e g pq. Calcule pf gq pq. Res: Pela regra da derivada da função composta, pf gq pq f pgpqqg pq f p0q. (5,0 val.) Problema 5 Considere a função f : R Ñ R definida por f pxq logpe x q. (a) Mostre que f é invertível e determine o domínio da sua inversa f. Res: f é invertível visto ser injectiva (é estritamente crescente). O seu domínio é o contradomínio de f e este, atendendo às propriedades das funções exponencial e logaritmo é f prq slogpq, 8r. (b) Justifique que f é diferenciável e determine pf q pf p5qq. Res: f é diferenciável no seu domínio visto f ser diferenciável em R e f pxq P R. Pela regra da derivada da função inversa, pf q pf p5qq f pf pf p5qqq f p5q e5 e 5. ex e x (c) Determine as assímptotas ao gráfico de f. Res: Assímptota à esquerda: como xñ 8 logpe x q logpq, temos uma assímptota horizontal de equação y logpq. Assímptota à direita: pela Regra de Cauchy, logpe x q RC e x xñ 8 x xñ 8 e x. Por outro lado, xñ 8 logpex q x 8 8 RC e x xñ 8 log logpq 0, pelo que a assímptota à direita tem equação y x. (d) Esboce os gráficos de f e f. e x

4 (,0 val.) Problema 6 Seja f uma função diferenciável em R com derivada estritamente crescente. (a) Mostre que f não tem máximo. Res: Supondo que tem um máximo em c P R, então como f é diferenciável em c concluímos que f pcq 0. Por outro lado, sendo f estritamente crescente em R, temos que f pxq 0 para x c e f pxq 0 para x c, pelo que f é estritamente decrescente para x c e estritamente crescente para x c. Logo f terá um mínimo em c, uma contradição. (b) Mostre por meio dum exemplo que f pode não ter mínimo. Res: f pxq e x. (c) Mostre que se f tem mínimo então f pxq 8. xñ 8 Res: Supondo que f tem um mínimo em m P R, temos que f pmq 0. Fixenos a m. Como f é estritamente crescente, temos que f paq 0. Dado x a arbitrário, pelo Teorema de Lagrange temos que existe c Psa, xr tal que f pxq f paq f pcq. x a Como f é estritamente crescente, temos que f pcq f paq e portanto f pxq f paq f paqpx a. Como xñ 8 pf paq f paqpx aqq 8, concluimos que xñ 8 f pxq 8. Similarmente se mostra que xñ 8 f pxq 8. o TESTE (,5 val.) Problema 7 Determine a função f : R Ñ R sabendo que f p0q 0 e f pxq px qsenpxq x senpx q Res: Como, primitivando por partes px qsenpxq px qcospxq cospxq px qcospxq senpxq, e (primitiva imediata) x senpx q cospx q, temos que f pxq px qcospxq senpxq cospx q c, e a condição f p0q 0 determina c cospq. (,0 val.) Problema 8 Use uma substituição para mostrar que 8 dx x? x u du pu qpu q e aproveite para calcular o integral.

5 Res: Fazendo a substituição u? x ( x u, dx udu) obtemos imediatamente a igualdade indicada. Decompondo em fracções simples u pu qpu q pu q pu q pu q, e portanto u pu qpu q log u log u. pu q O integral pedido, por aplicação da Regra de Barrow, é portanto igual a: u du pu qpu q plogpq logp4qq 4 logpq logp{q. (,5 val.) (,0 val.) Problema 9 Considere a função f : R Ñ R definida por f pxq senh x Justifique que f é diferenciável e calcule a sua derivada. dt t 8 t 4 Res: f é diferenciável porque é a composta da função Φpyq ³ y dt, que é diferenciável pelo t 8 t 4 teorema Fundamental do Cálculo ( integral indefinido de uma função contínua) com a função y senh x. Pelo T. Fundamental do Cálculo e pela regra da derivação das funções compostas temos que f cosh x pxq psenh xq 8 psenh xq 4. Problema 0 Calcule a área da região contendo o ponto p,q e itada pelas curvas y {x, y x e y 4. Res: As curvas y 4 e y {x intersectam-se em x {4. As curvas y {x e y x intersectamse em x e as curvas y x e y 4 intersectam-se em x,. A área pedida é dada por: p4 x q dx p4 x q dx 4p {4q plogp4q 7{q 4 logp4q. 4 (4,5 val.) Problema Determine a natureza das seguintes séries: (a) n n n (b) n np 4lognq? arctanpnq n 5 (c) n 7 n Res: Note-se que todas as séries em questão são de termos não negativos. A série n n n é absolutamente convergente pelo critério da razão uma vez que A série ppn q q n nñ 8 pn q pn q n np 4lognq.

6 é absolutamente convergente pelo critério integral uma vez que 8 b dx : dx xp 4logpxqq bñ 8 xp 4logpxqq bñ 8 A série n arctanpnq n 7? n 5 é absolutamente convergente pelo critério da comparação uma vez que e nñ 8 arctanpnq n 7 n? n logpbq. (,5 val.) Problema Considere a série de potências p xq n 4 n? n (a) Determine o maior intervalo aberto no qual a série é absolutamente convergente. Res: A série é absolutamente convergente em s R,Rr onde 4 n? n 4 R nñ 8 4 n? n 4. (b) Diga justificando se a série é simplesmente convergente nalgum ponto. Res: Para x 4 temos a série?, n que é divergente (série de Dirichlet com expoente {). Para x 4, temos p q n?, n que é uma série alternada simplesmente convergente pelo critério de Leibniz uma vez que a função gpxq? x é decrescente com xñ 8 gpxq 0. (c) Seja f a função definida por esta série de potências. Justifique que {? {8 f pq {?. Res: Temos que f pq 8 a n, para a n p qn 4 n?. Como a função hpxq n 4 x? x é estritamente decrescente para x P r0, 8r, temos que f pq a 0 pa a q...pa n a n q..., onde pa n a n q Como a 0? temos então que f pq?. Similarmente, note-se que pa n a n q 0, para n, e f pq pa 0 a q pa a q..., pelo que f pq a 0 a? 8. (,0 val.) Problema Considere a função f pxq x senpxq.

7 (a) Determine a série de Taylor de f na origem. Res: Atendendo ao desenvolvimento em série de Taylor na origem de senpxq temos que f pxq x p q n n x n p q n n x P R. pn q! pn q! (b) Seja ppxq o polinómio de Taylor de ordem 6 de f na origem. Calcule xñ0 n f pxq ppxq xñ0 x 7 Res: Atendendo ao desenvolvimento obtido na alína anterior temos imediatamente que: f pxq ppxq p q n n x n xñ0 x 7 5 x 7. pn q! 5! (,0 val.) Problema 4 Dados polinómios ppxq e qpxq e um ponto a P R tal que qpaq 0, use o polinómio de Taylor de p{q em a para mostrar que para qualquer n P N existem constantes A, A,..., A n P R tais que a função racional dada por qpxqpx aq A k n px aq k é prolongável por continuidade a x a. Res: Comecemos por notar que a hipótese qpaq 0 implica que p q admite derivada de qualquer ordem numa vizinhança do ponto a. Seja P n.a o polinómio de Taylor de grau n de p q em torno do ponto a e R n,a o correspondente resto. Temos então que ppxq xña qpxqpx aq P n,apxq R n,a pxq n px aq n xña px aq n 0. k Como P n,a pxq n k0 A n p p q q p0q paq 0!, temos que e portanto ou seja p pkq px aq q paq k k!, escolhendo A p p q q pn q paq pn q! xña qpxqpx aq A k n px aq k xña k qpxqpx aq n k A k px aq k qpxqpx aq n é prolongável por continuidade ao ponto x a. k A k p q px aq k pnq paq n!, A p p q q pn q paq,..., pn q! 0, p pnq q paq, n!