LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA. 1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do

Transcrição

1 LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ALGÉBRICA 1 - A soma de uma sequência de números ímpares, começando do 1, é sempre igual a um número quadrado perfeito. Com base nessa informação, responda: a) Qual será a soma dos dez primeiros números ímpares? 10 = 100 Observe: É possível demonstrar esse truque por meio de um desenho. Para formar um novo quadrado, sempre é acrescentada uma camada com quantidades ímpares de bolinhas, o que mostra

2 visualmente que a soma dos n primeiros números ímpares é sempre um quadrado perfeito. b) Como você eplica o resultado da soma dos números ímpares com base no desenho. A soma da sequência de números ímpares começando do 1 é sempre um quadrado perfeito. Qual é a soma da sequencia ? Do 1 ao 5 temos 18 números ímpares, portanto a soma será 18 = 4 - Para cada figura, escreva uma epressão reduzida (simplificada) que represente a medida da área colorida: a) ( + )( ) = 9 b) Algumas potências e multiplicações de números podem ser resolvidas com os produtos notáveis. Veja:

3 (a + b) = a + ab + b (a b) = a - ab + b (a + b)(a b) = a b 105 = ( ) = = = = (50 ) = = = = (0 + 5)(0 5) = 0-5 = = 875 Usando esses padrões, determine o resultado das operações a seguir. a) = (0 + ) = = = 59 b) 1 = (0 + 1) = = = 961 c) 8 = (40 ) = = = 1444 d) 9. 1 = (0 1)(0 + 1) = = = 899 e) = (100 + )(100 ) = 100 = = Nos retângulos abaio, as medidas estão indicadas numa mesma unidade de comprimento. Determine a epressão algébrica que representa a área de cada um desses retângulos.

4 FORMA FATORADA a) ( + )( + ) b) ( + 5)( + 5) = ( + 5) c) ( + 10)( + 10) = ( + 10) d) ( + y)( + 6) FORMA SIMPLIFICADA a) b) c) d) y + 6y

5 5 - Observe que, na figura, a área de um quadrado é e a área do outro quadrado é 49: a) Qual a área do retângulo hachurado (riscado)? 7 b) Qual a área do retângulo colorido (preto)? 7 c) Qual a área total da figura? ( + 7)( + 7) = ( + 7) = Em um loteamento, cada quadra de terreno é um quadrado com 61 metros de lado. O autor do projeto resolveu então aumentar a largura da calçada e, com isso, cada quadra passou a ser um quadrado de 59 metros de lado. Que área os terrenos perderam? = ( )(61 59) = 10. = 40

6 7 - Ao redor do jardim da casa de Carlos, vai ser construída uma calçada revestida de pedra. As medidas estão em metros. a) Qual a área ocupada pelo jardim? 40 b) Escreva, na forma reduzida, um polinômio que epresse a área ocupada pela calçada c) Se a largura da calçada for de m e o preço do metro quadrado de revestimento de pedras for R$ 5,00, quanto Carlos irá gastar? = = = Bruno realizou a multiplicação: ( + )( + ) = Observando o que Bruno fez em seu caderno, responda: a) Ele acertou a multiplicação de polinômios? Tente entender e escreva o que ele fez. Não, fez quadrado do primeiro termo mais quadrado do segundo termo. b) Represente os polinômios como medidas de um quadrado e calcule a área desse quadrado.

7 (+ )( + ) = ( + ) = O desenho representa a planta de uma pequena casa construída sobre um terreno. Indique o que representam as epressões: a) área do quarto b) y área da cozinha mais área do banheiro c) y área da sala d) ( + y) área da casa 10 - Utilize as regras práticas para desenvolver os produtos notáveis a seguir: a) ( + y) = 6 + y + y b) (a ) = 4a 1a + 9 c) ( + y)( y) = 4 y d) (4 e) = 16 4e + 9e e) (5 + z ) = z + z 4 f) ( y )( y ) = ( y ) = 6 6 y + 9y 4

8 g) (f g) = 4f 1fg + 9g 11 - Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes: a) ( + y) y = + y b) (5 z) (5 +10z) = 4z² - 0z c) (+1) + (-1) = 18² d) ( ) + ( ) ( ) = 8² e) ( )( + ) ( y) = y - 9 f) (5a + ) + (5a - ) (a + 5) = 50a² - a + 8 g) ( ) + ( 5)( + 5) ( + 4) = Fatore cada uma das epressões algébricas: a) 11 = ( + 11) ( 11) b) 81 q = (9 + q) (9 q) c) 4z 5 = (z + 5) (z 5) d) 5 + 5z = 5( + z) e) a( ) + b( ) = ( ) (a + b) f) a + b + c = (a + b + c) g) + b + cz +dz = (1 + b) + z(c + d) h) 5z t + 10t ab +5b = 5t(z² + ) b(a 5) i) bd + cd +d + c + b + = d(b + c + 1) + (c + b +1) = (b + c + 1)(d+) j) z 6z = (z 1)²

9 k) = ( + )² l) 49 56y + 16y = (7 4y)² m) = (5 )²

10 1 - Represente graficamente, pintando a área pretendida. a) ( + )( + ) b) (a b)(a - b) c) (y + )(y ) 14 - Sabendo que + y = 5 e que y = 1, determine o valor de: a) + y = ( + y) =. 5 = 15 b) 7 7y = 7( y) = 7. 1 = 7 c) y = ( + y)( y) = 5. 1 = 5 d) + y + y = ( + y) = 5 = 5 e) - y + y = ( y) = 1 = 1.

11 01) Efetue (5 4 y ) ( y ) + (7 y ) ( y ) + + ( 0 5 y 5 ) 0) O polinômio 4 y + 5yz 4 m y z é do décimo grau. Determine o valor de m. Determine o valor numérico das epressões: 0) ( y) ( + y) +, para = e y = ) Qual é o polinômio que somado a dá como resultado + 6? 05) Qual o polinômio que dividido por dá quociente 1 e resto +? a) b) c) d) ) A estatura de um adulto do seo feminino pode ser estimada, através das alturas de seus pais, pela epressão: ( y 1 ) + Considere que é a altura da mãe e y a do pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5 cm da altura estimada, obtém-se, respectivamente, as alturas máima e mínima que a filha adulta pode atingir. Segundo essa fórmula, se João tem 1,7 m de altura e sua esposa tem 1,64, sua filha medirá, no máimo: a) 1,70 m. b) 1,71 m. c) 1,7 m. d) 1,7 m. 07) Determine as epressões algébricas que dão o perímetro e a área do retângulo abaio: Desenvolva os produtos notáveis a b 08) + b a 09) ( y z 4 + a) 10) (5 4 ) y y

12 11) ( + y) ( y) 1) ( 5) ( ) 1) ( + 5) ( ) 14) ( + ) 15) ( y) 16) Que termo devemos adicionar à epressão y + 9y para que ela represente o quadrado de uma soma? a) 6 4 y c) 18 4 y b) 1 4 y d) 4 4 y 17) Sendo a + b = e ab = y, então (a + b) é igual a: a) b) + y c) y d) + y e) + y 18) Se + 1 =, então o valo de + a) 9 b) 18 c) 7 d) 54 19) Das alternativas abaio, uma é FALSA. Identifique-a. a) (a + b) = a + ab + b b) a b = (a b) (a + b) c) a b = (a b) (a + ab + b ) d) a + b = (a + b) ab e) a + b = (a + b) (a ab + b ) 1 é: 0) Sendo a + b = 4 e a b =, calcule o valor de a b. Eercícios resolvidos a)( + 4y) = + 8y + 16 y b)( + ) 1 =

13 c) ( + ) = 10 a 100+0a + a 6 d)( 6 + r ) = 6+1r + r 4 1 e) + = f) + 6y = y + 6 y 1 g) a + = 9 a + a h) desafio (,8 + ) = 5 0 y 0,64+, y + 4y 10 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a)( 4 y) = 16 8y + y b)( a b) = 9a 1ab + 4b c) ( 7 ) = d)( y ) = 6 y 4 y e)( p 11) = p 1 p

14 5 f) = g)desafio ( 0,6) = 6 a a 1,a + 0, 6 h) ab = 4 4ab + 9a 9 b EXERCÍCIOS RESOLVIDOS a)( a + b)( a b) = a b b)( 5 + y)( 5 y) = 5 4y c) ( 8 1)( 8a + 1) = a 64a 1 4 d)( y 4a)( y + 4a)= y 16a 5 5 e)( + y )( y )= 10 y 6 f) ( y + a)( y a) = y g) = 4 4 a Lista de eercícios

15 Produtos notáveis e fatoração 1) Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva: 10 + a 10 a a) ( + 8) b) ( ) a + y 1+ 5m 1 5m c) ( ) d) ( ) ( ) e) ( ab c) f) ( m 1) g) ( a b )( a + b ) h) ( 4 + h) i) ( )( ) j) y a + t k) ( ) l) ( a c b )( a c + b ) m) ( y + y) k k n) + p p ) Simplifique as epressões algébricas: y y a) ( ) ( ) b) ( ) + a( a + ) c) ( m + 1) ( m 1) + ( m + 1) m d) ( + a )( a ) + a ( a 1) e) ( a + b) ( a b) 4ab

16 Fatoração ) Aplicando os casos de fatoração estudados, fatore os polinômios: a) + 5 b) c) d) e) a 5a + 6a f) a a + b b g) 64 y + 80 y + 5 h) a b + a b i) m 6 1 j) 4a 4ab + b k) 1a b + 18a l) y + y y m) ( +1) 9 n) a bc + ab c + abc o) 15a m 0a m 01- Determine os valores de X: a) X + 1 = 10 b) X 4 = 6X c) X + 10 = 0 d) (X + 1)= X + 10 Lista de eercício de equações do 1º grau 0- Um avião percorre 700 km em quatro horas. Em uma hora e 0 minutos de vôo percorrerá: 0- O triplo da altura de Joana e mais 15cm dá 441cm. Qual a altura de Joana? 04- Somando-se 489 à metade de um número, obtemos o dobro dele. Qual é esse número? 05- Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

17 I) Desenvolva os produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos (a + b) = a +. a. b + b ( + y ) = () +.. y + (y ) = 9 + 6y + y 4 EXERCICIOS a) ( + 1) = c) ( + y) = e) (ab + 1) = g) (a b + ab ) = i) ( 5 + y 6 ) = Quadrado da diferença de dois termos (a b) = a. a. b + b (m ) = m. m. + = m 6m + 9 EXERCICIOS a) (a 1) = c) ( y) = d) (a b ) = e) ( y ) = f) (5ab 1) = g) (ab a b) = h) ( y y ) = i) ( y) = j) y = Produto da soma pela diferença entre dois termos (a + b).(a b) = a b ( + y).( y) = 4 9y EXERCICIOS a) (7 y).(7 + y) = b) ( + 1).( 1) = c) (mn + 1).(mn 1) = d) (ab + c ).(ab c ) =

18 e) (t + 1).(t 1) = f) ( + y).( y) = g) ( + 7).( 7) = h) ( 5).( + 5) = i) (4 + 7y).(4 7y) = j) (9a + c 4 ).(9a c 4 ) = Produto da forma ( + a).( + b) + (a + b) + a. b + S + P ( ).( ) = + ( ) + ( ).( ) = EXERCICIOS a) ( + 6).( + 5) = b) ( 4).( + 7) = c) ( + ).( 8) = d) ( + 6).( 4) = e) ( ).( + 9) = f) ( + 9).( + 8) = g) ( 5).( + 9) = h) ( 8).( ) = i) ( + 7).( 6) = j) ( 6).( + ) = II) Fatore: Fator comum ab + ac = a(b + c) EXERCICIOS a) m + my = b) a + ab = c) a + b = d) 10a 0a = e) 4a 8a = f) 7a b + 8ab = g) (a + b) + (a + b)y = h) a y + a = i) = j) 7ab + a + a = k) 10a 100a + 60a = l) 5 y 14 y = Agrupamento ac + bc + ad + bd = c (a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d) EXERCICIOS a) a ay + b by = b) 5a 5ay + b by = c) a + 5a = d) 6a + ab ac bc = e) t + t 7t 7 = f) =

19 g) b + b k k = h) b by y = i) a 5 + a + a + = j) c + + c + 1 = Diferença entre dois quadrados a b = (a + b)(a b) EXERCICIOS a) 81a 4 b 6 = b) 4 1 = c) 4 y 4 = d) y 16a b = e) 1 5 a = f) b c = 4 16 g) 16 9y = h) 1 m n = i) = j) 49h 81p = Trinômio do quadrado perfeito a + ab + b = (a + b) ou a ab + b = (a b) EXERCICIOS a) a + a + 1 = b) = c) 9m + 6m + 1 = d) 1 y + y = e) = f) = g) 4 1y + 9y = h) a 6 + 1a + 6 = i) 11 y + 44y + 4 = j) 1 1 m m + = 4 9 Trinômio do º grau + (a + b) + ab = ( + a)( + b) EXERCICIOS a) 5 = b) y + 8y +1 = c) 7 = d) b + 8b + 15 = e) y + 5y 6 = f) t + t = g) 0 = h) k + 15k + 56 = i) y + 9y + 8 = j) =

20 III) Calcule os produtos notáveis: 1) (a + 5) = ) (a + 4) = 5) ( + ) = 7) (5 + ) = 9) ( + y) = 11) (a 1) = 1) (a ) = 15) (9 ) = 17) (a ) = 19) 1 a 8 5 b = 1) (t 6) = 1 1 ) + = 5) (a + b)(a b) = 7) ( + y)( y) = 8) y + y = 9) ( 5)( + 5) = 0) ( 1)( + 1) = 1) (m + 4)(m 4) = ) ( + )( + 4) = 4 4) y y + = ) + 6) (y + 8)(y + 9) = 7) ( 9)( ) = 8) y + y = 5 5 9) (a + 1)(a + ) = 40) (r + 5)(r ) = 41) ( + 6)( + 6) = 4) (m 5)(m 1) = 4) (p + 10)(p + 10) = 44) (b 5)(b ) = IV) Identifique os casos de fatoração e fatore as epressões algébricas:

21 1) 4a + 4b = ) 10a 5ay = ) 15 y 11 z = 4) 6y y + 1 yz = 5) 6y + 10ab = 6) 1y 18y = 7) mn + my = 8) 8ab 1ac 14ad = 9) + y + 4y + 6 = 10) a 4 + a b + c + cb = 11) a + a = 1) 6a 8ab + 6b 8b = 1) a b 50a + 5b = 14) a + 5a b + 5b = 15) a + ay + b + by = 16) 8z 8yz + y = 17) a + b + ay + by + az + bz = 18) + y 6y = 19) y b yb = 0) (a + b) + (a + b) = 1) 10 49y 6 = ) 9 6a b = ) 4a 5 y 4 = 4) 100 y 4 1 = 5) y 6y + 9 = 6) 9a 6a + 1 = 7) = 8) 9a 6ab + b = 9) = 0) + + 1= 4 y y 1) + + = 9 4 ) y = ) = 4) = 5) = 6) m 4m + = 7) t + 7t 8 = 8) = 9) = 40) = V) Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes. a) ( + 7)( 7) + 50 b) ( + 1)( 1) c) (a b)(a + b) + 9b + 1 d) (5 ) + ( )( ) e) ( 5) ( ) 16 f) ( + 1) + 8 g) ( + ) ( + 4) h) ( + 1)( ) + ( + 1) i) (m + n) (m + n) j) ( + y) + ( + y)( y) k) 6(a + ) + (a ) + (a 4)(a + 4)l) (m ) (m + 1)(m 1) m) (a b 5)(a b + 5) + a(ab 1) n) ( 1) ( 1) + ( 1)

22 1. A epressão mais simples de é: a) -1 b) ab c) ( a+ b ) ( a b) 1 e) a - b d) -ab. Sendo (a + b) = 900 e ab = 00. O valor de a + b corresponde a: a) 500 b) 700 c) 1100 d) 100 e) Fatorando a epressão y - y, obtemos: a) (y - 1) b) y ( - 1) c) y (1 - ) d) y ( + 1) ( - 1) e) y ( + 1) 4. O valor da epressão y + y, onde y = 1 e + y = 8, é: a) 40 b) 96 c) 44 d) 88 e) 5. Se a e b são números reais inteiros positivos tais que a - b = 7 e a b - ab = 10, o valor de ab é: a) 7 b) 10 c) 0 d) 7 e) Sabendo que y ( 010) ( 1990) =, o valor de y 7 é igual a 10 a) 8 b) 16 c) 0 d) e) 6 7.Se = 14, com > 0, então + é igual a a) 7 b) 7 c) 7 d) 10 e)

23 8. Sendo um número positivo tal que 1 + = 14, o valor de 1 + é a) 5. b) 54. c) 56. d) 58. e) 60. Gabarito: 1.c.a.d 4.b 5. c 6.b 7. d 8. a Solução: Seja: = = = 1 + = 4 1 Fazendo +, temos : = = = = 5 observe que + 1/ = 14 Eercícios resolvidos de fatoração de polinômios 1) Epressões algébricas fatoradas (fatoração simples). a) a + ay + az = a( + y + z) b) 4m + 6am =m(m a) c) 7y - 1 y = 7y(y - ) ) Epressões algébricas fatoradas (por agrupamento)

24 a) a + b + am + bm = (a + b) + m(a + b) = (a + b).( + m) b) + 4y + m + my = ( + y) + m( + y) = ( + y).( + m) ) Epressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados) a) 9-16 = ( - 4).( + 4) b) 5-4a m 6 = (5 - am.(5 + m ) c) 0, 81b 4-6 = (0,9b - 6).(0,9b + 6) d) (a + ) - 9 = (a + - ).(a + +) = a(a + 6) e) (m + 1) - (k - ) = [(m (k - ].[m (k -)] = (m +1 - k + ).(m k - ) = (m - k +).(m + k - 1) 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a) = ( - ) = ( - ).( - ) b) = ( - ) = ( - ).( - ) c) = ( - 5) = ( - 5).( - 5) d) m + 8m + 16 = (m + 4) = (m + 4).(m + 4) e) p - p + 1 = (p - 1) = (p - 1).(p - 1) f) k k + 49 = (k + 7) = (k + 7).(k + 7) g) (m + 1) - 6(m + 1) + 9 = (m ) = (m - ) = (m - ).(m - ) 6) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos a) a + b = (a + b).(a - ab + b ) b) m - 8n = m - (n) = (m - n)(m + mn + 4n ) c) = ( ) + 4 = ( + 4).( ) d) y - 15 = y - 5 = (y - 5).(y + 5y + 5) 7) Fatore até as epressões tornarem-se irredutíveis: a) m 8-1 = (m 4 ) - 1 = (m 4-1).(m 4 + 1) = (m - 1)(m + 1).(m 4 + 1)= (m - 1).(m + 1).(m + 1).(m 4 + 1) b) a - 10a + 5a = a( ) = a( - 5) = a( - 5).( - 5) c) m - 18m = m(m - 9) = m(m - ).(m + ) d) [( -) - 4( - ) + 4] - [( - ) + 4( - ) + 4] = [( - - ) ] - [( - + ) = ( - 5) - ( - 1) [( ( - 1)].[ ( - 1)] = - 4( - 6) = - 4. ( - ) = -8.( - ) 1). a) a + ay + az = a( + y + z) b) 4m + 6am =m(m a) c) 7y - 1y = 7y(y - ) ) Epressões algébricas fatoradas (por agrupamento) a) a + b + am + bm = (a + b) + m(a + b) = (a + b).( + m) b) + 4y + m + my = ( + y) + m( + y) = ( + y).( + m) a) 9-16 = ( - 4).( + 4)

25 b) 5-4am6 = (5 - am.(5 + m) c) 0, 81b4-6 = (0,9b - 6).(0,9b + 6) d) (a + ) - 9 = (a + - ).(a + +) = a(a + 6) e) (m + 1) - (k - ) = [(m (k - ].[m (k -)] = (m +1 - k + ).(m k - ) = (m - k +).(m + k - 1) 4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos a) = ( - ) = ( - ).( - ) b) = ( - ) = ( - ).( - ) c) = ( - 5) = ( - 5).( - 5) d) m + 8m + 16 = (m + 4) = (m + 4).(m + 4) e) p - p + 1 = (p - 1) = (p - 1).(p - 1) f) k4 + 14k + 49 = (k + 7) = (k + 7).(k + 7) g) (m + 1) - 6(m + 1) + 9 = (m ) = (m - ) = (m - ).(m - ) 6) a) a + b = (a + b).(a - ab + b) b) m - 8n = m - (n) = (m - n)(m + mn + 4n) c) = () + 4 = ( + 4).( ) d) y - 15 = y - 5 = (y - 5).(y + 5y + 5) 7) a) m8-1 = (m4) - 1 = (m4-1).(m4 + 1) = (m - 1)(m + 1).(m4 + 1)= (m - 1).(m + 1).(m + 1).(m4 + 1) b) a - 10a + 5a = a( ) = a( - 5) = a( - 5).( - 5) c) m - 18m = m(m - 9) = m(m - ).(m + ) d) [( -) - 4( - ) + 4] - [( - ) + 4( - ) + 4] = [( - - )] - [( - + ) = ( - 5) - ( - 1) [( ( - 1)].[ ( - 1)] = - 4( - 6) = - 4. ( - ) = -8.( - )