I. Séries de Taylor. ? e. 1. f 1 pxq. 2. f p48q p 1{3q ! 24!? ÿ. f p4kq p0q 3 p4kq! e f pnq p0q 0 se n não é múltiplo de 4.

Transcrição

1 I. Séries de Taylor. f pxq ` k? kx k pk q! e fpxqdx C `. f p8q p {3q 38 8!!? 3. (a) 3x k 3 `3x `, x ă `? kx k` pk `q! f pkq p0q 3 pkq! e f pnq p0q 0 se n não é múltiplo de. Mínimo (b) p 9q k x k 9x `, x ă {3, f pkq p0q p 9q k pkq!, f pk`q p0q 0, Máximo (c) (d) (e) p q k x k` x x `, x ă {, f pkq p0q p q k k! k k`xk` x p 9q 9 x3 9 `, x ă 3, f pkq p0q 0, f pk`q pk `q! p0q p 9q k` p q k kpk q x k x 3x 3 `, x ă f p0q 0, f k p0q p qk kpk qk! pk ą q, Mínimo (f) ln5 ` xk` 5 k` ln5 x pk `q 5 x 50, f pkq q! p0q pk 5 k k (g) k`xk` x3 ` x `, x ă, f p0q f p0q 0, f pkq k!pk q p0q k, não é extremo (h) k (i) ln3 ` (j) (k) (l) p q k xk` 3 k` x pk `q 3 x3 7 `, x ă 3, f pkq p0q 0, f pk`q p0q p qk pkq! 3 k` p q k xk` 3 k` ln3 ` x pk `q 3 x 8 `, x ă 3, f rkq p qk pk q! 3 k k ` xk`, x ă p q k x k`, x P R, mínimo k! p q k k ` xk`, x ă, mínimo 3

2 . (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) (t) (u) p q k x8k`, x P R, mínimo pk `q! p q k k x k`, x P R pkq! ˆ k! ` p q k x k, x P R, máximo pkq! plnq k x k, x P R k! p q n nx n, x ă n nx n, x ă n p q n n` x n`3, x P R, não é extremo pn `q! n x n`, x ă, mínimo p q n n ` x3n`, x ă, mínimo (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) e n n! xn, x P R p q n x n`, x ă p q n pnq! px `qn, x P R, máximo p q n xn`, x P R n!pn `q p q n xn`3, x P R, não é extremo pn `q!pn `3q p q n xn`6, x ă, mínimo pn `qpn `3q p q n nx n, x ă p q n n` px qn, x ă p q n n ` xn`, x ă, mínimo p q n n ` xn`, x ă, mínimo

3 (k) (l) 5. fpxq 6x 9 x, x ă? 3{ x e n! px qn`, x P R p q n n` pn `q px qn`, x ă x (a), x ă (b) `x 3 x, x ă (c) x 9 3x, x ă? 3 x (d) 8 x, x ă (e) ex, x P R (f) e x{3, x P R (g) e x, x P R (h) senpx `q, x P R (i) cospx q, x P R (j) e x, x P R (k) xe x{, x P R (a) Sugestão: comece por pôr um x em evidência e primitive (b) Sugestão: comece por derivar 8. (a) R 3, s,r (b) gpq 0, g pq {p8? q, x `g pxq ` px q ` n? n 3 n xn 9.* Sugestão: escreva a função como uma série de potências na origem, primitive a série e note que após substituir nos extremos a série resultante é alternada. (a) (b) (c) (d) 0.* (a) Sugestão: considere x constante, escreva a série de Taylor de e xt na origem e primitive. (b) Sugestão: escreva a série de Taylor de t e xt na origem e primitive. 5

4 II. Métodos de primitivação.. 3. Primitivação por partes. (a) 5. (a) xe x ` ex e x (b) senx xcosx (c) ex psenx cosxq (d) e x px 3 `3x `6x `6q (e) px `qcoshx xsenhx (f) xarctanx lnpx `q (g) xarcsenx ` a x (h) 3 x3{ lnx 9 x3{ (i) px `qarctanx x (j) px `q arctanx ˆ (k) xln x ` (m) x`ln x lnx ` `lnpx `q (o) senpxqlnptanxq x x3 x (l) x 3` 3 ln x 9 lnx ` 7 (n) x`ln 3 x 3ln x `6lnx 6 (p) cospxqlnp `senxq `cospxq `x (q) p x q 3{ arcsenpxq 3 x3 `x (r) xlnx lnpx `q x ` (s) `cospxqsenhpxq `senpxqcoshpxq (t) 3x psenx `ln3cosxq `ln 3 (u) 3 x3{ arctanp{? x q 3 lnpx `q ` 3 x (v) 3 x3{ arctanp? x q ` 3 lnpx `q (w) x`senplnxq `cosplnxq xn` xn` (x) n ` lnx pn `q (b) Sugestão: (c) (a) ex px q (b) x sen x cos x p `x q k p `x q k x p `x q k. (a) pln q (b) (c) pπsenhp{q q{p `π q (d) ln 6. Sugestão: use integração por partes. 3 x 6

5 Primitivação de funções racionais (a) ln x (b) px 3q (c) lnpx `q `arctanx (d) ln` ` px q `arctanpx q (e) lnpx `q ` arctanpx{q (f) arctanpx `q (g) x` ` px`q (h) lnpa `x q ` a arctanpx{q (i)?3 arctan`px `q{? 3 (a) ln x ln x ` (b) ln x `ln x x (c) ln x `lnpx `q ` arctanpx{q (d) {x ln x `ln x (e) x ` x ` ln x (f) {px `q `ln x ` ln x ` (g) x `{px `q `ln x ` (h) x ` ln x ln x ` arctanx (i) `ln x ln x ` `lnpx `q `arctanp x q (j) ln x `lnpx `x `q arctanpx `q (k) px q px q (l) {px `q `ln x ` `ln x 3 (m) {px `q ` ln x ln x ` (n) 5 ln x ` 0 lnpx `q ` 5 arctanx (o) ln x {px q (p) ln x 3 {px `q (q) lnpx `x `q `ln x ` (r) ln x ` `lnpx `x`q? arctan`x`? px q `ln x xpx `q 3 Mudança de variável (a) π{ d p?3qp `?q (b) ln p `?3qp?q (c)?3 ` π 6 (d) ln 3 (e) π 8 ` ln (f) lnp5{7q (a) ln? x ` `ln x ` `arctan? x (b) arctan? x (c) lnˇˇ?x `ˇˇ lnˇˇ `?x `ˇˇ (e) lnˇˇ? x `ˇˇ lnˇˇ `? x `ˇˇ `arctan? x ` (f) arcsenpe x{ q (d)? x 3 3? x `6 6? x 6lnp 6? x `q (g) {pe x `q ln ex ` ` ln ex (h) ln? `e x ln? `e x ` (i) ln lnx ` ln lnx (j) ln lnx ln lnx (k) senx ln senx ` ln `senx (l) ln secx `tanx (m) cos x ln senx ` ln `senx (n) ln senx ln senx ` (o) ln cosx ln cosx (p) arctanpcosxq (q) senx ln senx ` ln `senx (r) cosx` ` ln cosx ln `cosx (s) arctanpsenhxq (t) 5 x 0 lnpsec xq ` 5 ln tanx ` (u) `xa x `arcsenx (v) p x q 3{ {p3x 3 q (w) a x {x (y) ln`x ` ax ` (x) arcsen? x (z) px qa x ` lnpa x `xq

6 . (a) sec 3 tdt (b) xa `x ` argsenhx (c) secptqtan ptqdt px ě q (d) xa x argcoshx px ě q (e) sent dt (f) t dt (g) sent dt (h) t dt (j) t ` dt (k) dt px ě q 3. (a) (b). Sugestão: comece por integrar por partes. Exercícios suplementares (i) (l) 8 senht dt dt px ě q cosht 5. Sugestões: (a) por partes seguido de t x (b) Fórmulas trigonométricas (c) Por partes (d) t lnx (e) Por partes (f) Fracções simples (g) t lnx (h) t {x (i) t senx (j) t lnx (k) u px `q, v arctan x (l) Por partes (m) t cosx (n) t cosx (o) Por partes duas vezes 6. Sugestões: (a) (b) t e x (c) Separe numa soma (d) Fracções simples (e) t? x (f) Por partes (g) t cosx (h) Por partes (i) t arctanx (j) Por partes (k) Por partes (l) Por partes (m) Por partes (n) t e x (o) Fracções simples