Estudar o logaritmo natural. Fazer aplicações da primitiva da função logarítmica.

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1 Aula O logaritmo natural Objetivos Estuar o logaritmo natural. Fazer aplicações a erivaa a função logarítmica. Fazer aplicações a primitiva a função logarítmica. Na aula passaa vimos a conhecia fórmula para o cálculo a primitiva a função y = r, que é aa por r = r+ + C, r. r + Resta-nos saber o que acontece quano r =, ou seja, o que evemos fazer para encontrar a primitiva ou antierivaa e y = =. Esta aula é eicaa a efinir e a estuar as proprieaes essa importante função chamaa logaritmo natural (ou neperiano) e inicaa por y = ln. O logaritmo natural O gráfico e y =, para t > 0, é conhecio o leitor t Fig.. 23

2 232 Cálculo - aula UFPA e está esboçao na figura., seno um ramo e uma hipérbole equilátera. Para > a integral t t representa a área sob a curva y = e acima o eio ot, entre os valores t t = e t =. Veja figura.2. Fig..2 Para 0 < < a integral acima poe ser escrita como t t = t t, e assim, neste caso, esta última integral representa a área sob a curva, limitaa inferiormente pelo eio ot, entre t = e t =, preceia o sinal negativo. Veja a figura.3. Se =, a integral á zero. Fig..3 Poemos, então, efinir a função logaritmo natural a seguinte maneira. Definição 2. Definimos a função logaritmo natural, ln : (0, + ) R por ln = t, para t > 0. t

3 UFPA Cálculo - aula 233 Deve-se observar que a integral t t eiste, pois a função t é contínua para t > 0, one se conclui que a integral que efine a função logaritmo está bem efinia, lembrano que qualquer função contínua, efinia em intervalos fechaos e limitaos, é integrável. Esta maneira, aparentemente não-natural, e efinir a função logaritmo natural tornar-se-á clara à meia que formos avançano no seu estuo. Em virtue o teorema funamental o Cálculo, temos que ln é erivável e (ln ) = (ln) () =, para > 0. Portanto, o logaritmo natural é uma primitiva ou antierivaa e, somente para > 0. Uma primitiva no caso em que 0 será construía futuramente. Listaremos, a seguir, algumas proprieaes a função logaritmo natural as quais começarão a tornar claro o porquê e chamarmos tal função e logaritmo. Proprieae. ln = 0, porque ln = Proprieae 2. Se >, então ln > 0. t = 0. t Isto é claramente verae em virtue e integrais e funções positivas serem positivas e assim t representará a área sob o gráfico t e t e acima o eio o, para t variano e até. Proprieae 3. Se 0 < <, então ln < 0. Isto se segue o fato ln = t t = t t. e e que a integral t t representa a área sob o gráfico e t e acima o eio o, para t variano e até. Proprieae 4. (ln ) = Isto se segue os seguintes fatos: Se > 0, temos que = e assim (ln ) = (ln ) =.

4 234 Cálculo - aula UFPA Se < 0, temos que = e aí (ln ) = (ln( )). Fazeno u = > 0, e usano a regra a caeia, obtemos (ln( )) = u (ln u) u = u ( ) = u =. Proprieae 5 ln uv = ln u + ln v Inicialmente, observemos que (ln(a)) = a (a), em virtue a regra a caeia. Dessa forma, (ln(a)) = a a =. Isto nos iz que as funções ln e ln(a) possuem erivaas iguais. Conseqüentemente, ln(a) = ln + K, para alguma constante K. Daí, quano =, obteremos Conseqüentemente, ln a = ln + K = 0 + K = K. ln(a) = ln a + ln. Fazeno a = u e = v, obtemos a fórmula pretenia. ( u ) Proprieae 6. ln = ln u ln v v Esta proprieae segue-se a anterior a seguinte maneira: ( u ) ( u ) ln u = ln v v = ln + ln v, v one Proprieae 7. ln ( ) = ln v v ( u ) ln = ln u ln v. v Na proprieae anterior, façamos u = para obter ( ) ln = ln ln v = ln v. v

5 UFPA Cálculo - aula 235 Proprieae 8. Se r for um número racional e um número positivo, então ln( r ) = r ln. Pela regra a caeia (ln(r )) = r (rr ) = r = (r ln ). Deste moo, como as funções ln r e r ln possuem erivaas iguais, elas iferem por uma constante, ou seja, eiste uma constante K tal que ln( r ) = r ln + K. Fazeno =, obtém-se ln = r ln + K e ese que ln = 0, concluímos que K = 0 e então ln( r ) = r ln. Proprieae 9. A função ln é crescente. Basta observar que (ln ) = > 0 ese que > 0. A proprieae segue-se o fato e que, se a erivaa e uma função for positiva, então ela será crescente. Proprieae 0. O gráfico a função ln é côncavo para baio. Basta observar que 2 (ln ) = 2 Proprieae. 2 < ln 2 < (ln ) = ( ) = 2 < 0. Observemos a figura.4 e conclua que a área sob o gráfico e f() =, entre = e = 2, e acima o eio o é maior o que a área o retângulo com base [, 2] e altura 2, que é que, por sua vez, é 2 menor que a área o retângulo e base [, 2] e altura, a qual é. Fig..4

6 236 Cálculo - aula UFPA Mais precisamente, 2 < Portanto, Proprieae lim ln = + + <, ou seja 2 2 < <. < ln 2 <. Seja k um inteiro positivo qualquer. Então, para > 2 2k, teremos ln > ln(2 2k ) pois a função ln é crescente. Assim, ln > ln(2 2k ) = 2k ln 2 > 2k ( ) = k. 2 Portanto, como +, temos que ln ecee qualquer número inteiro positivo k, o que implica que Proprieae 3. lim ln = 0 + lim ln = +. + Façamos u = e observemos que 0+ se, e somente se, u +. Portanto lim ln = 0 + lim ln u + ( ) = lim ( ln u) = lim ln u =. u u + u + Proprieae 4. g () = ln g() + C g() Isto se segue a Regra a Caeia e o seguinte fato (ln g() ) = g () g() bastano observar que g () g() = (ln g() ) = ln g() + C. Esta proprieae poe ser reescrita como: Façamos u = g(), o que nos permite concluir que u = g () e aí g () u g() = = ln u + C = ln g() + C. u

7 UFPA Cálculo - aula 237 Observemos que as proprieaes o logaritmo listaas até agora nos fazem tirar algumas conclusões importantes que serão utilizaas na aula 2 e verificar que o seu gráfico é esboçao na figura.5. Fig..5 Na figura.6 encontra-se esboçao o gráfico a função ln. Fig..6 Antes e resolvermos alguns eercícios, introuziremos uma técnica em que usamos a erivaa o logaritmo, com algumas e suas proprieaes, a fim e facilitar o cálculo a erivaa e funções que, sem essa ajua, tornaria o nosso trabalho bastante áruo. Tal técnica é chamaa erivação logarítmica. 2 Derivação logarítmica Ilustremos esse métoo por meio e eemplos. Eemplo 0. Derivemos a função y = ( 3 2 ) 3 (cos 2) 4. Calculano o logaritmo e ambos os membros a epressão acima, obtém-se ln y = ln( 3 2 ) 3 + ln(cos 2) 4. Daí, ln y = 3 ln( 3 2 ) + 4 ln(cos 2)

8 238 Cálculo - aula UFPA e erivano ambos os seus membros y y = 3 3 ( 6) cos 2 ( sen 2) (2) = 8 3 8tg2. 2 Conseqüentemente ( ) 8 y = ( 3 2 ) 3 (cos 2) 4 + 8tg Eemplo. Calcule a erivaa e logo, y = ( 2 ) 2. ( + 2 ) 2 Usano a erivação logarítmica, obtemos ln y = ln + 2 ln( 2 ) 2 ln( + 2 ). y y = + 2 ( 2) (2) = e, após algumas manipulações algébricas, obtém-se y = ( )( 2 ) ( + 2 ) 3/2. Com a introução a função logaritmo poemos consierar uma nova técnica e integração chamaa integração por frações parciais. 3 Integração por frações parciais A técnica e integração por frações parciais consiste em eterminar primitivas e funções racionais ecompono tal tipo e funções em soma e funções racionais mais simples e cujas primitivas sejam calculaas facilmente. Comecemos com um eemplo simples. Eemplo 2. Calculemos a integral 2. A iéia é ecompor a função racional 2 = A + 2 B + na forma

9 UFPA Cálculo - aula 239 em que A e B são constantes a ser eterminaas. Dessa última igualae obtém-se 2 = A + B + = A( + ) + B( ) ( )( + ) Daí, por uma simples comparação, tem-se A + B = 0 A B = = (A + B) + A B. 2 que é um sistema linear cuja solução é A = 2 e B = 2. Portanto, 2 = Integrano ambos os membros essa última igualae 2 = 2 2 +, one 2 = 2 ln ln + + C. 2 Se quisermos simplificar esta última epressão, obteremos = ln 2 [ K + /2], em que C = ln K. Verifique a valiez essa última igualae. Eemplo 3. Calculemos a integral Usemos um proceimento semelhante àquele o eemplo anterior e escrevamos = A + B + 2 observano que = ( )( + 2). Após um cálculo simples chegamos a A = 2 3 e B = 7 3. Assim = = 2 3 ln + 7 ln C. 3

10 240 Cálculo - aula UFPA Eemplo 4. Em alguns casos o polinômio que figura no enominaor não poe ser ecomposto em fatores e primeiro grau reais, pois as suas raízes são compleas. Em virtue isso, evemos usar outra estratégia. Vejamos o que acontece com a integral Observemos que o trinômio o seguno grau não possui raízes reais pois o seu iscriminante é negativo. Verifique isso. No entanto, ele poe ser escrito na forma = = ( + ) 2 + e a integral em estuo se apresenta como = ( + ) 2 +. Neste ponto o estuante eve recorar a integral u = arctan u + C. u 2 + Portanto, fazeno u = + tem-se u = e assim = ( + ) 2 + = u = arctan u + C = u 2 + u = arctan u + C = arctan( + ) + C. u 2 + Eemplo 5. Vejamos a integral + ( + ) 2 +. O que fazer com essa integral? Observe que poemos fazer a muança e variáveis u = + e obter + ( + ) 2 + = u u 2 + u = 2u 2 u 2 + u. Nesta última integral o numeraor o integrano é eatamente a erivaa a função que figura no enominaor, e moo que + ( + ) 2 + = 2u 2 u 2 + u = 2 ln(u2 + ) + C = 2 ln(u2 + ) + C = 2 ln( ) + C.

11 UFPA Cálculo - aula 24 4 Eercícios resolvios. Calcule a erivaa e ln(5 + 3). Solução. Usano a regra a caeia (ln(5 + 3)) = (5 + 3) = Calcule a erivaa e ln. Solução. Usano a regra a caeia 3. Calcule a integral ( ln ) = (ln ) 2 = 2 (ln ) 2 (ln ) = 2 (ln ) 2 = 2 ln Solução. Basta observar que fazeno g() = 2 + obtemos g () = 2. Daí 2 ( = + ) 2 + = ln C = ln( 2 + ) + C. 4. Calcule a integral tg. Solução. Observemos que tg = sen cos = sen cos. Fazeno g() = cos tem-se g () = sen e assim sen cos tg = cos = = ln cos + C. cos Calcule Solução. Para calcular a integral acima basta acompanhar os cálculos abaio, justificano as passagens = = 6 ln C.

12 242 Cálculo - aula UFPA 6. Calcule ln, > 0. Solução. Calculemos essa integral usano a técnica e integração por partes. Para isso, façamos u = ln e v =, e moo que u = e v =. ln = ln = ln + C. 7. Calcule ln. Solução. Faça u = ln, o que nos á u = e assim ln = 8. Calcule a integral Solução. Escrevamos 2 9. uu = u2 2 + C = (ln )2 2 + C. 2 9 = ( 3)( + 3) = A 3 + B + 3. Assim, = A( + 3) + B( 3) e aí A = 6 e B = 6. Portanto, 9. Calcule a integral 2 9 = = 6 ln C 6 = 6 ln C ( + 2)( + 3). Solução. ( + 2)( + 3) = A B.Assim, = A( + 3) B( + 2) e aí A = 2 e B = 3. Logo, = 2 ( + 2)( + 3) = 2 ln ln C = ln ( + 3) 3 ( + 2) 2 + C

13 UFPA Cálculo - aula Calcule a integral 5 2 ( + ) 5 Solução. 2 ( + ) = A + B + C. Assim, 5 = A( + ) B( + ) + C 2 e aí A = 6, B = 5 e C = 6. Conseqüentemente, ( + ) = Eercícios propostos. Encontre as erivaas as funções. (a) y = ln( + 3) 2 (b) y = (ln( + 3)) 2 (c) y = ln(sen 5) () y = ln( ) (e) y = ln (f) y = ln Calcule as seguintes primitivas. (a) 7 8 (b) 9 (c) ln sen 3 () cos (e) 3 ln (f) (g) ( ) = 6 ln ln + + C = 6 ln C. 3. Encontre a área sob a curva y = e = 4. e acima o eio o, entre = 2

14 244 Cálculo - aula UFPA 4. Calcule a integral (2 + 3) Resolva a equação 2 ln = ln(2). 6. Calcule a integral Mostre que ln <, para too > 0.

15 UFPA Cálculo - aula Respostas os eercícios propostos. (a) y = (b) y ln ( + 3) = (c) y cos (5 ) = 5 sin (5 ) () y = + 2 (e) y = ln (f) y = (a) 7 ln + C (b) 9 ln ( 9 ) + C (c) ln (ln ) + C () 3 ln ( cos (3 )) + C 3. ln (e) 2 ln + C (f) 2 (ln )2 + C (g) 2 ln( + ) + C 4 ln(2 + 3) + 3 4(2 + 3) + C 8 ln 7 7. Sugestão: use o que você sabe sobre máimos e mínimos. Nesta aula você apreneu: O que é o logaritmo natural. a fazer aplicação a erivaa a função logarítmica. a fazer aplicação a primitiva a função logarítmica.

16 246 Cálculo - aula UFPA 7 Apênice História os logaritmos Os logaritmos surgiram como um instrumento para simplificar cálculos em que figuravam números muito granes, principalmente aqueles oriunos e meições astronômicas. As proprieaes que simplificavam tais cálculos eram aquelas que transformavam multiplicações em aições e ivisões em subtrações. Muito embora a formalização os logaritmos tenha sio realizaa por John Napier (550-67), um escocês proprietário e terras, que foi o primeiro a publicar, em 64, uma tábua e logaritmos, a sua essência, ao que parece, foi levaa em conta pelos antigos babilônios que consieravam uma tabela em um tablete atao aproimaamente e 888 a.c., aa por Tabela O leitor que analisar e maneira acuraa esta tabela verificará que ela se estene obeeceno a uma regra geral, e moo que a tabela 2 a seguir é uma etensão a tabela Tabela Learn from the Masters, Eitors Frank Swetz, John Fauvel, Otto Bekken, Bengt Johansson, Victor Katz, The Mathematical Association of America, 995

17 UFPA Cálculo - aula 247 e assim, caso queiramos calcular o prouto 32 64, basta observar que 32 correspone ao 5 e 64 correspone ao 6. Somam-se = e verifica-se a linha corresponente ao, na qual figura Assim, = Este foi, essencialmente, o proceimento usao por Napier, que usa progressões aritméticas e progressões geométricas, assuntos bem conhecios os matemáticos o século XVI. Vejamos como proceer. Consieremos uma progressão aritmética começano com 0 e com razão a > 0 e uma progressão geométrica começano com e com razão r > 0 e vejamos a tabela 3, a seguir, Tabela 3 0 r a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a r 2 r 3 r 4 r 5 r 6 r 7 r 8 r 9.. em que se eibe uma corresponência biunívoca entre os elementos as uas colunas aa por 0, a r, 2a r 2, na r n para too n = 0,, 2, Assim, as funções f e g efinias por f(na) = r n e g(r n ) = na são funções inversas uma a outra, e moo que g(r n ) + g(r m ) = na + ma = (m + n)a = g(r n r m ), ou e maneira mais concisa g() + g(y) = g(y). Também ou ( ) r g(r n ) g(r m n ) = na ma = (n m)a = g, r m g() g(y) = g ( ). y

18 248 Cálculo - aula UFPA Poe-se constatar, sem muita ificulae, que toas as regras o logaritmo se verificam, ou seja, g naa mais é o que a função logaritmo conhecia com base r seno a inversa e uma potência. Somente na écaa e 650 foi verificao por Isaac Newton ( ), em seu Waste Book ( ), que a área abaio a hipérbole satisfaz as proprieaes o logaritmo. Posteriormente, em 668, Mercator encontra o logaritmo como uma série aa por log( + ) = Evientemente que o uso os logaritmos como instrumento e cálculo está completamente ultrapassao, ao o avento as calculaoras, computaores, etc. No entanto, sua relevância perura em virtue a função logarítmica, que se presta, em parceria com a função eponencial, a iversas aplicações práticas importantes. Isto ficará eviente, por eemplo, em várias aulas sobre equações iferenciais.