UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL

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1 UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA ELETRÔNICA APOSTILA DE CONTROLE I PAULO ROBERTO BRERO DE CAMPOS Curitiba, outubro de 2010

2 ii

3 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas vii x 1 Introdução aos Sistemas de Controle Introdução Definições Características dos sistemas realimentados Estabilidade Modelamento de um sistema mecânico Aplicação da 2 a lei de Newton Princípio de D Alembert Elementos mecânicos Análise de resposta transitória para sistemas de primeira e segunda ordem Introdução Sistemas de primeira ordem Definição da constante de tempo Sistemas de segunda ordem Definição de constante de tempo para sistemas de segunda ordem, com ξ < Exemplo Especificações de Resposta transitória para sistemas de segunda ordem Resumo iii

4 2.8 Resposta transitória para sistemas de segunda ordem, para um degrau unitário na entrada Efeito dos zeros Resposta natural e resposta forçada Exercícios Erro em regime permanente em sistema de controle com realimentação unitária Introdução Definições Tipo do sistema Ganho Estático (ganho DC) Exercícios Constantes de erro Erro em regime Resumo do erro em regime permanente Exercícios Análise no lugar das raízes Introdução Projeto pelo Lugar das Raízes Introdução Informações teóricas Considerações preliminares de projeto Tipos de compensadores Diretrizes gerais para o projeto do compensador Compensação por atraso de fase (LAG) Compensação por avanço de fase Exemplos de lugar das raízes Diagramas de Bode Introdução iv

5 7 Projeto por BODE Introdução Projeto por BODE utilizando o compensador atraso de fase (lag) Projeto por BODE utilizando o compensador avanço de fase (lead) Exercícios Linearização Introdução Aproximação linear de modelos não lineares Para duas variáveis Exemplo Resumo Diagramas de Nyquist Introdução Qual o objetivo do método de Nyquist? No que se baseia o critério de Nyquist? Princípio do argumento ou teorema de Cauchy Critério de estabilidade de Nyquist Exemplos Definições Sintonia do compensador PID Introdução Informações teóricas Representações do PID Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas contínuos Construção do bloco derivativo puro D Resumo das características do PID Projeto do compensador PID no lugar das raízes Introdução Informações teóricas v

6 11.3 Características do PID Projeto do compensador PID Revisão Compensador PD - proporcional derivativo Compensador PI - proporcional integral I Apêndice 85 A Experimento sobre identificação do pólo mecânico de um motor CC 87 A.0.4 Introdução B Experimento sobre identificação de um sistema térmico 91 B.0.5 Introdução C Experimento: controle de velocidade de um motor DC 97 C.1 Introdução C.2 O sistema a controlar C.3 Procedimentos C.3.1 Montagem do amplificador de potência C.3.2 Projeto e montagem do compensador Proporcional C.4 Circuitos C.4.1 Proteção do transistor de potência D Transformada de Laplace 101 D.1 Introdução D.2 Transformada de Laplace D.3 Teoremas da transformada de Laplace D.4 Transformada Inversa de Laplace (anti-transformada) D.4.1 Expansão em frações parciais D.5 Plano complexo mapa pólos-zeros D.6 Interpretação gráfica dos coeficientes da expansão em frações parciais vi

7 Lista de Figuras 1.1 Controle de temperatura manual Função de transferência em malha aberta com perturbação Função de transferência em malha fechada Sistemas estáveis e instáveis Sistema mecânico, com atrito Sistema mecânico, sem atrito Mola linear, sendo y=deslocamento Amortecedor Sistema massa-mola Sistema massa-mola, sujeito a força externa f Diagrama em blocos Plano s Diagrama em blocos Resposta de um sistema de segunda ordem Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem Diagramas de blocos Diagrama em blocos Função de transferência em malha fechada Erro em regime Erro em regime para entrada rampa Erro em regime para diversos tipos de entradas Função de transferência em malha fechada Compensação atrair o lugar das raízes mais para a esquerda vii

8 5.3 Compensação atraso de fase Compensação avanço de fase Exemplos de lugar das raízes Projeto do compensador atraso de fase Projeto do compensador avanço de fase Função não-linear Percurso fechado no plano s Percurso fechado no plano GH(s) Percurso fechado no plano s a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano GH(s) Fase dentro e fora do contorno C Fase dentro e fora do contorno C Contorno fechado Envolvimento do contorno Direção do contorno Direção do contorno Estrutura de um compensador PID Sistema realimentado com PID Taxa de decaimento da resposta Curva em forma de S Resposta para um sistema integrativo Em malha fechada Estrutura de um compensador PID Sistema realimentado com PID Pólos complexos no plano s Localização dos pólos em malha fechada Sistema com compensador PD Critério de módulo e de fase compensador PD Critério de módulo e de fase compensador PI viii

9 C.1 Amplificador de potência C.2 Sistema de controle com compensador proporcional C.3 TL071 e TL C.4 Circuito snubber para proteção dos transistores D.1 Filtro passa-baixa D.2 Pólos complexos D.3 Plano s D.4 Interpretação gráfica para cálculo de A D.5 Interpretação gráfica para cálculo de A ix

10 x

11 Lista de Tabelas 10.1 Regras Ziegler-Nichols para sistemas não integrativos Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos Regras Ziegler-Nichols em malha fechada Resumo das ações do PID xi

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13 Capítulo 1 Introdução aos Sistemas de Controle 1.1 Introdução Controle é o ato de exercer comando sobre uma variável de um sistema para que esta variável siga um determinado valor, chamado valor de referência. Um sistema projetado para seguir um valor de referência que se altera continuamente é chamado servo ou controle de rastreamento. Um sistema projetado para manter uma saída em um valor fixado, independente de perturbações que possam ocorrer, é chamado um regulador ou um controle de regulação. Na figura 1.1 é mostrado como é realizado o controle de temperatura de um ambiente de forma manual. Um operador fica continuamente verificando a temperatura do ambiente, através de um medidor, e ajusta a tensão aplicada no aquecedor elétrico, para aumentar ou diminuir a potência aplicada à resistência elétrica do aquecedor e com isto aumentar ou diminuir a temperatura do ambiente. Figura 1.1: Controle de temperatura manual

14 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 2 Os sistemas de controle são projetados para desempenhar tarefas específicas, sendo que os requisitos impostos aos sistemas de controle são chamados de especificações de desempenho. Estas especificações podem ser relativas à estabilidade, velocidade de resposta, etc. Nesta apostila serão vistos os conceitos iniciais para se compreender e analisar um sistema de controle. 1.2 Definições Realimentação (feedback) também conhecido como retro-alimentação. Procedimento através do qual parte do sinal de saída é transferida para a entrada, com o objetivo de controlar a saída. Sistema de Controle é um conjunto de componentes físicos conectados ou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmo ou a outros sistemas. Planta é qualquer objeto físico a ser controlador. Exemplo: um motor DC. Processo sequência de fatos ou operações que apresentam certa unidade. Pode ser conceituado como qualquer operação a ser controlada. Exemplos: processos químicos, processos econômicos, processos biológicos. Um processo possui uma entrada, uma saída e realiza uma determinada operação. Assim os termos Planta e Processo podem ser utilizados como sinônimos, mas Processo é sempre mais abrangente que Planta. Sistema é uma combinação de componentes que atuam em conjunto e realizam um determinado objetivo. O conceito de sistemas pode ser aplicado à fenômenos abstratos, dinâmicos, tais como os encontrados em economia. Perturbação (ou distúrbio) é um sinal que tende a afetar de forma adversa o valor da saída do sistema. A perturbação pode afetar qualquer parte de um sistema. Na figura 1.2 é mostrado uma perturbação na saída do sistema. Sistema de controle em malha aberta um sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre a ação de controle. O sistema não faz medições da saída e não há correção do sinal atuante para que a saída seja ajustada conforme o sinal de entrada. O sistema da figura 1.2 é um sistema em malha aberta. Sistema de controle realimentado (malha fechada) é um sistema que mantém

15 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 3 D(s) + R(s) C(s) + Y(s) Figura 1.2: Função de transferência em malha aberta com perturbação uma relação prescrita entre a saída e alguma entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença como um meio de controle. Um sistema em malha fechada é representado pelo diagrama de blocos da figura 3.1. O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser controlado. O bloco H(s) representa o transdutor que fará a leitura da saída do sistema. O bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar alguma característica do sistema em malha fechada. D(s) R(s) + Y(s) K C(s) + G(s) H(s) Figura 1.3: Função de transferência em malha fechada Servossistema é um sistema de controle realimentado em que a saída é alguma posição mecânica, velocidade ou aceleração. O termo servossistema é normalmente usado para indicar um sistema de controle de posição. Sistema regulador automático (regulador) é um sistema de controle realimentado em que a entrada de referência (ou a saída desejada) é constante ou varia lentamente com o tempo e que a tarefa principal consiste em manter a saída real no valor desejado na presença de perturbações. Sistema de controle de processos é um sistema regulador automático em que a saída é uma variável, tal como: pressão, temperatura, fluxo, nível de líquido, PH, etc. Exercícios:

16 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 4 1) Explique o que significam: a) Set-point (valor de referência); b) Sinal atuante; c) Variável manipulada; c) Variável controlada; d) erro; e) off-set; f) tempo morto; 2) Qual o objetivo de se fazer o controle realimentado? 3) Qual a diferença entre servomecanismo e regulador? 4) O que significam representação nominal e representação real da planta? 1.3 Características dos sistemas realimentados Vantagens: 1. Menor sensibilidade a variações nas características dos sistema. 2. Aumento da largura de faixa 3. Exatidão aumentada - capacidade de reproduzir a entrada com fidelidade. 4. Redução do efeito de não-linearidades e distorções. 5. Permite estabilizar sistemas que sejam instáveis em malha aberta. Desvantagem: 1. Instabilidade - tendência para oscilação. O objetivo da disciplina de controle I é inicialmente estudar como representar matematicamente o processo (planta) a ser estudado. Em seguida analisar se o sistema em malha fechada é estável ou não, e o que pode ser feito para estabilizá-lo de forma a obter determinados tipos de respostas. 1.4 Estabilidade Diremos que um sistema será estável se a aplicação de um sinal de entrada limitado resultar em um sinal limitado na saída, como mostrado nos dois primeiros gráficos da figura 1.4. Note que apesar da saída do segundo sistema ser oscilatória, ela ainda é limitada. Este tipo de sistema é dito ser marginalmente estável. Nos dois últimos gráficos da figura 1.4 são mostrados dois exemplos de sistemas instáveis.

17 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 5 Figura 1.4: Sistemas estáveis e instáveis 1.5 Modelamento de um sistema mecânico Um sistema de controle será útil apenas se for estável. Deve-se então buscar alguma forma de estudar a estabilidade de um sistema de controle. Conhecer um sistema é conhecer cada um dos elementos que compõe o sistema de controle. Uma maneira de se obter isto é através do estudo das relações dinâmicas que definem o comportamento de cada elemento. Para isto é necessário fazer o modelamento matemático de cada elemento. O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema precisamente, ou pelo menos, sensivelmente bem. A dinâmica de um sistema, seja elétrico, mecânico, térmico, econômico, biológico, pode ser descrita em termos de Equações diferenciais. Estas equações podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas que governam um sistema particular, por exemplo: leis de Newton para sistemas mecânicos, leis de Kirchoff para sistemas elétricos, etc. A resposta de um sistema dinâmico a uma determinada entrada pode ser obtida se as equações diferenciais envolvidas forem resolvidas Aplicação da 2 a lei de Newton Considere o sistema mostrado na figura 1.5. Um bloco de massa M está se movendo em uma superfície horizontal sob a influência de uma força externa F, sofrendo o impedimento de uma força de atrito D(v), que é função da velocidade. Da segunda Lei de Newton:

18 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 6 Figura 1.5: Sistema mecânico, com atrito F = ma e a = dv dt Como o atrito se opõe à força F : F D(v) = M dv dt dv = F D(v) dt M M Estas equações definem o movimento da massa Princípio de D Alembert Em qualquer instante um corpo em movimento está em equilíbrio dinâmico, ou seja, a soma de todas as forças que agem sobre o mesmo é nula (incluindo a força de inércia que sempre se opõe à aceleração). Exemplo: considere o bloco de massa M se movendo em uma superfície sem atrito, sob a influência de uma força externa f(t), como mostrado na figura 1.6. Para este sistema o somatório de forças é dado por: f(t) = Mÿ = M v = Ma Figura 1.6: Sistema mecânico, sem atrito Elementos mecânicos Massa (M) armazena energia cinética (é um elemento análogo à indutância). Unidade [Kg] Mola linear (k) armazena energia potencial (é um elemento análogo ao capacitor).

19 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 7 Caracterizado pela constante de elasticidade da mola (k), também denominada rigidez da mola. A força da mola depende do seu deslocamento: f(t) = ky(t). O desenho da mola é mostrado na figura 5.1. Amortecedor (b) é um componente que resiste à velocidade imposta. Ele dissipa energia: f(t) = bẏ(t). O desenho do amortecedor é mostrado na figura 1.8. f(t) y Figura 1.7: Mola linear, sendo y=deslocamento y f(t) Figura 1.8: Amortecedor Exemplo 1: Considere um sistema massa-mola, em que inicialmente em repouso a mola tem um comprimento y 0. Isto é mostrado no primeiro desenho da figura 1.9. No segundo desenho, a massa é solta e o sistema atinge um equilíbrio estático. No terceiro desenho é mostrado o equilíbrio de forças. Exemplo 2: Neste sistema será aplicada uma força externa f à massa. As forças presentes neste sistema são mostradas na figura Lembrando que no equilíbrio estático, o sistema estaria na posição y 0 + y. Devido à força f o sistema se desloca x 1 = x + y. O equilíbrio de forças resulta em: f + Mg Mẍ 1 Kx 1 = 0 Substituindo x 1 = x + y, obtem-se: f + Mg Mẍ Kx Ky = 0, sendo que ky = Mg. Resultando então: f + Mg Mẍ Kx Mg = 0, finalmente chega-se a: f = Mẍ + Kx

20 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 8 M y 0 M y 0 y(t) ky M P = Mg Mg=ky Equilíbrio estático Figura 1.9: Sistema massa-mola. y 0 y Ponto de equilíbrio x estático 1 x M f P = Mg kx 1 Mẍ 1 M f Mg Figura 1.10: Sistema massa-mola, sujeito a força externa f A força da gravidade age da mesma forma em qualquer ponto, por isto acaba sendo simplificada. Por esta razão, sempre os sistema mecânicos serão equacionados em relação à posição de equilíbrio estático.

21 Capítulo 2 Análise de resposta transitória para sistemas de primeira e segunda ordem 2.1 Introdução Nesta apostila serão estudadas as respostas transitórias de sistemas de primeira e segunda ordem, analisadas no domínio do tempo. No estudo dos sistemas de controle, as equações diferenciais lineares de primeira ordem e segunda ordem são muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem ser aproximados para estes tipos de sistemas. 2.2 Sistemas de primeira ordem Um sistema de primeira ordem possui a seguinte função de transferência: C(s) R(s) = 1 T s+1 Na forma de diagrama de blocos tem-se: R(s) 1 C(s) T s+1 Figura 2.1: Diagrama em blocos Uma maneira de se analisar uma função de transferência é aplicar um degrau unitário na entrada e observar a resposta na saída. Sendo o degrau unitário R(s) = 1 s, a resposta

22 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 10 será dada por: C(s) = 1 R(s) = 1 1 T s+1 T s+1 s Separando em frações parciais, obtém-se: C(s) = A + B = T + 1 = 1 1 T s+1 s T s+1 s s s+ 1 T Calculando a transformada inversa, obtém-se: c(t) = 1 e t T para t 0 A resposta ao degrau possui a seguinte forma: c(t) t Substituindo t por valores múltiplos da constante de tempo, tem-se: para t = 0, c(t) = 0 para t = T, c(t) = 0, 632 para t = 2T, c(t) = 0, 865 para t = 3T, c(t) = 0, 950, que é a resposta dentro da faixa de 5% do valor final para t = 4T, c(t) = 0, 982, que é a resposta dentro da faixa de 2% do valor final para t = 5T, c(t) = 0, 993, que é a resposta dentro da faixa de 1% do valor final 2.3 Definição da constante de tempo Já foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau é dada por: c(t) = 1 e t τ O valor de t que torna o expoente de e igual a 1 é definido como uma Constante de tempo. Assim: t τ = 1 então t = τ. Assim τ =constante de tempo.

23 A partir da função de transferência: 1 τ UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 11 G(s) = 1 = τs+1 s+ 1 τ Na função de transferência, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola o termo em s, obtem-se 1 τ =pólo. Então o pólo é o inverso da constante de tempo. Exemplo: Considerando a função de transferência G(s) = 100 s+20 : a) Calcule o valor do pólo: o pólo é o valor de s que faz a função tender ao infinito, então pólo=s=-20 rad/s. b) Calcule a constante de tempo: pela definição, constante de tempo = τ = 1 20 = 0, 05s c) Calcule o valor final da saída, aplicando o Teorema do Valor final: f( ) = lim f(t) = lim sf (s) = lim s t s 0 s 0 s + 20 s = 5 d) Calcule o valor final de saída, pela resposta no tempo: separando em frações parciais, obtém-se: C(s) = = A + B = 5 5 s+20 s s s+20 s s+20 Calculando a anti-transformada de Laplace: c(t) = 5 5e 20t Para t =, obtem-se c(s) = 5. e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo é obtida como: 20t = 1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equação do item anterior, c(t) = 3, Sistemas de segunda ordem A equação diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem é dada por: d 2 y(t) dt 2 + 2ξω n dy(t) dt + ω n 2 y(t) = ω n 2 x(t) A constante ξ é chamada Coeficiente de amortecimento (ou razão de amortecimento) A constante ω n é chamada frequência natural não amortecida. A transformada de Laplace com condições iniciais nulas é dada por: Y (s)s 2 + 2ξω n sy (s) + ω n 2 Y (s) = ω n 2 X(s) A função de transferência é dada por: G(s) = Y (s) X(s) = ω n 2 s 2 +2ξω ns+ω n 2 Os pólos da função são dados por:

24 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 12 s = ξω n ± ω n ξ2 1 O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicações de como será a resposta transitória do sistema: 1. Se ξ > 1, o sistema possui dois pólos reais e distintos 2. Se 0 ξ < 1, o sistema possui pólos complexos conjugados, localizados em: s = ξω n ± jω n 1 ξ2 = σ ± jω d 3. Se ξ = 1, o sistema possui duas raízes reais iguais. onde: σ = taxa de decaimento ω d = frequência natural amortecida Resumo: a)0 ξ < 1 sistema sub-amortecido (amortecimento sub-crítico) b) ξ = 1 amortecimento crítico c) ξ > 1 sistema super-amortecido (amortecimento super-crítico) 1 ξ < 1 ξ = 1 ξ > 1 c(t) t Para ξ < 1 o lugar geométrico dos pólos é mostrado na figura s = σ + jω d.... +jω.*. d.. θ θ = cos 1 ξ. σ.. *.. - jω. d.. Figura 2.2: Plano s

25 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Definição de constante de tempo para sistemas t = 1 σ de segunda ordem, com ξ < 1 Neste caso os pólos são complexos conjugados: s = ξω n ± jω n 1 ξ2 = σ ± jω d A função de transferência é dada por: F (s) = ω 2 n (s+σ+jω d )(s+σ jω d ) No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obtém-se: f(t) = A 1 e ( σ jω d)t + A 2 e ( σ+jω d)t = Ae σt sen(ω d t + φ) O termo e σt é denominado taxa de decaimento. Pela definição de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: σt = 1, = τ, desta forma: τ = 1 σ = 1 ξω n Asen(ω d t + φ) e ( σt) c(t) t Exemplo Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ω n = 10rad/s: R(s) + E(s) - ω 2 n s(s+2ξω n) C(s) Figura 2.3: Diagrama em blocos a) Calcule os pólos em malha fechada:

26 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 14 b) Calcule a frequência natural amortecida: c) Calcule a constante de tempo do sistema d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe 2.6 Especificações de Resposta transitória para sistemas de segunda ordem As características de desempenho desejadas de sistemas de controle são especificadas em termos de grandezas no domínio do tempo. Sistemas com armazenamento de energia não podem responder instantaneamente e terão respostas transitórias sempre que sujeitos a alterações na entrada ou sujeitos a perturbações. Frequentemente as características de desempenho de um sistema de controle são especificadas em termos da resposta transitória para uma entrada em degrau unitário, pois esta entrada é fácil de gerar e é suficientemente severa. As seguintes informações são usadas para especificar a resposta no tempo: 1) Tempo de atraso (delay) t d 2) tempo de subida (rise time) t r 3) Instante de pico t p 4) Sobressinal máximo M p 5) tempo de acomodação t s 1) Tempo de atraso (t d ) é o tempo necessário para a resposta alcançar pela primeira vez a metade do valor final. 2) Tempo de subida (t r ) é o tempo necessário para a resposta passar de 10% a 90%, de 5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%. 3) Instante de pico (t p ) é o tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro pico do sobressinal. 4) Sobressinal Máximo ( M p em valor percentual) é o valor de pico da curva de resposta medido a partir do valor unitário, para a saída padronizada.

27 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 15 Figura 2.4: Resposta de um sistema de segunda ordem Se o valor final do regime estacionário de resposta difere da unidade, então normalmente se usa o máximo sobressinal percentual: Mp(%) = c(tp) c( ) c( ) 100% O valor do sobressinal máximo (percentual) fornece indicações da estabilidade relativa do sistema. 5) Tempo de estabilização (acomodação) (t s ) é o tempo necessário para a curva de resposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final (normalmente ±1%, ±2% ou ±5%) O tempo de estabilização está relacionado com a maior constante de tempo do sistema de controle. A escolha de que percentagem usar no critério de erro, pode ser determinada a partir dos objetivos do projeto do sistema em questão. Comentários: Estas especificações são importantes, pois os sistemas de controle atuam no domínio do tempo, devendo apresentar respostas temporais satisfatórias. É desejável que a resposta transitória seja suficientemente rápida e suficientemente amortecida. Para um sistema de segunda ordem a resposta deve estar na faixa: 0, 4 ξ 0, 8. Valores menores que ξ 0, 4 resultam em sobressinal excessivo. Valores maiores que

28 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 16 ξ 0, 8, o sistema responde de forma lenta. 2.7 Resumo 1) Rise-time tempo de subida (t r ) t r(10% 90%) = 0,8+2,5ξ ω n 2) Tempo de pico e sobressinal (t p e M p ) t p = π ω d M p = e πξ 1 ξ 2 (algumas vezes Mp é expresso em valores percentuais (exemplo, M p = 10%), mas na equação deve ser escrito como M p = 0, 10. 3) Tempo de estabilização (t s ) t s1% = 4,6 σ t s2% = 4 σ t s5% = 3 σ 2.8 Resposta transitória para sistemas de segunda ordem, para um degrau unitário na entrada. A figura abaixo mostra as respostas padronizadas para um sistema de segunda ordem. 2.9 Efeito dos zeros Zeros tem um efeito significante na resposta transitória, para sistemas sobreamortecidos, especialmente se eles estão próximos à origem Resposta natural e resposta forçada Quando um sistema dinâmico é sujeito a forças externas na sua entrada, a saída resultante pode ser separada em duas partes: a resposta natural y n (t) e a resposta forçada y f (t).

29 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 17 Figura 2.5: Resposta padronizada para um sistema de segunda ordem A resposta natural é definida como a parte da resposta completa que consiste dos modos naturais do sistema. A resposta forçada consiste de termos adicionais modais que são definidos pela entrada u(t) Exercícios 1) Para os exemplos usados nesta apostila, determine as respostas natural e forçada. 2) Dado os sistemas abaixo, reduza a um único bloco e escreva a função de transferência. 3) Dada a função de transferência F(s)=C(s)/R(s) que representa um sistema em malha aberta, sendo R(s) um degrau unitário, 2.7, determine: a) o valor dos pólos e os localize no plano s; b) tipo de resposta; c) coeficiente de amortecimento (ξ); d) freqüência natural não amortecida (ω n ) e a freqüência natural amortecida (ω d ); e) T r, T s5%, T s2%, T p e Mp; f) constante de tempo. 4) Considere o sistema representado pela função de transferência que possui um zero real em s = 1 α.

30 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 18 Figura 2.6: Diagramas de blocos 9 s 2 +2s+9 Figura 2.7: Diagrama em blocos G(s) = αω2 n s+ω2 n s 2 +2ξω ns+ωn 2 Considerando a resposta no tempo para um degrau unitário, analise as respostas para: a) α = 0; b) α = 1; c) α = 2; d) Comparando com uma função sem zero, α = 0, que termo que aparece devido ao zero? 5) Faça os exercícios propostos na apostila Efeitos de polos e zeros na resposta.pdf que está no site 1/2 sem 2012/Exercicios/. Estes exercícios devem ser entregues ao professor, valendo 0,4 pontos.

31 Capítulo 3 Erro em regime permanente em sistema de controle com realimentação unitária 3.1 Introdução Controle 1 Prof. Paulo Roberto Brero de Campos Um dos objetivos de um sistema de controle é que a resposta na saída siga um determinado sinal de referência, em regime permanente. A diferença entre o sinal de saída e o sinal de referência, em regime permanente, é definido como erro em regime permanente (estacionário). No mundo real devido ao atrito e outras imperfeições e também devido às características do próprio sistema, a resposta regime permanente raramente segue a referência com exatidão. Assim, erro em regime em alguns sistemas reais é inevitável. No projeto de um sistema de controle, um dos objetivos é manter o erro em regime em um valor mínimo, ou abaixo de um valor tolerável, e ao mesmo tempo a resposta transitória deve satisfazer um conjunto de especificações.

32 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Definições Dado um sistema em malha fechada, com realimentação unitária, representado pelo diagrama de blocos da figura 3.1. O bloco G(s) representa a planta ou processo a ser controlado. R(s) + E(s) Y(s) G(s) Figura 3.1: Função de transferência em malha fechada O erro de malha fechada é dado por: E(s) = R(s) 1+G(s)) Para encontrar o erro em regime usamos o teorema do valor final: e(t ) = lim s 0 se(s) O erro em regime de um sistema realimentado depende das características da função de transferência em malha aberta e da entrada de referência. Existem três entradas que são mais utilizadas para teste: entrada degrau, entrada rampa e entrada parábola. Na figura 3.2 é mostrada a resposta do sistema em malha fechada F (s) = para uma entrada degrau unitário, onde G(s) = 1 (s+1)(s+10) figura o erro em regime na saída. KG(s) 1+KG(s), e K = 100, sendo indicado na 3.3 Tipo do sistema Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo com sua habilidade em seguir sinais de entrada em degrau, em rampa, em parábola, etc. Os valores dos erros estacionários devido a estas entradas são indicativos da qualidade do sistema. O tipo do sistema corresponde ao número de integradores existentes na função de transferência em malha aberta G(s). Tipo 0 - não há integrador

33 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 21 Figura 3.2: Erro em regime Tipo 1 - há um integrador Tipo 2 - há dois integradores 3.4 Ganho Estático (ganho DC) O ganho estático de uma função de transferência estável, sem pólos na origem, é definido por: G(0) = lim s 0 G(s) 3.5 Exercícios a) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a função em malha aberta G(s)=1/(s+1). Na entrada é aplicado um degrau unitário. b) calcule o erro em regime permanente, em malha fechada, sendo dada a função em malha aberta G(s)=10/(s+1). Na entrada é aplicado um degrau unitário. 3.6 Constantes de erro Constante de erro de posição (K p ) é uma medida do erro em regime permanente entre a entrada e a saída quando a entrada é um degrau unitário (R(s) = 1/s)

34 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 22 K p = lim s 0 G(s) Constante de erro de velocidade (K v ) é a medida do erro em regime estacionario entre a entrada e a saída do sistema quando a entrada é uma função rampa unitária (R(s) = 1/s 2 ). K v = lim s 0 sg(s) Constante de erro de aceleração (K a ) é a medida do erro em regime permanente, quando a entrada é uma função parábola unitária (R(s) = 1/s 3 ). K a = lim s 0 s 2 G(s) 3.7 Erro em regime Erro de posição é o erro para uma entrada Degrau: e( ) = 1 1+K p Erro de velocidade é o erro para uma entrada Rampa: e( ) = 1 K v Erro de aceleração é o erro para uma entrada parábola: e( ) = 1 K a O termo erro de velocidade é o erro estacionário a uma excitação rampa. O erro de velocidade não é um erro na velocidade, mas um erro na posição do sistema devido a uma entrada em rampa. O erro de aceleração, isto é, o erro estacionário devido a uma solicitação em parábola, é um erro em posição. Figura 3.3: Erro em regime para entrada rampa

35 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Resumo do erro em regime permanente Figura 3.4: Erro em regime para diversos tipos de entradas 3.9 Exercícios Para um sistema em malha fechada com realimentação unitária, sendo G(s) a função de transferência em malha aberta: 1) Considere G(s) = 10/(s + 10). Calcule o erro em regime para as entradas padrões (degrau, rampa e parábola). Qual o tipo do sistema? 2) Considere G(s) = 10/(s(s+10)). Calcule o erro em regime para as entradas padrões (degrau, rampa e parábola). Qual o tipo do sistema? 3) Considere G(s) = 10/(s 2 (s + 10)). Calcule o erro em regime para as entradas padrões (degrau, rampa e parábola). Qual o tipo do sistema? 4) Explique por que o uso de um integrador, gerando um sistema tipo 1, faz com que o erro em regime para uma função degrau seja zero. 5) Calcule o ganho estático das funções: a) G(s) = 1/(s 2 (s+10)); b) G(s) = 100/((s+ 30)(s + 10)).

36 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 24

37 Capítulo 4 Análise no lugar das raízes Introdução Neste capítulo serão vistos os conceitos básicos sobre o lugar geométrico das raízes e como obtê-lo graficamente.

38 LUGAR DAS RAÍZES INTRODUÇÃO O método do Lugar das Raízes é uma forma de se representar graficamente a localização dos pólos do sistema em malha fechada, quando se altera o valor de um parâmetro específico, normalmente o ganho. O método foi introduzido por W. R. Evans, em 1948, e tem sido utilizado largamente no projeto da Engenharia de Controle e Automação. Originalmente, era uma técnica utilizada para determinar o valor numérico dos pólos de um sistema em malha fechada, necessitando-se assim efetuar a construção gráfica da forma mais exata possível. Atualmente, é possível obter os pólos do sistema em malha fechada e desenhar o LGR usando métodos computacionais. Apesar disso, o método do lugar das raízes continua sendo um método de grande utilidade no projeto de sistemas de controle por permitir ao projetista definir adequadamente a estrutura do controlador apropriado a cada sistema. Este método permite obter graficamente todas as soluções possíveis para a equação característica (1 + KGH=0) quando K varia de zero a infinito. Ele fornece o lugar geométrico de todos os pólos do sistema em malha fechada para variações de K de zero ao infinito. MÉTODO LUGAR DAS RAÍZES A função de transferência do circuito abaixo em malha fechada pode ser representada na forma: F(s) = C(s) = G(s) R(s) 1+ G(s).H(s) R(s) + G(s) C(s) - A expressão total é dita função de transferência em malha fechada. G(s).H(s) é chamado função de transferência em malha aberta. O objetivo é determinar PÓLOS da função de transferência em malha fechada, pois eles caracterizam a resposta do sistema. Então a equação a ser resolvida é: 1 + G(s).H(s) = 0 H(s)

39 A qual é chamada equação característica. REGRA 1 EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA Para construir o lugar das raízes, obtenha a equação característica e rearrange na forma: 1 + K (s - z 1 ).(s - z 2 )...(s - z m ) = 0 (s - p 1 ).(s - p 2 )...(s - p n ) Então localize os pólos e zeros do laço aberto no plano S. Exemplo: Considere o sistema: G(s) = K s.(s+1) H(s) = (s+2) (s+3).(s+4) Então: 1 + K. (s+2) = 0 s.(s+1) (s+3).(s+4) Desenhando os pólos e zeros de malha aberta: j x x o x x REGRA 2 PONTOS DE INÍCIO E TÉRMINO DO LUGAR DAS RAÍZES Encontre os pontos de início e término do lugar das raízes. Como nos sistemas reais o número de pólos de malha aberta é maior ou igual ao número de zeros (n m), o lugar das raízes inicia para K = 0 nos pólos de malha aberta e termina em um zero de malha aberta ou no infinito. Existem n ramos, m dos quais irão terminar em um zero, e (n - m) ramos irão terminar no infinito seguindo assíntotas. EXEMPLO: No exemplo anterior, o número de pólos de malha aberta é n=4, e o número de zeros de malha aberta é m=1. Então um ramo terminará em um zero e três terminarão no infinito. REGRA 3 LUGAR DAS RAÍZES NO EIXO REAL Determinar o lugar das raízes no eixo real. Um ponto no eixo real faz parte do lugar das raízes se o número total de pólos e zeros de malha aberta no eixo real à direita do ponto for impar.

40 EXEMPLO: Para o exemplo anterior: x x o x x j REGRA 4- DETERMINAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS Determine as assíntotas do lugar das raízes. (n-m) ramos do lugar das raízes terminam no infinito, seguindo as assíntotas. OS ângulos das assíntotas são: = 180(2N +1) [ N = 0,1,2,... ] n - m Todas as assíntotas interceptam o eixo real no ponto dado por: = (p 1 + p 2 +p p n ) - (z 1 + z z m ) n - m Exemplo: Para o exemplo anterior n-m = 3. Então os ângulos das assíntotas são: = 180(2N +1) 3 Então, os ângulos serão: +180, +60, -60 e interceptam o ponto dado por: = ( ) -(-2) = -2 3 j 180 o +60 o x x o x x -60 o REGRA 5 PONTOS DE ENTRADA E SAÍDA DO EIXO REAL Encontre os pontos de saída e entrada. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois pólos adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de saída. Se o lugar das raízes localiza-se entre dois zeros adjacentes no eixo real, existe no mínimo um ponto de entrada. Se o lugar das raízes está entre um zero e um polo no eixo real, pode não existir nenhum ponto de entrada ou saída.

41 Se a equação característica é dada por: Então a localização do ponto de entrada ou saída será dado por: A'(s).B(s) - A(s).B'(s) = 0 Onde o apóstrofo indica diferenciação com respeito a s. EXEMPLO: Do exemplo anterior a equação característica é: Então: B(s) = s k.b(s) = 0 A(s) 1 + K. (s+2) = 0 s.(s+1) (s+3).(s+4) A(s) = s.(s+1).(s+3).(s+4) = s 4 + 8s s s Então diferenciando com respeito a s: B'(s) = 1 A'(s) = 4.s s s + 12 O ponto de saída obtido foi: s = REGRA 6 CRUZAMENTO COM O EIXO IMAGINÁRIO Encontre os pontos onde o lugar das raízes cruza o eixo imaginário. Os pontos onde o lugar das raízes intercepta o eixo imaginário pode ser encontrado substituindo s=j na equação característica. Igualando as partes reais e imaginárias a zero pode-se achar a solução para K e. EXEMPLO: Do exemplo acima, fazendo s=j : j.(j + 1).(j + 3).(j + 4) + k.(j + 2) = 0 Separando parte real e imaginária: =2.57 e K= K. (j +2) = 0 j.( j +1) (j +3).( j +4) j j =2,57 (k=41) k=0 k=0 k= k=0 k=0 x x o x x

42 REGRA 7 - CRITÉRIO DE MÓDULO Para se obter o ganho k para um determinado ponto do lugar das raízes, pode-se usar a condição de módulo. Da equação característica: 1 + K.G.H = 0 K.G.H = -1 k = - 1/(G.H) Então : k = 1/(G.H) Isto equivale a obter os módulos dos vetores de todos os pólos e zeros em relação à este ponto do lugar das raízes. Exemplo: Ache o ganho onde o Lugar das raízes cruza o eixo imaginário. GH(s) = K.(s+2)/(s.(s+1).(s+3).(s+4)) k = s.(s+1).(s+3).(s+4)/(s+2) onde s=2.57j k = 40,9 De forma gráfica pode-se obter o mesmo resultado: k = s m s -p i s - p 2... = A. B. D. E = 41,2 s-z 1 s - z 2... C A B C D E 2,57 REGRA 8 - CRITÉRIO DE ÂNGULO A condição de ângulo é definida como: G(s)H(s) = (1+2.L).180 para L = 0, 1, 2,... Escrevendo de outra forma: = numerador - denominador = (1+2.L).180 Esta equação pode ser escrita como: denominador - numerador = 180, para L=-1. Esta equação afirma que escolhido um ponto no plano s, é possível verificar se este ponto pertence ao lugar das raízes. Este ponto irá pertencer ao lugar das raízes se o somatório dos ângulos dos pólos em relação ao ponto menos o

43 somatório dos ângulos dos zeros em relação ao ponto for igual a 180 o ou um múltiplo dado por (1+2.L).180. Os ângulos são positivos quando medidos no sentido anti-horário. Esta equação é usada para a construção gráfica do lugar das raízes. Em outras palavras, há valores particulares de s para os quais G(s).H(s) satisfaz a condição angular. Para uma dada sensibilidade de malha, somente um certo número destes valores de s satisfazem simultaneamente a condição de módulo. Os valores de s que satisfazem ambas as condições, angular e de módulo, são as raízes da equação característica. Exemplo: da figura acima: Para os pólos: 1 = 32,50 o 2 = 40,5 o 3 =70 o 4 =90 o Para o zero: 1 =51,5 o então: = = 181,5 o =(1+2L).180 o Pelo resultado o ponto da figura pertence ao lugar das raízes. REGRA 9 ÂNGULOS DE PARTIDA E CHEGADA (pólos e zeros complexos) por: O ângulo de partida ( p ), do lugar das raízes de um pólo complexo, é dado p = arg(gh)' onde: arg(gh)' é ângulo de fase de GH, calculado no pólo complexo, mas ignorando a contribuição daquele pólo particular. Exemplo: GH = K (s+2) (s j)(s+ 1 - j) O ângulo de partida do lugar das raízes do pólo complexo em s= -1 + j é obtido calculando o ângulo de GH para s= -1+j, ignorando a contribuição do pólo em s= -1 + j. O resultado obtido é -45 o. O ângulo de partida é p = = 135 o j -1

44 O ângulo de chegada do lugar das raízes de um zero complexo é dado por: c = arg(gh)' onde: arg (GH)' é o ângulo de fase de GH, no zero complexo, ignorando o efeito daquele zero. Exemplo: GH = k.(s+ j)(s-j) s(s+1) O ângulo de chegada do lugar das raízes para o zero complexo em s=j é c = 180 -(-45) = 225 o 225 o j -1 REGRA 10 MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE, A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES A margem de ganho é o fator pelo qual GH pode ser multiplicado, antes que o sistema de malha fechada se torne instável. Margem de ganho = Valor de K no cruzamento do eixo imaginário Valor atual de K Se o lugar das raízes não cruza o eixo j, a margem de ganho é infinita. Para a margem de fase é necessário encontrar o ponto j 1, sobre o eixo j, para o qual GH(j 1 ) =1, para o valor atual de k, isto é: Gh(j ) =1 K N(j ) =1 D(j ) K = D(j 1 ) N(j 1 ) Geralmente é necessário usar um procedimento de tentativa e erro para localizar j 1. A margem de fase é calculada a partir de arg(gh(j 1 )) como: PM = 180 o + arg(gh(j 1 ))

45 REGRA 11 - RAZÃO DE AMORTECIMENTO A PARTIR DO LUGAR DAS RAÍZES Dado um sistema de segunda ordem: GH = K (s + p1)(s+p2) o fator de ganho K necessário para obter-se uma razão de amortecimento especificado ( ), para o sistema de segunda ordem, é obtido desenhando-se uma linha a partir da origem a um ângulo com o eixo real negativo onde: linha de cte j = cos -1 O fator de ganho do ponto de interseção da reta com o lugar das raízes é o valor requerido de k k para especificado j Para sistemas de ordem mais elevadas, a razão de amortecimento determinada por este procedimento, para um par específico de pólos complexo, não determina necessariamente o amortecimento (constante de tempo predominante) do sistema. Isto só é válido se estes pólos complexos forem dominantes. RESPOSTA TRANSITÓRIA PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM, para um degrau unitário aplicado na entrada.

46 OBS: para sistemas digitais todas as regras vistas anteriormente são válidas. O que muda é a interpretação com relação à região de estabilidade. Exercícios 1.a) Desenhe o lugar das raízes para o sistema abaixo. 1.b) Determine o ganho limite de estabilidade. (s+ 10) (s+ 6) (s - 5)(s + 8) 2 ( s - 1)(s + 2) 2. Para os sistemas abaixo: a) Desenhe o lugar das raízes. 2.b) Determine o ganho limite aplicando o critério de módulo. 2.c) Determine o ganho limite analiticamente. 2.d) Mostre que o critério de ângulo pode ser usado para determinar o lugar das raízes. (s + 2) s (s + 1) ( s +5)(s + 9)

47 Capítulo 5 Projeto pelo Lugar das Raízes 5.1 Introdução Neste apostila serão estudadas formas para se fazer o projeto de um sistema realimentado, utilizando-se o Lugar Geométrico das Raízes, denotado LGR ou, simplesmente, LR. O método do lugar das raízes é uma forma gráfica de se obter as raízes da equação característica (que equivale aos pólos em malha fechada), quando K varia de 0 a infinito. 5.2 Informações teóricas Os sistemas de controle são projetados para desempenhar tarefas específicas, sendo que os requisitos impostos aos sistemas de controle são chamados de especificações de desempenho. Estas especificações podem ser relativas à estabilidade, velocidade de resposta, etc. O objetivo do projeto é posicionar os pólos em malha fechada em um determinado lugar no plano complexo s, de forma que atenda as especificações de desempenho. Algumas vezes apenas o ajuste do ganho permite atender às especificações. Outras vezes será necessário acrescentar um outro sistema na malha de realimentação, denominado compensador ou controlador, para atender às especificações. O sistema em malha fechada representado pelo diagrama de blocos da figura 5.1, no qual o bloco C(s) representa o compensador ou controlador, acrescentado para alterar

48 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 36 alguma característica do sistema em malha fechada. A função de transferência em malha fechada é dada por: F (s) = Y (s) R(s) = KC(s)G(s)H(s) 1+KC(s)G(s)H(s) R(s) + Y(s) K C(s) G(s) H(s) Figura 5.1: Função de transferência em malha fechada Considerações preliminares de projeto O projeto no lugar das raízes é um método de tentativa e erro procurando-se posicionar os pólos em malha fechada em uma determinada região. Sempre no projeto busca-se posicionar um par de pólos na região de interesse de forma que eles sejam dominantes na resposta. Lembre-se que o sistema pode ter um número grande de pólos, mas aqueles que estiverem mais próximos do eixo imaginário irão determinar o tipo de resposta. Efeito da adição de pólos A adição de um pólo na função de transferência de malha aberta possui o efeito de repelir o lugar das raízes. Normalmente o pólo é posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das raízes tenda para o semiplano direito, diminuindo a estabilidade relativa do sistema e aumentando o tempo de acomodação. Efeito da adição de zeros A adição de um zero na função de transferência de malha aberta possui o efeito de atrair o lugar das raízes. Normalmente o zero é posicionado no semiplano esquerdo, e isto faz com que o lugar das raízes tenda para a região que em que o zero se encontra, aumentando a estabilidade relativa do sistema e diminuindo o tempo de acomodação. O

49 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 37 efeito do zero é introduzir um grau de antecipação no sistema aumentando a velocidade transitória. Estabilidade relativa Indica o quanto um sistema está próximo da instabilidade. Existem diversas formas de se fazer esta avaliação. Por exemplo, isto pode ser avaliado pela parte real do pólo, verificando quanto próximo ela se encontra do eixo imaginário. Estabilidade absoluta A estabilidade absoluta indica se um sistema é estável ou não Tipos de compensadores Os compensadores podem ser classificados em três tipos: 1. Compensador PID (proporcional integral derivativo): P ID = K P + K I s + K d s, podendo-se trabalhar com os elementos também de forma isolada, como por exemplo: a) proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + s derivativo: K P + K d s; d) integral: K I s Obs: existem diversas formas de se representar o compensador PID: a) P ID = K P (1 + K I s + K ds); b) P ID = K P (1 + I s + Ds). 2. Compensador avanço de fase (Lead): é um filtro passa alta. Lead = K s+a s+b, sendo que a < b. Isto é o zero está mais próximo da origem, no semi plano esquerdo 3. Compensador atraso de fase (Lag): é um filtro passa baixa. Lag = K s+c s+d, sendo que d < c. Isto é o pólo está mais próximo da origem, no semi plano esquerdo Diretrizes gerais para o projeto do compensador O projeto do compensador é feito pela colocação de pólos e zeros. Como o sistema deve ser causal, o número de pólos deve ser sempre maior ou igual o número de zeros.

50 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 38 Se o compensador tiver um pólo e um zero afastados entre si, ele irá alterar o lugar das raízes. Se o pólo e o zero estiverem muito próximos entre si, eles não alteram de forma significativa o lugar das raízes: a) a contribuição em termos de ângulos do pólo e do zero possuem sinais oposto e se anulam; b) os vetores do ponto em consideração ao pólo e ao zero, possuem praticamente o mesmo valor e se cancelam. Exemplo Uma maneira de se fazer o projeto no lugar das raízes é inserir pólos e zeros para alterar o lugar das raízes para que ele passe por um ponto desejado, de forma que os pólos dominantes definam as características do sistema. Na figura 5.2, no ítem a, é mostrado o lugar das raízes para o sistema G(s) = 1 s(s+1)(s+6) sem compensação. Com o objetivo de tornar o sistema mais rápido, os pólos em malha fechada devem ser posicionados o mais a esquerda possível no semi-plano esquerdo s. Para isto é colocado um zero em s = 1, 5 e o pólo em s = 30. Isto é mostrado no item b, da figura 5.2. Figura 5.2: Compensação atrair o lugar das raízes mais para a esquerda Compensação por atraso de fase (LAG) A forma geral do compensador Lag é: C(s) = K s+ 1 T α = K T s+1 s+ 1 αt s+1, com α > 1. αt No compensador atraso de fase o pólo está mais próximo da origem do que o zero, p < z.

51 Exemplo de compensação por atraso de fase UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 39 Neste projeto a compensação por atraso de fase baseia-se na colocação de um pólo e um zero próximos entre si e próximos da origem. Como eles estão próximos entre si, as contribuições de fase se cancelam e o lugar das raízes original não é alterado. Na figura 5.3 é mostrada a colocação de um compensador atraso de fase no lugar das raízes. A compensação por atraso de fase pode ser usada para alterar o valor do ganho de malha, sem alterar o lugar das raízes. Figura 5.3: Compensação atraso de fase Note que apesar do lugar das raízes não sofrer alteração, o ganho em regime (ganho estático, que equivale ao ganho DC) é alterado. Por exemplo, supondo zero z = 0, 1 e pólo p = 0, 01, tem-se aplicando o teorema do valor final G lag = K s+0,1 s+0,01 = K 0,1 0,01 = K10. O sistema compensado teria um ganho 10 vezes maior que o sistema original. Lembrando que Kp = lim s 0 GH, ao acrescentar o compensador K p = lim s 0 CGH = lim s 0 K s+z GH = k z G(0)H(0). Note que o ganho estático compensado é aumentado pela s+p p relação z p em relação ao sistema original. Isto pode ser útil, quando se quer diminuir o erro em regime, pois aumentar o ganho do sistema significa aumentar a constante de erro em regime permanente (erro estático). OBS: Note que o par pólo-zero muito próximo da origem, pode afetar a resposta transitória. Neste caso, uma das raízes em malha fechada estará próxima do zero do compensador de atraso de fase. A resposta transitória correspondente a esta raiz terá um termo que decairá lentamente, mas que terá uma magnitude pequena porque o zero quase irá cancelar o pólo na função de transferência. Ainda assim, o decaimento será lento e este termo poderá influenciar seriamente o tempo de estabilização. Além disto, o zero não estará presente na resposta a um degrau do torque de perturbação e o transitório

52 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 40 lento será muito mais evidente nesta situação. Devido a este efeito é importante colocar o pólo e o zero do compensador em freqüências o mais alto possível, mas sem causar uma alteração na localização das raízes dominantes Compensação por avanço de fase No compensador avanço de fase o zero está mais próximo da origem do que o pólo, z < p. A forma geral do compensador Lead é: C(s) = K α s+ 1 T s+ 1 αt Exemplo de compensação por avanço de fase (LEAD) = K T s+1 αt s+1, com α < 1. Neste exemplo, o compensador lead é caracterizado por um par pólo-zero ajustável, colocado longe da origem no eixo real negativo. Neste compensador, colocando o pólo bem mais distante do eixo imaginário que o zero, a contribuição angular do compensador é ainda positiva, pois angulo zero > angulo polo. Normalmente o pólo do compensador é colocado bem a esquerda dos outros pólos do sistema. Na figura 5.4 é mostrada uma forma de se fazer o projeto em avanço de fase. O sistema em malha aberta tem pólos em s 1 = 2 e s 2 = 3. Deseja-se colocar os pólos dominantes no ponto P (s = 4 ± j4). Para isto foi colocado um compensador lead. Como tentativa inicial o zero foi colocado em s = 4. O pólo do compensador deverá ser calculado para que θ 1 + θ 2 + θ 4 θ 3 = 180(1 + 2N). Para o exemplo, obtem-se: zero = 4 e polo = 7.6. Só que neste caso, devido à proximidade do zero com os pólos complexos haverá 3 pólos dominantes. Como segunda tentativa, coloca-se o zero em s = 5 e repete-se o processo. Obtendose o resultado desejado com o pólo em s = 9, Exemplos de lugar das raízes

53 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 41 Figura 5.4: Compensação avanço de fase Figura 5.5: Exemplos de lugar das raízes

54 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 42

55 Capítulo 6 Diagramas de Bode Introdução Neste capítulo serão vistos os conceitos básicos sobre os diagramas de Bode e como desenhá-los na sua forma assintótica.

56 DIAGRAMAS DE BODE 1. INTRODUÇÃO Para explicar os diagramas de Bode, vamos fazer, inicialmente, uma análise intuitiva. Dado um sistema realimentado: Figura 1 Erro G(j ) Para que este sistema entre em oscilação, isto é fique instável, duas condições devem ser satisfeitas: 1) O sinal de erro, aplicado em G(s) deve retornar com uma amplitude maior ou igual à original. 2) O defasamento total do circuito deve ser 0 o ou 360 o. Note que o sinal negativo do somador significa um defasamento de 180 o. Devido a isto temos que verificar se o defasamento de G(jw) poderá ser 180 o (pois os outros 180 o são devido ao sinal de menos do somador) ao mesmo tempo em que o módulo de G(jw) será 1. Para fazer a análise da variação da fase e do ganho serão utilizados os diagramas de Bode. Os diagramas de Bode, são compostos por dois diagramas: a) diagrama de módulo em função da frequência e b) diagrama de fase em função da frequência. Para entender como se utilizam estes diagramas, podemos analisar a figura abaixo Diagrama de módulo Margem de ganho Diagrama de fase 0 db 0 º g f Figura º Margem de fase A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes que o sistema fique instável. A margem de ganho pode ser lida diretamente das curvas de Bode, medindo a distância vertical entre a curva de módulo da função GH(j ) e a linha GH(j ) =1, isto é, a linha de 0 db, na freqüência onde GH(j ) =180º. A margem de fase é o numero de graus de GH(j ) acima de -180º, na freqüência de cruzamento de ganho, onde o módulo da função é igual a 1 (ou seja, 0db). A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da

57 função de transferência de malha aberta na freqüência cujo módulo tem o valor unitário, isto é: Margem de fase = [180º + arggh(j g )], onde GH(j g ) =1 e g é chamada frequência de cruzamento de ganho. As margens de ganho e de fase são medidas de estabilidade relativa. Os diagramas de bode são desenhados utilizando-se a função de transferência de malha aberta. Isto é uma vantagem, pois evita termos de calcular a função de transferência em malha fechada. Desta forma será possível fazer a análise do sistema em malha fechada, verificando apenas a função de transferência em malha aberta. Pelo diagrama da figura 1, o sinal realimentado é subtraído do sinal de referência. Este sinal negativo, equivale a defasar o sinal em 180 o. Desta forma para termos um defasamento de 360 o do sistema em malha fechada, e que poderia tornar o sistema instável, resta verificar se a função G(s)H(s) irá causar um defasamento de 180 o (pois os outros 180 o são causados pelo sinal de menos do somador). Através da figura 2 podemos ver que o diagrama de fase terá 180 o no momento em que o módulo for menor que 0 db (isto é ganho menor que 1). Isto significa que o sistema é estável. OBS: A variável complexa s é formada pela soma de um termo real com um termo imaginário: s= + j. Para se fazer a análise da resposta em freqüência deve ser imposta a condição: =0; desta forma tem-se s= j. Isto significa que estamos analisando a resposta do sistema no eixo j, ou seja a resposta em freqüência da função. 2. DEFINIÇÕES DE MF E MG Margem de fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar da instabilidade. A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferencia em malha aberta é unitário, isto é G(j g ) = 1. A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta, na freqüência cujo módulo tem o valor unitário: MF = 180 o + arggh(j g ) Onde arggh(j g ) é o valor da fase na frequência onde G(j g ) = 1. Margem de ganho: é o inverso do módulo G(j ) na frequência onde o ângulo de fase é 180 º. Definindo-se a frequência de cruzamento de fase ( f ) como a frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a 180 o, a margem de ganho é: MG = 1 G(j f ) Margem de ganho é um valor em decibéis que indica o quanto o módulo da função de malha aberta, GH(j g ), está abaixo de 0db, na freqüência cuja fase vale -180º. A margem de ganho, em db, é dada por:

58 MGdB = - 20 log G(j f ) OBS 1: uma margem de ganho positiva (em db) significa que o sistema é estável. Do diagrama de módulo, o valor lido será positivo se for menor que 0db. OBS 2 Uma margem de ganho negativa (em db) significa que o sistema é instável. Do diagrama de módulo, o valor lido será negativo se for maior que 0db. OBS 3: a) Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. b) Para um sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável. 3. DESENHO DOS DIAGRAMAS DE BODE Dada uma função de transferência, a primeira coisa a ser feita é escrevê-la na forma de Bode. G(j ) = K zi (1 + j /z1) (1 + j /z2)... Pi (j ) L (1 + j /p1) (1 + j /p1)... O ganho de Bode é definido como: K B = K zi Pi Para o eixo de frequências (eixo x), utiliza-se uma escala logarítma para que seja possível verificar uma grande faixa de freqüências. Para o diagrama de módulo, será utilizado 20log(módulo(função)). Isto possibilitará somar ou subtrair todos os termos componentes do módulo. Se não fosse utilizado esta forma, seria necessario multiplicar ou dividir os termos. Os diagramas serão obtidos utilizando-se assíntotas. 3.1 Termo constante de bode (K B ) 20log K B Para K B < 0, o modulo não se altera, mas a fase terá a seguinte forma:

59 3.2 Termo pólo na origem G(jw)=1/jw Neste caso o diagrama de módulo tem uma inclinação de 20 db/década, sendo que o ganho vale 0dB para a freqüência = 1. Devido ao operador complexo (j) no denominador temos um defasamento de 90 o. 3.3 Termo zero na origem G(jw)= jw Neste caso o diagrama de módulo tem uma inclinação de + 20 db/década, sendo que o ganho vale 0dB para a freqüência = 1. Devido ao operador complexo (j) no numerador temos um defasamento de + 90 o.

60 3.4 Termo pólo em -p j p A curva assintótica é uma boa aproximação da curva real. A curva assintótica do módulo é desenhada fazendo que o módulo seja 0dB até o valor do pólo e tenha uma inclinação de 20 db/década a partir do valor do pólo. O erro máximo é de 3dB, em =p. A curva assintótica da fase é desenhada marcando-se os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo a fase vale 0 o e acima de 5,0.pólo a fase vale 90 o. No ponto =p a fase vale 45 o. O erro máximo será de 11,3 o nos pontos 0,2.polo e 5,0.pólo. 3.5 Termo zero em -p 1 + j p A curva assintótica é uma boa aproximação da curva real. A curva assintótica do módulo é desenhada fazendo que o módulo seja 0dB até o valor do pólo e tenha uma inclinação de +20 db/década a partir do valor do pólo. O erro máximo é de 3dB, em =p. A curva assintótica da fase é desenhada marcandose os pontos 0,2 vezes o pólo e 5,0 vezes o pólo. Abaixo de 0,2.polo a fase vale 0 o e acima de 5,0.pólo a fase vale + 90 o. No ponto =p a fase vale + 45 o. O erro máximo será de 11,3 o nos pontos 0,2.polo e 5,0.pólo.

61 3.6.Termo pólos complexos 1 + j 2-2 n n Isto é válido para 0 1. Os pólos complexos aparecem sempre em pares conjugados: (s + a + bj)(s+ a bj) O produto dessa equação leva a uma equação da forma: s 2 + xs + y, onde x=2a e y=a 2 + b Termo zero em + p 1 j p Note que este termo significa um zero no semi-plano direito. Desta forma a fase vai para -90º.

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63 Capítulo 7 Projeto por BODE 7.1 Introdução Os compensadores são utilizados para alterar alguma característica do sistema em malha fechada original, como resposta no tempo, estabilidade, etc. No projeto por Bode é necessário inicialmente desenhar os diagramas de Bode em malha aberta, para em seguida, em cima destes diagramas, acrescentar o compensador, redesenhando os diagramas de Bode. 7.2 Projeto por BODE utilizando o compensador atraso de fase (lag) A função de transferência do compensador atraso de fase é dada por: C(s) = a 0 1+s/b 1+s/a Fazendo s = jω: C(jω) = a 0 1+jω/b 1+jω/a O máximo defasamento depende da relação entre o pólo e o zero: b/a. O compensador atraso de fase reduz o ganho em alta freqüências, relativamente ao ganho em baixas freqüências e introduz um atraso de fase. Para o propósito de estabilidade é necessário que o filtro introduza a redução de ganho próximo do cruzamento de 180 o. Então, a e b devem ser muito menores que a freqüência

64 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 52 de cruzamento de 180 o. Figura 7.1: Projeto do compensador atraso de fase A técnica para obter uma margem de fase desejada é a seguinte: supões-se que o ganho estático (ganho DC) do compensador (a 0 ) é determinado em função das especificações e φ m é a margem de fase desejada: 1. Determine graficamente a freqüência, ω 1, na qual o ângulo de fase de G(jω 1 ) é aproximadamente ( φ m + 5 o ); 2. Escolha o zero do compensador como sendo: b = 0, 1ω 1, para assegurar que o atraso de fase seja pequeno na frequência ω 1. Na verdade o compensador irá introduzir aproximadamente 5 o de atraso de fase, o que foi levando em conta no passo Em ω 1 é desejado que o ganho do sistema compensado seja 0db, ou seja: C(jω 1 )G(jω 1 ) = 1. O ganho do compensador em altas freqüências é a 0 a b, onde a 0 é o ganho para baixas freqüências. Então o valor do pólo será: a = 0, 1 ω 1 a 0 G(jω 1 ) Onde G(jω 1 ) é o módulo da função G(jω), no ponto ω 1, obtido graficamente (sem compensação). Obs: a frequência ω 1 pode ser considerada alta-frequência para a região de atuação do compensador.

65 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Projeto por BODE utilizando o compensador avanço de fase (lead) A função principal do compensador em avanço é modificar a curva de resposta em frequência para propiciar um ângulo de fase suficiente para ajustar o atraso da fase excessivo associado com a planta do sistema. Os procedimentos para projetar um compensador em avanço de fase podem ser estabelecidos como segue: 1. Dada a função de transferência em malha aberta G(s). Determine o ganho de malha-aberta K a fim de satisfazer as exigências dos coeficientes de erro. 2. Usando o ganho K anteriormente determinado, traçar o diagrama de módulo KG(s), calcule a margem de fase do sistema com este novo ganho. 3. Em função das especificações, determine o ângulo de avanço de fase necessário φ m a ser adicionado ao sistema. 4. Determine o fator de atenuação α pelo uso da equação senφ m = 1 α 1+α. Determine a freqüência em que o módulo do sistema não compensado (mas considerando o ganho K), KG(jω 1 ), é igual a 20log( 1 α ). Selecione esta freqüência como a nova freqüência de cruzamento do ganho. Esta freqüência corresponde a ω 1 = 1 T α e o deslocamento de fase máximo φ m ocorre nesta freqüência. Calcule T a partir desta equação. 5. Determine as freqüências de corte do compensador em avanço a partir de Zero do compensador: ω = 1 T Pólo do compensador: ω = 1 αt A forma do compensador Lead é: C(s) = K c s+ 1 T s+ 1 αt item 1. = K c α T s+1 αt s+1, com α < 1 e K = K cα e K o ganho calculado no 6. Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se não for, repetir o processo do projeto modificando a localização do polo-zero do compensador até que seja obtido um resultado satisfatório.

66 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Exercícios Figura 7.2: Projeto do compensador avanço de fase Obs: do livro Engenharia de Controle Moderno, K. Ogata. E1) Considere o sistema realimentado, cuja função de malha aberta é G(s) = 4 s(s+2). Projetar um compensador AVANÇO DE FASE para o sistema de modo que a constante de erro estático de velocidade seja K v = 20s 1, a margem de fase seja pelo menos igual a 50 0 e a margem de ganho seja no mínimo igual 10dB. E2) Considere o sistema realimentado, cuja função de transferência em malha aberta 1 é: G(s) =. Projete um compensador atraso de fase de modo que a constante s(s+1)(0,5s+1) de erro estático de velocidade seja K v = 5s 1, a margem de fase seja pelo menos 40 0 e a margem de ganho seja no mínimo de 10dB. Obs: do livro Sistemas de controle e retroaçao, Joseph Distefano et al. E3) Projete um compensador Avanço de Fase para o sistema, cuja função de transferência de malha aberta é GH = 24 s(s+2)(s+6) e H = 1, para satisfazer as seguintes especificações de desempenho: a) Quando a entrada for uma rampa estacionária com inclinação (velocidade) igual a 2π radianos por segundo, o erro estacionário em posição deve ser menor ou igual a π/10 radianos. b) Margem de fase= 45 0 ± 5 0 c) Frequência de cruzamento de ganho ω 1 1 radianos por segundo.

67 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 55 E4) Reprojetar o sistema do exercício anterior, usando um compensador Atraso de Fase, para obter as seguintes especificações: a) K v 20s 1 b) Margem de fase= 45 0 ± 5 0 c) ω 1 1 E5) Reprojetar o sistema do exercício anterior, usando um compensador Atraso- Avanço, para obter as seguintes especificações: a) K v 20s 1 b) Margem de fase= 45 0 ± 5 0 c) 2rad/s ω 1 5rad/s

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69 Capítulo 8 Linearização 8.1 Introdução Muitos sistemas físicos são descritos por equações diferenciais não lineares que são representadas da seguinte forma: ẋ(t) = f(x) (8.1) Estes sistemas não podem ser analisados utilizando as ferramentas matemáticas estudadas na disciplina de Controle 1, como, por exemplo, transformadas de Laplace, lugar das raízes, diagramas de bode, etc. Contudo algumas equações não-lineares podem ser aproximadas por equações lineares, sob determinadas condições. Isto é feito representando a equação não-linear através da série de Taylor. 8.2 Aproximação linear de modelos não lineares Dada a função não linear y = f(x) eq. 1, mostrada na figura 8.1. A linearização é feita em torno de um ponto de operação, sendo que x 0 e y 0 são os pontos de operação desejados. A equação 1 pode ser expandida em série de Taylor, em torno do ponto de operação: y = f(x) = f(x 0 ) + df dx (x=x0 ) (x x 0 ) + 1 d 2 f 2! dx 2 x 0 ) (x=x0 )(x (8.2)

70 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 58 Figura 8.1: Função não-linear Cujas derivadas df dx, d2 f dx 2,..., são calculadas para x = x 0. Se a variação (x x 0 ) for pequena, pode-se desprezar os termos de mais alta ordem. Então a equação 2 pode ser escrita como: onde: y 0 = f(x 0 ) k = df dx (x=x0 ) y = f(x) = f(x 0 ) + df x 0 ) = y 0 + k(x x 0 ) (8.3) dx (x=x0 )(x Então: y y 0 = k(x x 0 ), que pode ser escrito como: y = k x Para duas variáveis Dada a função não linear: y = f(x 1, x 2 ) Expandindo em série de Taylor: [ ] [ f y = f(x 10, x 20 )+ x 1 (x 1 x 10 )+ f x 2 (x 2 x 20 ) + 1 2! (x 10,x 20) ] x 10 )(x 2 x 20 ) + 2 f (x x 2 2 x 20 ) (x 10,x 20 ) Ignorando os termos de mais alta ordem, resulta: y y 0 = k 1 (x 1 x 10 ) + k 2 (x 2 x 20 ) Sendo que y = f(x 10, x 20 ) 2 f x 2 1 (x 1 x 10 ) f x 1 x 2 (x 1 k 1 = f x 1 (x10,x 20 ) k 2 = f x 2 (x10,x 20 )

71 8.3 Exemplo UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 59 Linearize a função y = x 2, no ponto x 0 = 2. y = y(x 0 ) + df x 0 ) (x=x0 )(x dx y 0 = x 2 (x0 =2) = 4 dy dx = 2x (x=2) = 4 y = 4 + 4(x 2) = x y 4 = 4 x y = 4 x Para testar a equação linearizada, verifique as variações em torno do ponto 2 comparando os resultados para a equação original e a equação linearizada. x = 0, 02, x = 0, 2, x = Resumo De forma geral: ẋ = f(x, u) f(x 0 + x, u 0 + u) = f ẋ = f x (x0,u 0 ) x (x0,u 0 ) x + f (x0,u 0 ) u u x + f (x0,u 0 ) u u

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73 Capítulo 9 Diagramas de Nyquist 9.1 Introdução A análise de Nyquist é um método de resposta em frequência essencialmente gráfico para determinar a estabilidade relativa e absoluta de um sistema de controle em malha fechada. 9.2 Qual o objetivo do método de Nyquist? O objetivo do diagrama de Nyquist é fazer uma varredura no semiplano direito, utilizando um contorno fechado, para verificar se há pólos em malha fechada no semiplano direito. Para fazer a varredura escolhe-se um percurso fechado, como mostrado na figura 9.1: 1. O percurso começa no ponto a e vai para o ponto b, no eixo s = jω. Isto é, variação de jω = 0 até jω =. 2. O percurso do ponto b para o ponto c e para o ponto d, é feita com um círculo de raio infinito: s = lim R Re(jθ), 90 0 θ O percurso final vai do ponto d para o ponto e, no eixo s = jω. Isto é, variação de jω = até jω = 0.

74 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 62 Figura 9.1: Percurso fechado no plano s Estes valores da variável S são substituídos na função de transferência G(s)H(s), gerando um percurso fechado no plano G(s)H(s). Exemplo: Dada a função de transferência GH(s) = 1, o mapeamento do semiplano s+1 direito do plano S resulta no percurso mostrado na figura 9.2. lim R Re jθ é mapeada no ponto b, c, d. Note que a região de Figura 9.2: Percurso fechado no plano GH(s) Se houver alguma singularidade (pólo ou zero) no trajeto, ela deve ser evitada. Faz-se um desvio contornando a singularidade com um raio tendendo a zero, como mostrado na figura 9.3. O percurso fechado no plano s resulta em um percurso fechado equivalente no plano GH(s), isto é, o percurso no plano s é mapeado no plano GH(s). 9.3 No que se baseia o critério de Nyquist? Veja o seguinte exemplo, na figura 9.4: Será feito um percurso fechado no plano S ao redor do pólo s=-2, mostrado em (a)

75 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 63 Figura 9.3: Percurso fechado no plano s Figura 9.4: a) Percurso fechado no plano s; b) Percurso fechado no plano GH(s) na figura 9.4. Através desta trajetória no plano s, obtém-se a trajetória no plano F(s), mostrado em (b) na figura 9.4. Note que o percurso F(s) engloba a origem dos eixos. Dada uma função 1+GH(s), ao percorrer um contorno fechado no plano s, os pólos/zeros externos a este contorno terão defasamento zero. Os pólos zeros dentro do contorno terão defasamento 2π, como mostrado na figura 9.5. Figura 9.5: Fase dentro e fora do contorno C Este contorno fechado no plano s corresponde a um contorno fechado no plano 1+GH(s). Quando o contorno de 1+GH(s) engloba a origem, como mostrado em (b)

76 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 64 da figura 9.4, significa que o contorno no plano s envolveu um pólo. Os diagramas de 1+GH(s) e GH(s) são iguais, apenas deslocados de uma unidade. Então em vez de verificar se o ponto 0 no plano 1+GH(s) foi envolvido pelo contorno, verifica-se o ponto -1 no plano GH(s). 9.4 Princípio do argumento ou teorema de Cauchy Seja P o número de pólos e z o número de zeros de 1+GH(s) envolvidos por Γ. Como para cada zero envolvido o vetor 1+GH(s) sofre uma rotação de ( 2π) em torno da origem do plano 1+GH(s) (sentido dos ponteiros do relógio). Como para cada pólo envolvido o vetor 1+GH(s) sofre uma rotação de (+2π) em torno da origem do plano 1+GH(s) (sentido contrário dos ponteiros do relógio). Conclui-se que a variação de fase resultante 1 + GH(s), ou seja, o número de vezes que a origem do plano 1+GH(s) é envolvida indica a diferença entre o número de pólos e o número de zeros envolvidos pelo contorno Γ. 1 + GH(s) = 2π(z p) N = Z P onde, N= é o número de envolvimentos da origem; e Z e P são os pólos e zeros envolvidos pelo contorno no plano S, que são os zeros e pólos da função 1+GH(s). Lembrando que F (s) = G, então os zeros de 1+GH(s) são são os pólos da função 1+GH de transferência em malha fechada. E os pólos de 1+GH(s) são conhecidos, pois são os pólos de GH(s). 9.5 Critério de estabilidade de Nyquist Uma condição necessária e suficiente para a estabilidade em malha fechada de um sistema definido por GH(s) é que: Z = N + P = 0 Ou seja, que N = P, onde N é igual ao número de envolvimento do ponto -1 no plano GH(s) e P corresponde ao número de pólos instáveis de GH(s).

77 9.6 Exemplos UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 65 Considere o sistema G(s) = 1. O percurso a ser seguido no plano S é mostrado s(s+1) na figura 9.3. Inicia-se pelo caminho ab: faz-se s = jω para 0 < w <. A função de transferência pode ser escrita como: GH(jω) = Para os valores extremos, tem-se: 1 jω(jω + 1) = 1 ω ω tan 1 ω (9.1) lim s 0 GH(jω) = 90 0 lim s GH(jω) = (9.2) Na medida que ω cresce no intervalo 0 < ω <, a magnitude de GH decresce de a 0 e a fase decresce de 90 a 180. O caminho de é o espelho de ab. O caminho bcd é mapeado na origem. Para o caminho efa, busca-se evitar o pólo, fazendo um círculo de raio tendendo a zero: s = lim ρ 0 ρe jθ para 90 θ 90 1 lim ρ 0 GH(ρejθ ) = lim ρ 0 ρe jθ (ρe jθ+1 ) = lim 1 ρ 0 ρe = jθ e jθ = θ (9.3) O caminho efa é mapeado em um semicírculo de raio infinito. Figura 9.6: Fase dentro e fora do contorno C

78 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Definições Um contorno fechado em um plano complexo é uma curva contínua começando e terminando no mesmo ponto. Figura 9.7: Contorno fechado Todos os pontos à direita de um contorno enquanto ele percorre uma determinada direção são ditos serem envolvidos por ele. Figura 9.8: Envolvimento do contorno Um contorno no sentido dos ponteiros do relógio é definido como sendo positivo. Figura 9.9: Direção do contorno

79 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 67 Na figura 9.10 são mostrados alguns mapeamentos dos contornos do plano s para o plano F (s) = s+1. Se o contorno no plano s envolve o pólo de F(s), há um envolvimento s 1 da origem no plano F(s) no sentido anti-horário. Se o contorno no plano s envolve o zero de F(s), há um envolvimento da origem do plano F(s) no sentido horário. Se o contorno no plano s envolve tanto o zero como o pólo, ou se o contorno não envolve nem o zero nem o pólo, então não há envolvimento da origem do plano F(s) pelo lugar geométrico de F(s). No plano s, um ponto percorre um contorno no sentido horário. Figura 9.10: Direção do contorno

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81 Capítulo 10 Sintonia do compensador PID 10.1 Introdução Neste capítulo será estudado um problema muito comum na indústria que consiste em fazer o ajuste dos parâmetros, ou sintonia, do compensador PID Informações teóricas Um dos compensadores mais utilizados na indústria é o PID devido à sua simplicidade, facilidade na sintonia dos parâmetros e atendimento das especificações. Na figura 11.1 é mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele é formado por um compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo (D). O ajuste dos parâmetros K p, T i e T d é chamado sintonia do compensador PID. A função de transferência do PID é dada por: G P ID = K P (1 + 1 T i s + T ds). Figura 10.1: Estrutura de um compensador PID

82 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 70 Pode-se trabalhar com os elementos também de forma isolada, como por exemplo: a) proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + derivativo: s K P + K d s; d) integral: K I s Representações do PID Existem diversas formas de se representar implementar o compensador PID, sendo que algumas são mostradas a seguir: 1. Paralelo Ideal: u(t) = K p e(t) + Kp T r e(t)dt + Kp T d de(t) dt ; 2. Formato ISA: u(t) = K p [e(t) + 1 T r e(t)dt + Td de(t) dt ]; 3. Realização prática, que além do termo derivativo inclui um filtro passa-baixa para reduzir amplificação do ruído. T n representa a constante de tempo do filtro: U(s) = (K P + K I s + K ds 1+T ns )E(s); 4. U(s) = (K P + K I s + K ds)e(s); 5. U(s) = (P + I s + Ds)E(s); 6. Formato série: U(s) = K c [1 + 1 T i s ][1 + T ds)]e(s); Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de K p, quanto maior K p menor será o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em grandes alterações na saída para uma dada alteração no erro. Um ganho baixo implica que a ação de controle será pequena. O componente proporcional consiste essencialmente num ganho ajustável. O componente integral, ao adicionar um pólo na origem da função de transferência do controlador, elimina o erro estacionário, mas aumenta o tempo de acomodação e piora a estabilidade relativa, o que usualmente é indesejável. A adição do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodação, mas resulta num controlador sensível a ruídos e variações dos parâmetros. Existem diversas formas de se implementar o compensador PID em um processo. A forma tradicional é mostrada na figura Outras configurações serão vistas nas

83 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 71 próximas seções. SP significa Setpoint, e é o valor de referência que o processo deve atingir. P V significa Variável do processo, e é o valor que a saída do processo apresenta. Offset significa o erro em regime permanente. M V significa Variável Manipulada, é a variável sobre a qual o controlador atua para controlar o processo. Figura 10.2: Sistema realimentado com PID Regras de sintonia do PID de Ziegler-Nichols para sistemas contínuos Chama-se sintonia de um compensador PID ao cálculo dos parâmetros do compensador, que são K p, T i e T d. As regras de sintonia de compensadores têm um forte componente empírico. Elas se aplicam a processos tipo passa-baixa. Quando o modelo do processo é conhecido, é mais adequado fazer o projeto utilizando técnicas de controle como Lugar das Raízes, resposta frequencial e outras técnicas, para encontrar os parâmetros mais adequados. Para processos onde o modelamento exato da planta é muito difícil, as regras de sintonia ajudam a obter uma resposta otimizada. As regras de sintonia de Ziegler-Nichols pretendem obter uma razão de decaimento de 1/4 na resposta em malha fechada, conforme mostrado na figura Figura 10.3: Taxa de decaimento da resposta

84 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 72 Este processo apresentará um valor de ultrapassagem a uma excitação degrau em torno de 10% 60%. Na média o valor de ultrapassagem é de 25%. Isto equivale a um ξ = 0, 3. No processo de sintonia de compensadores PID, o primeiro passo é identificar a planta. Normalmente a planta possui uma estrutura complexa, mas ela pode ser aproximada a um processo de primeira ou segunda ordem. Para as análises feitas nesta apostila, a planta será aproximada a um processo de primeira ordem. Identificação da planta em malha aberta Aplicando-se um degrau na entrada do processo a ser controlado, em malha aberta, pode-se identificar o comportamento do processo através da forma do sinal de saída. Para este caso pode-se obter duas situações: a) sistema com comportamento não integrativo e b) sistema com comportamento integrativo. a) Sintonia PID para sistemas não integrativos Para este tipo de sistema a resposta pode ser modelada como um sistema de primeira ordem, sem componente integrativo, com atraso Y (s) U(s) unitário. = K Ee Ls, onde U(s) = degrau 1+T s As regras de Ziegler-Nichols permitem calcular o valor dos parâmetros a serem aplicados ao controlador PID. Elas são mostradas na tabela Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d P K p T KL máximo 0 P I K p (1 + 1 ) 0,9T T i s KL P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) L 0 0,3 1,2T KL 2L 0, 5L Tabela 10.1: Regras Ziegler-Nichols para sistemas não integrativos Na figura 10.4 é mostrado como é feita a identificação do sistema e qual tipo de curva é obtida. L é o atraso de transporte (tempo morto) do processo, T é a constante de tempo do processo e K é o ganho do processo em malha aberto, isto é K = Y (s)/u(s) = K E /U. Se o sinal de entrada for um degrau unitário, U = 1 e K = K E. b) Sintonia PID para sistemas com comportamento integrativo

85 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 73 Figura 10.4: Curva em forma de S Aproxima-se a resposta do processo como um atraso e um integrador. Na figura 10.5 é mostrada a resposta a um degrau unitário. A função de transferência do sistema a ser identificado é dada por: Y (s) = K Ee Ls U(s) T G s Figura 10.5: Resposta para um sistema integrativo Para se determinar os parâmetros do compensador PID utiliza-se as regras mostradas na tabela Sintonia PID pelo método em malha fechada Para um sistema em malha fechada, os valores dos ganhos integral e derivativo (K i e K d ) são fixados em zero, e aumenta-se o ganho até o limite de estabilidade, a partir do qual o sistema em malha fechada começa a oscilar.

86 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 74 Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d 1 P K p KL máximo 0 T G P I K p (1 + 1 T i s ) 0,9 KL T G P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) L 0 0,3 1,2 KL 2L 0, 5L T G Tabela 10.2: Regras Ziegler-Nichols para sistemas integrativos Determina-se o valor do ganho K cr que torna o sistema oscilatório e determina-se o período de oscilação P cr, conforme mostrado na figura onde: P cr =período da oscilação mantida (período crítico) K cr =ganho limite (ganho crítico), em que o sistema entra em oscilação Figura 10.6: Em malha fechada Os parâmetros do PID são ajustados conforme as regras mostradas na tabela 10.3, a partir de K cr e P cr : Tipo de controlador Função de transferência K p T i T d P K p 0, 5K cr máximo 0 P I K p (1 + 1 T i s ) 0, 45K cr P cr 0 1,2 P ID K p (1 + 1 T i s + T ds) 0, 6K cr 0, 5P cr 0, 125P cr Tabela 10.3: Regras Ziegler-Nichols em malha fechada

87 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Construção do bloco derivativo puro D O controlador derivativo puro não pode ser implementado fisicamente com elementos passivos R, L, C, pois a função de transferência tem um zero e nenhum pólo. Mas pode ser construído com amplificadores operacionais. O derivativo puro é um filtro passa-alta e devido a isto o sistema ficará sensível a ruídos em alta frequência. Um compensador derivativo ideal traz diversos problemas. Como sua magnitude cresce quando a frequência tende ao infinito, um diferenciador ideal produz uma amplificação indesejável de ruídos em altas frequências que podem estar presentes na malha fechada. Além disto, o aumento da banda de passagem associado com o compensador derivativo ideal poderia causar instabilidades devido a dinâmicas não-modeladas de altas frequências. Um compensador derivativo real é implementado da seguinte forma: K d s 1+T ns. Exemplo: considerando um compensador PD, o compensador derivativo real é normalmente implementado pela colocação de um pólo em uma frequência entre três a dez vezes maiores do que a frequência de canto Kp K d, isto é, ω = NKp, onde 3 N 10. Assim o compensador PD físico é caracterizado por uma função própria: C P D(s) = Kp(s K D KP +1) (s K D NK P +1) K d 10.4 Resumo das características do PID As ações do PID podem ser vistas como sendo comportadas por controladores independentes: 1. Um controlador proporcional K p irá reduzir o tempo de subida e irá reduzir, mas não eliminar, o erro em regime permanente. 2. Um controlador integral K i irá eliminar o erro em regime permanente, mas irá piorar a resposta transitória. 3. Um controlador derivativo K d terá o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobressinal, e melhorando a resposta transitória. Os efeitos de cada elemento do controlador PID são mostrados na tabela abaixo: Note que estas correlações podem não ser exatamente precisas, porque Kp, Ki e Kd são dependentes de cada um. De fato, mudando uma destas variáveis, pode-se provocar

88 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 76 Tempo subida de Sobressinal Tempo de acomodação Erro em regime permanente Proporcional Diminui Aumenta Pequenas mudanças Diminui Integral Diminui Aumenta Aumenta Elimina Derivativo Pequenas mudanças Diminui Diminui Pequenas mudanças Tabela 10.4: Resumo das ações do PID mundaças nas outras duas. Por isto esta tabela deve ser usada apenas como referencia, na determinação de Ki, Kp e Kd. Observação é usual na indústria a adoção do conceito de Banda Proporcional (BP) em substituição a K p : MV (t) = 100 BP (e(t) + I r e(t)dt + Dt de(t) dt ) Onde, Tempo derivativo= Dt e Taxa integral ou Reset=I r

89 Capítulo 11 Projeto do compensador PID no lugar das raízes 11.1 Introdução Nesta apostila serão estudados o projeto dos compensadores PI, PD e PID através do lugar das raízes Informações teóricas Um dos compensadores mais utilizados na indústria é o PID devido à sua simplicidade, facilidade na sintonia dos parâmetros e atendimento das especificações. Na figura 11.1 é mostrada a estrutura de um compensador PID. Ele é formado por um compensador proporcional (P), um compensador integral (I) e um compensador derivativo (D). O ajuste dos parâmetros K p, T i e T d é chamado sintonia do compensador PID. A função de transferência do PID é dada por: G P ID = K P ( T T i s ds) = K P + K I s + K ds. Pode-se trabalhar com os elementos também de forma isolada, como por exemplo: a) proporcional: K P ; b) proporcional + integral: K P + K I ; c) proporcional + derivativo: s K P + K d s; d) integral: K I s.

90 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 78 Figura 11.1: Estrutura de um compensador PID 11.3 Características do PID Usando-se apenas a componente proporcional, o erro em regime depende do valor de K p, quanto maior K p menor será o erro em regime. Um ganho Kp elevado resulta em grandes alterações na saída para uma dada alteração no erro. Um ganho baixo implica que a ação de controle será pequena. O componente proporcional consiste essencialmente num ganho ajustável. O componente integral, ao adicionar um pólo na origem da função de transferência do controlador, elimina o erro estacionário, mas aumenta o tempo de acomodação e piora a estabilidade relativa, o que usualmente é indesejável. A adição do modo derivativo permite melhorar o tempo de acomodação, mas resulta num controlador sensível a ruídos e a variações dos parâmetros. Figura 11.2: Sistema realimentado com PID 11.4 Projeto do compensador PID O projeto é feito definindo a localização dos pólos desejados em malha fechada, em função das especificações de projeto.

91 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 79 Em seguida, aplicando o critério de ângulo, são testados alguns pólos/zeros necessários para que o lugar das raízes passe pelos pontos onde devem ficar os pólos em malha fechada. Para finalizar o projeto deve-se calcular o ganho do sistema para que os pólos em malha fechada estejam localizados no ponto desejado, usando o critério de módulo. A equação do PID pode ser escrita como: G P ID = K P (1 + 1 T i s + T ds). G P ID = K P t ds (s 2 + s T d + 1 T i T d ). O compensador PID coloca dois zeros e um pólo no sistema: 1. O pólo está localizado em s = 0, sendo portanto um integrador. Com isto ele garante erro em regime igual a zero, para um sinal degrau na entrada. 2. Os zeros são localizados em s = 1 T d ± ( 1 T d ) 2 4( 1 T i T d ) Nesta apostila serão mostrados dois exemplos de projetos: compensador PD e compensador PI. O projeto do compensador PID segue a mesma linha de raciocínio, e não será exemplificado nesta apostila Revisão Pólos complexo conjugados podem ser representados no plano s como mostrado na figura s = σ + jω d. +jω.*. d.. θ θ = cos 1 ξ. σ.. *.. - jω. d.. Figura 11.3: Pólos complexos no plano s s = ξω n ± jω n 1 ξ2 = σ ± jω d A constante ξ é chamada Coeficiente de amortecimento (ou razão de amortecimento) A constante ω n é chamada frequência natural não amortecida. σ = taxa de decaimento ω d = frequência natural amortecida θ = cos 1 ξ

92 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página Compensador PD - proporcional derivativo A função de transferência do compensador PD é mostrado a seguir: C(s) = K p (1 + T d s) = K p + K p T d s O compensador PD coloca um zero em s = 1 T d Exemplo de projeto usando um compensador PD Considere um sistema instável em malha aberta, dado pela função de transferência 1 G(s) =. Deseja-se projetar um controlador PD para estabilizar o sistema (s 2 1,1772) (determinar Kp e Td) de tal forma que o coeficiente de amortecimento seja ξ = 0, 7 e a frequência natural não amortecida ω n = 0, 5 rad/s. O sistema em malha fechada é mostrado na figura O compensador terá a seguinte configuração: C(s) = K p (1 + T d s). Partindo das relações conhecidas, pode-se calcular: θ = cos 1 0, 7 = 45, 6 σ = ξω n = 0, 35 ω d = ω n 1 ξ 2 ω d = 0, 357 Os pólos em malha fechada deverão estar localizados em s = 0, 35 ± j0, s = 0, 35 + j0, 357. * +jω.. d.. θ. σ.. *.. - jω. d.. Figura 11.4: Localização dos pólos em malha fechada Aplicação do critério de ângulo Na figura 11.6 são mostradas as aplicações dos critério de ângulo e de módulo. O critério de ângulo determina que a fase total da função GH para ser solução da equação característica deve ser ±180(2N+1). Graficamente equivale a dizer que: β 1 +β 2 α 1 = 180. Por relações com triângulos pode-se calcular:

93 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 81 Figura 11.5: Sistema com compensador PD Figura 11.6: Critério de módulo e de fase compensador PD tan β 2 = 0,357 0,735 = 0, 4857, resultando em β 2 = 25, 9 0. tan θ = 0,357 1,435 = 0, 2487, resultando θ = 13, 970. Como β 1 + θ = 180 0, então β 1 = Finalmente obtém-se α = β 1 + β = 11, 9 0. Já se conhece o ângulo do zero em relação ao pólo desejado em malha fechada. necessário encontrar o valor do zero. Ele é obtido também por relações trigonométricas: tan 11, 9 0 = 0,357 x+0735 x = 0, 959 = 0, 21 O zero deverá ser posicionado em s = 2, 044. É Aplicação do critério de módulo Com este valor de zero, o lugar das raízes irá passar pelo ponto desejado. Mas existe um único ganho que irá garantir que os pólos em malha fechada irão estar localizados no ponto desejado. Este ganho deve ser calculado pelo critério de módulo. Partindo da equação característica: K p T d ( 1 T d + s) (s 2 1,1772) = 1 O critério de módulo resulta:

94 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 82 K p T d (s + 2, 044) (s 2 1,1772) = 1 Isolando K p, obtem-se: K p = T d (s+1,085)(s 1,085) (s+2,044) Onde os módulos podem ser representados por vetores: K p = v 1 v 2 T d v 3 Substituindo os valores, encontra-se: K p = ,4790,817 0,489 1,73 K p = , 5 E o compensador pode ser escrito como: C(s) = 6.984, 6(s + 2, 044) Compensador PI - proporcional integral A função de transferência do compensador PI é mostrada a seguir: C(s) = K p + K I s = K p + Kp st I = K p (1 + 1 st I ) C(s) pode ser escrito como: C(s) = Kp T I (T I s+1) s = K p (s+ O compensandor PI coloca um pólo na origem (integrador) e um zero em s = 1 T i 1 ) T I s Exemplo de projeto usando um compensador PI Dado o sistema G(s) = 1, projete um compensador PI para as seguintes especi- s+1 ficações: 1. erro em regime nulo (para entrada degrau) 2. t s5% = 0, 1s 3. ξ = 0, 707 Solução: para atender a especificação de erro nulo em regime, usa-se um integrado presente no compensador PI. Para a especificação t s5% = 0, 1s utiliza-se a relação t s5% = 3 σ = 3 ξω n. Então: σ = 3. Este valor define uma linha vertical cruzando o eixo real, onde todos 0,1 os pólo localizados nesta linha terão o mesmo valor de σ. calcular o valor da componente imaginária. Para localizar o pólo falta

95 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 83 Figura 11.7: Critério de módulo e de fase compensador PI A localização dos pólos é mostrada na figura Para a especificação de ξ = 0, 707 a linha de ξ constante é dada pela relação θ = cos 1 ξ = O cruzamento desta linha com a linha σ calculada anteriormente define a localização exata de um dos pólos em malha fechada. Aplicação do critério de ângulo Da figura 11.7 pode-se tirar as relações trigonométricas: θ 1 + β 1 = 180 0, e dos cálculos já realizados, θ 1 = Assim, β 1 = tan θ 2 = 30 29, então θ 2 = 45, 97 0, consequentemente β 2 = 134, Pelo critério de ângulo: β 1 + β 2 α = Assim, α = Agora é possível calcular a localização do zero: tan α = tan 89 0 = 30, assim x = 0, 524. E o zero deverá ser colocado em s = 30, 524. x Aplicação do critério de módulo O ganho será calculado pelo critério de módulo: 1 + C(s)G(s) = 0 K p (s+30,254) s 1 = 1 (s+1)

96 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 84 Isolando K p : K p = K p = 59 s+1 s = 42,43 41,72 s+30, A função de transferência do compensador pode ser escrita como: C(s) = 59 (s+30,524) s Observação Pode-se também aplicar o critério de módulo, substituindo o valor de s = 30 + j30 na equação característica. K p = s+1 s = ( 30+30j+1)( 30+j30) = 59 s+30, j30+30,524 O critério de ângulo pode ser aplicado na equação característica, substituindo o valor s = 30 + j30. (s+zero) (s+1) s = 1800 Resultando em: (s + zero) (s + 1) s = ou (s + zero) + (s + 1) + s = 180 0

97 Parte I Apêndice

98

99 Apêndice A Experimento sobre identificação do pólo mecânico de um motor CC A.0.4 Introdução Neste experimento o aluno irá identificar o pólo mecânico de um motor CC, através da aplicação de um degrau na entrada e pela medição da resposta de saída.

100 1 o Experimento: Identificação dos parâmetros de um motor DC Equipamentos: -Osciloscópio digital -Fonte DC (2 Amperes) -Multimetro Digital -Kit motor-gerador Introdução: Um motor DC pode ser modelado como um sistema com dois pólos, onde um dos pólos representa as características mecânicas e o outro pólo representa as características elétricas do motor DC. A função de transferência do motor é mostrada a seguir: Ve Para se fazer a leitura da velocidade angular ( ) necessitamos colocar um transdutor no eixo do motor, de tal forma que nos forneça uma tensão proporcional à velocidade do eixo do motor. Será colocado um gerador DC acoplado no eixo do motor, que irá fazer o papel de um taco-gerador. A função de transferência completa é mostrada a seguir: Ve Onde: pe pólo elétrico do motor pm pólo mecânico do motor A função de transferência total pode ser escrita como: Identificação do pólo mecânico Inicialmente vamos ignorar o pólo elétrico, pois sua constante de tempo é muito pequena e ele rapidamente atinge o regime permanente. Em algumas situações é possível desprezar o pólo elétrico e fazer a análise levando-se em conta apenas o pólo mecânico. Desta forma vamos supor que nosso sistema possui apenas o pólo mecânico. A função a ser identificada é mostrada a seguir. Onde Km refere-se ao ganho relativo apenas à característica mecânica do motor. Ao ser aplicado um degrau na entrada, na saída teremos a seguinte forma de onda: Vs Ve K (s + pe) (s + pm) K (s + pe) (s + pm) Vs = Kt Ve (s + pe) (s + pm) G (s) = K m (s + p m ) Vmax 0.63 * Vmax Kg Vs t m t

101 Onde m é a constante de tempo mecânica, e é o inverso do pólo mecânico: m = 1/p m Lembrando o teorema do valor final: lim g(t) = lim s.g(s) t s 0 Supondo a aplicação de um degrau de valor 12 (isto é aplicamos 12 V na entrada do motor). Isto significa que: Ve = 12 s OBS: para obter o degrau da fonte CC, ela tem que estar estabilizada. Não é possivel desligar e ligar a fonte, pois ela terá um transitório até antigir o regime e isto irá alterar a resposta transitória do motor. O valor da saída em regime permanente será de: Vs( ) = lim s.g(s)ve = lim s Km 12 = Km.12 s 0 s 0 (s + p m ) s p m Desta forma, o valor da constante de ganho mecânica será: km = Vs( ). p m 12 A função de transferência pode ser escrita como: (equação final) G(s) = K m (s + p m ) Apresentar relatório simplificado, contendo: 1)Nome dos alunos 2)Introdução e Objetivos 3)Medições e função de transferência: a) realize 5 medidas, iniciando o processo a partir da aplicação de um novo degrau e calcule a média dos valores. b) o degrau deve ser aplicado, mantendo a fonte estabilizada. Não é possível desligar e ligar a fonte para gerar o degrau. 4)Conclusão Obs: no item 3, escrever a função de transferência na forma: G(s) = K m (s + p m )

102 UTFPR - DAELN - Prof. Paulo Brero de Campos - página 90

103 Apêndice B Experimento sobre identificação de um sistema térmico B.0.5 Introdução Neste experimento o aluno irá identificar um sistema termico, através da aplicação de um degrau na entrada e pela medição da temperatura de saída.

104 MODELAMENTO DE UM SISTEMA TÉRMICO Dada uma câmara, com a seguinte configuração: Vamos buscar uma maneira de fazer o modelamento desse sistema. DEFINIÇÃO DE RESISTÊNCIA TÉRMICA Dado um material onde haja um fluxo de calor. no qual T=temperatura e q=fluxo de calor. R=(T1 - T2)/q FLUXO DE CALOR A diferença entre o calor fornecido e o calor perdido através das paredes é igual ao calor dentro da câmara: q i -q o = calor armazenado na câmara. O calor acumulado dentro da câmera é proporcional à taxa de variação da temperatura na câmara, onde: C - capacitância térmica do meio dentro da câmara. Então: q i - q o = C dt o /dt (1) onde: qi=calor fornecido pela resistência O fluxo de calor através das paredes da câmara é: q o =(T o -T a )/R t (2) R t - resistência térmica da parede

105 Substituindo (2) em (1): q i - (T o -T a )/R t = C dt o /dt q i - T o /R t + T a /R t = C dt o /dt R t q i - T o + T a = R t C dt o /dt R t q i + T a = R t C dt o /dt + T o qi Ta Rt 1 + SCRt SCRt To Aplicando a Transformada de Laplace: R t q i + T a = SR t C T o + T o equação 3 Para a equação 3, tem-se duas variáveis de entradas: T a e q i e uma saída T o. A temperatura T a tem o efeito de uma carga no sistema. Note que para esse sistema a entrada é q i e a saída é T o. Assim, não é possível escrever na forma de função de transferência devido ao termo Ta. Para resolver este problema define-se a resistência térmica da câmara (R te ), como sendo: R te = R t qi + Ta equação 4 q i Substituindo (4) em (3) Rte q i = SR t C T o + T o T = R te q i 1 + SCR Este ajuste matemático pode ser feito em situações em que o fluxo de calor q i é aplicado a uma taxa constante e T a é constante, ou varia muito lentamente. Esta equação será utilizada no experimento.

106 MONTAGEM E IDENTIFICAÇÂO DOS PARÂMETROS DE UM SISTEMA TÉRMICO Objetivo geral: O objetivo deste experimento é inicialmente modelar uma planta térmica e em seguida identificar os seus parâmetros. Objetivos específicos: 1) Montagem de um sistema térmico; 2) Modelamento do sistema térmico; 3) Identificação dos parâmetros do sistema térmico. 1) Modelamento da planta térmica qi T Eq.1 A função de transferência desejada é: T = qi K f (1 +.s) Para medir a temperatura na câmara é usado o sensor de temperatura, LM35. Este sensor (LM35) fornece uma tensão de 10mV a cada grau Celcius, isto é Ks= 10mV/ o C. Então Vo=Ks.T, onde T=temperatura da câmara em o C. Partindo das relações físicas: Q=(V 2 /r)t = Pt, onde Q=quantidade de calor, sendo Energia=Q em [Joule]. A potência elétrica é igual ao fluxo de calor, isto é, P=q, sendo q=fluxo de calor. Então qi= V 2 i /r. Substituindo qi=(v 2 i /r) e Vo=Ks.T na equação 1, obtém-se: Vo/Vi 2 = K / (1 +.s) eq.2 Então, na prática mede-se Vi e Vo e calcula-se a constante K. Em seguida calcula-se K f a partir da equação: K=Ks.K f /r 2) Montagem da planta térmica Monte de uma planta térmica, utilizando uma resistência de chuveiro (220V W) e um sensor de temperatura (por exemplo, LM 35). A resistência e o sensor devem ser acondicionados em uma caixa, isolada termicamente, com dimensões definidas pelo aluno (como sugestão podese montar uma caixa de MADEIRA com as dimensões 5cm X 5cm X 5cm. 3) Medição dos parâmetros da planta Para medir os parâmetros da planta será aplicada uma tensão na resistência e será medida a tensão do sensor de temperatura. a)inicialmente preencha a Tabela II, com Vi=10 V para medir o pólo do sistema. V i Tabela I V i(v) (V i) 2 V o(final) (V) V o=v o(final) - V o(0) K= V o / (V i) 2 qi=(v i) 2 /r r (ohms) 0 0 V o(0)= V o b) Em seguida, as outras tensões serão usadas apenas para calcular K na tabela I.

107 Medição do pólo térmico: preencha a tabela, identifique o valor do pólo e desenhe o gráfico V o = f(t). Veja as informações abaixo. Esta tabela será preenchida apenas para 10V. Tabela II Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Tempo (s) Vo(V) V o - V o(0) Após terminar de preencher a tabela espere 30 minutos para a saída estabilizar. Espere o tempo necessário até que Vo fique constante. Meça V o(final). Calcule V o(final) =V o(final) - V o (0). Multiplique o valor de V o por 0,63, some com V o (0) e encontre o tempo que este valor ocorreu [ V o. 0,63 + V o (0)]. Esse tempo equivale a uma constante de tempo ( ). O valor do pólo é 1/. Escreva a função de transferência completa: T = q i A figura abaixo mostra a forma de onda esperada: Tensão do sensor de temperatura [V o] V o(final) Vo(0) V o(0) + V o. 0,63 V o t LM35 No relatório: mostrar que a função de transferência obtida está correta, reproduzindo através dela a tabela medida.