Equações Diferenciais Ordinárias

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 2004/2005 Equações Diferenciais Ordinárias PROBLEMAS 1 Considere a equação diferencial dy dx = y(x2 1) com y(0) = 1 e x [0, 1]. (a) Calcule as soluções aproximadas usando os métodos de Euler progressivo e regressivo com passo h = 0.1. Determine um majorante para o erro de truncatura. b) Calcule a solução aproximada usando o método de Taylor de segunda ordem com passo h = Considere o seguinte circuito eléctrico: e i L R C onde L é a inductância de uma bobina, R é a resistência, e C é a capacidade do condensador. A equação diferencial para este circuito eléctrico é a seguinte: L di dt + Ri + 1 idt= e(t). C Dado que a carga eléctrica está definida como q = idta equação acima pode escrever-se: L d2 q dt 2 + Rdq dt + 1 C q = e(t). Determine o valor da carga q nos instantes de tempo 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 e 1, no caso em que as constantes eatão definidas de tal modo que conduzem à seguinte equação: q +2q +2q =1. Considere que q(0) = 0 e q (0) = 0. 1

2 RESOLUÇÕES 1 (a) i. No método de Euler progressivo a expressão que fornece o valor y i+1 é: Para este caso temos então: y i+1 = y i + h f(x i,y i ). y i+1 = y i + h y i (x 2 i 1) ii. No método de Euler regressivo o cálculo de y i+1 é feito com base na seguinte expressão: Substituindo para o presente caso temos: y i+1 = y i + h f(x i+1,y i+1 ). y i+1 = y i + h y i+1 [(x i + h) 2 1] Como nesta equação podemos isolar y i+1 (!) temos ainda: y i y i+1 = 1+h [1 (x i + h) 2 ]

3 iii. Determinação de um majorante para o erro de truncatura nos métodos de Euler (progressivo e regressivo): T h h 2 sup d x [0,1] dx [y(x) (x2 1)] = 0.05 sup y(x) [2x +(x 2 1) 2 ] x [0,1] 0.05 y(0) 2 = 0.1 porque no intervalo [0, 1] y( ) é positiva e decrescente (porquê?) e 2x +(x 2 1) 2 é positiva e crescente. (b) No método de Taylor de segunda ordem o valor de y i+1 é determinado pela expressão: y i+1 = y i + h f(x i,y i )+ h2 2 f (x i,y i ). Fazendo a substituição para este exemplo temos: y i+1 = y i + h y i (x 2 i 1) + h2 2 y i [2x i +(x 2 i 1) 2 ] Estando perante uma equação diferencial de 2 a ordem o primeiro passo é a sua transformação num sistema de 2 equações de 1 a ordem. Para tal fazemos u 1 = q e: u 1 = u 2 u 2 =1 2u 1 2u 2 u 1 (0) = 0 u 2 (0) = 0 O passo seguinte é a resolução deste sistema de EDOs. Como nada nos é dito sobre o método a usar para resolver cada uma das EDOs vamos optar pelo método de Euler progressivo. Note-se que, por enunciado, h = 0.1. O resultado da aplicação deste método será o seguinte sistema de fórmulas recursivas: u 1,i+1 = u 1,i +0.1 u 2,i u 2,i+1 = u 2,i +0.1 (1 2u 1,i 2u 2,i ) u 1,0 =0 u 2,0 =0 Aplicando as fórmulas obtém-se a seguinte tabela de valores: 3

4 t i u 1,i u 1,i+1 u 2,i u 2,i Na segunda coluna (u 1,i )estão representados os valores pedidos, isto é, os valores de q para os instantes de tempo indicados no enunciado. 4

5 PROBLEMAS PROPOSTOS 1 Calcular um solução aproximada do problema de valor inicial y = y 2 x +2, x [1, 3], y(1) = 0 utilizando o método de Euler progressivo com passo 0.1. Determinar um majorante para o erro de truncatura. 2 Calcular soluções aproximadas do problema de valor inicial y = 2 y +4x, x [0, 1], y(0) = 1 (a) pelo método de Euler progressivo, com passo (b) pelo método de Taylor de ordem 2, com passo 0.1. (c) pelo método de Runge-Kutta de ordem 4, com passo Determinar, pelo método de Euler progressivo com passo 0.1, a solução de u 1 = u 1 + u 2 u 3 u 2 = u 1u 3 u 3 = u 2 no intervalo [0, 1], com u 1 (0) = u 2 (0) = u 3 (0) = 1. 4 Determinar, pelo método de Runge-Kutta de ordem 4 com passo 0.1, a solução de y + y + y + y +0.1y 2 =0 no intervalo [0, 10], com y(0) = 2, y (0) = 0 e y (0) = 0. ACM, AMG, JBS, JFO 5