Eletromagnetismo I. Preparo: Diego Oliveira. Aula 19. A Lei da Indução de Faraday

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1 Eletromagnetismo I Prof. Dr. R.M.O Galvão - 2 Semestre 2014 Preparo: Diego Oliveira Aula 19 A Lei a Inução e Faraay Na aula passaa iscutimos a força eletromotriz ε = E l em um circuito e mostramos que se o circuito se move através e um campo magnético, surge uma força eletromotriz evio à força magnética f +q v B sobre as cargas. Hoje vamos iscutir em maior etalhe a questão a força eletromotriz em circuitos em movimento, a partir a Lei e Faraay. ε = E l = φ m φ m = B ˆnS Quano queremos escrever esta lei na forma iferencial, utilizamos primeiro o Teorema e Stokes, para escrever ε = E l = E) ˆnS = S( B ˆnS S Agora, há uma passagem sutil, mas muito importante, para a qual às vezes não amos a evia importância: se o circuito, e a superfície S estiverem fixas, a variação o fluxo magnético com o tempo só poe ser evio à variação o campo magnético com o tempo, 1

2 e forma que poemos passar a erivaa temporal para entro a integral, S ( E) ˆnS = S t ˆnS e, como a superfície S é arbitrária E = B t S [ E B t ] ˆnS = 0 É importante então ter presente que, escrita nessa forma iferencial, a Lei e Faraay relaciona os campos E e B meios em um mesmo referencial. Da mesma forma, na expressão a Força e Lorentz, F = q( E + v B) a velociae v é a velociae a carga meia no mesmo referencial em que os campos E e B são meios. ircuito em Movimento Suponhamos agora que tenhamos um circuito se moveno em relação ao campo magnético, ou seja, o campo magnético e sua variação temporal são meios no referencial o laboratório e queremos eterminar a força eletromotriz em um circuíto se moveno no laboratório. Isto é inicao na figura; toos os pontos o circuito se eslocam com uma velociae u em relação ao campo magnético B( r, t), meio no laboratório. omo expressar a Lei e Faraay neste caso? Primeiramente, temos que entener o significao a força eletromotriz para um circuíto em movimento, A força eletromotriz é a integral no circuito completo o campo elétrico que coloca as cargas em movimento, no referencial o circuito. Portanto, é melhor 2

3 escrever ε = E l one E é o campo elétrico meio no referencial o circuito. Assim, se o circuíto estiver se eslocano em um campo magnético, E e B não estão seno meios em um mesmo referencial. Neste caso, escrevemos a Lei e Faraay como ε = E l = B ˆnS S e neste caso o fluxo magnético através o circuito varia tanto evio a uma variação explícita em B com o tempo como evio ao movimento e S com relação B. Vamos então calcular a erivaa temporal o fluxo usano a sua efinição φ m [ ] 1 = lim B( r, t) S B(t) S t 0 t S 1 S 1 omo S se move no campo B, para calcular a variação e fluxo evio a S varrer iferentes valores o campo magnético, temos que levar em conta uma importante proprieae este, B = 0 ( B)τ = B ˆnS = 0 S Vamos aplicar este teorema ao volume formao por S 1, S 2 e a superfície lateral varria por S, em seu eslocamento e t t + t, lembrano, no entanto, que a Lei e Gauss para B se aplica num instante fixo S B ˆnS = B(t) S 2 B(t) S 1 B(t)( u T l) = 0 S 2 S 1 one B(t) significa o campo meio no instante t. A última integral foi escrita notano que u t l á o móulo o elemento e superfície na superfície lateral. Por outro lao seu sentio é para entro a superfície enquanto que, no Teorema e Gauss, a normal à superfície tem que apontar para fora a superfície. Finalmente, para integrar so- 3

4 bre toa a superfície lateral temos que integrar sobre o perímetro e sua base obteno a última integral na expressão acima. Então B(t) S 2 B(t) S 1 = S 2 S 1 B(t) ( u t l) Mas, para calcular a variação o fluxo magnético, temos que consierar B poe também estar variano explicitamente com o tempo, ou seja, B(t + t) B(t) + B(t) t +... t Então a expressão para a erivaa temporal o fluxo magnético fica φ m [ ] 1 = lim B(t) S 2 + t t 0 t S 2 S 2 t S B(t) S 1 S 1 mas B(t) S 2 B(t) S 1 = t S 2 S 1 B ( u l) = t ( B u) l então e φ m = S t S ( u B) l ε = E B l = t S + ( u B) l Que é a Lei e Faraay na forma integral para circuitos se moveno em um campo magnético. Naturalmente, poemos sempre utilizar a Leie Faraay na sua forma original E l = φ m se calcularmos eviamente toas as variações o fluxo, Mas isto nem sempre é eviente e, nesses casos, a outra formula, aplicaa corretamente, evita contraições. Vamos agora ver alguns exemplos. 4

5 Ex.1: Um circuito retangular e uas partes e área A esta imerso em um campo magnético constante B, perpenicular a seu plano. Inicialmente a chave S está fechaa, curto-circuitano o meior V. Quano a chave for aberta, qual será o valor a força eletromotriz meia por V? Resposta usual: ε = φ m t = 0 : t = t : φ m = B A φ m = 2B A one t é o tempo e abertura a chave. ε = 2B A B A t = B A t Mas acontece que esta resposta está erraa, porque só se trocou um circuito pelo outro sem que houvesse aumento ou iminuição e fluxo através eles. Resposta orreta: B ε = t S + ( u B) l; t = 0; u = 0 ε = 0! Ex.2: Uma barra conutora se esloca paralelamente a um fio infinto, ao qual é perpenicular. A barra tem comprimento l e sua extremiae mais próxima o fio está a uma istância ele seno a corrente no fio I e a velociae a barra u. alcule i) a força eletromotriz esenvolvia nas extremiaes a barra. 5

6 ii) a força necessária para mantê-la com velociae constante i) A barra se esloca no campo magnético o fio, ao por B = µ 0I 2πR êθ em torno o fio. Poemos calcular a força eletromotriz inuzia utilizano a expressão e variação total o fluxo magnético, ou a expressão explícita que erivamos. Vamos começar pela última Neste caso: ε = E B l = t S + ( v B) l t = 0; B = µ 0 I /2πr ê θ ; v = uê z ; e l = r ê r ε = E l = +l u µ 0I 2πr ( ê r ) r ê r ε = µ 0Iu 2π +l r r ε = µ 0Iu 2π ln + l O sinal negativo e ε inica a corrente elétrica apontará no sentio oposto que escolhemos para l. Vamos agora erivar o mesmo resultao usano a variação e fluxo. Neste caso a barra não forma um circuito fechao. Mas a Lei e Faraay se aplica a qualquer contorno fechao, tenha ele um conutor ou não! Então vamos consierar como o contorno o retângulo varrio pela barra ese o ponto z = 0, e one ele partiu. O fluxo magnético é ao por φ m = µ0 I B S = 2πr êθ( ê θ )(ut)r 6

7 one consieramos S = zr ( ê θ ) pela convenção a regra a mão ireita, tomano em conta o sentio que aotamos para l. Então φ m = µ 0Iu 2π +l r r = µ 0Iu 2pi ln + l e ε = µ 0Iu 2pi ln + l O sinal e ε eu oposto o anterior porque l foi agora aotao no sentio posto, sobre a barra. ii) omo a barra não esta ligaa a um conutor, não circulará corrente e, portanto, i = 0 f m = i l B = 0 A força eletromotriz aparecerá como uma tensão nos terminais a barra. Ex.3: Uma barra e comprimento l gira em um campo magnético uniforme B = Bê z com velociae angular constante ω. Qual é o valor a força eletromotriz inuzia entre suas extremiaes? a) Vamos primeiro calcular ε utilizano a forma que separa explicitamente a força eletromotriz o movimento ε = S t ˆnS + ( u B) l, l = r ê r t = 0; u = r ωê θ ( u B) l = ωbrr ε = ωb l 0 rr ɛ = 1 2 Bl2 ω b) Para utilizar a forma envolveno a variação to- 7

8 tal o fluxo, ε = B ˆnS. temos que efinir uma área. onsieramos a área o setor circular OAB, supono que a barra passe pelo eixo θ em t = 0. Para o sentio que escolhemos para l, utilizano a regra a mão ireita temos que ˆn = ê z. Então B ˆnS = B Então: θ l 0 0 ê z ( ê θ )rrθ = 1 2 Bl2 θ ε = φ m = 1 θ Bl2 2 ε = 1 2 Bl2 ω o mesmo resultao, naturalmente. 8