Álgebra Linear I - Lista 12. Matrizes semelhantes. Diagonalização. Respostas

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1 Álgebra Linear I - Lista 12 Matrizes semelhantes. Diagonalização Respostas 1) Determine quais das matrizes a seguir são diagonalizáveis. Nos caso afirmativos encontre uma base de autovetores e uma forma diagonal das matrizes. A = D = , B =, E = , C =, F = Resposta: A matriz A é triangular. Seus autovalores são os elementos da diagonal, ou seja, 1, 2 e 3. Como são diferentes, é diagonalizável, e sua forma diagonal é Seus autovetores são as soluções não triviais dos seguintes sistemas: λ = 1, Uma solução não trivial é (1, 1, 0). λ = 2, x = x, x + 2y = y, x + y + 3z = z. x = 2x, x + 2y = 2y, x + y + 3z = 2z. Uma solução não trivial é (0, 1, 1). λ = 3, x = 3x, x + 2y = 3y, x + y + 3z = 3z. 1,.

2 Uma solução não trivial é (0, 0, 1). Logo uma base de autovetores é β = {(1, 1, 0), (0, 1, 1),(0,0,1)}. O polinômio característico da matriz B é p(λ) = λ 2 (1 λ) + λ = λ(λ λ 2 + 1). Ou seja, os autovalores são 0 e (1 ± 5)/2. Verificamos que uma base de autovetores é {(0, 1, 0), ((1 + 5)/2, 0, 1)((1 5)/2, 0, 1)}. Portanto, é diagonalizável. Finalmente, sua forma diagonal é (1 + 5)/ (1. 5)/2 Finalmente, a matriz C é triangular. Seus autovalores são os elementos da diagonal, ou seja, 1 (duplo) e 2. Para calcular os autovetovetores associados a 1 resolvemos x + y = 0. Que fornece dois autovetores l.i. (0, 0, 1) e (1, 1, 0). Finalmente, para os autovetores associados a 2 resolvemos x = 0, x + y z = 0. Logo (0, 1, 1) é autovetor. Uma base de autovetores é {(0, 0, 1), (1, 1,0), (0,1,1)}. Finalmente, uma forma diagonal é A matriz D não é diagonalizável, tem um único autovalor 1, e é possível encontrar no máximo um único autovetor l.i., (os autovetores são da forma (t, 0, 0)). 2

3 A matriz E é diagonalizável pois tem três autovalores diferentes (1, 2 e 3). Uma base de autovetores é β = {(1, 0, 0), (0, 1, 1),(0,0,1)}. A matriz F é diagonalizável pois tem três autovalores diferentes (1, 0 e 2). Uma base de autovetores é β = {(1, 0, 0), (0, 1, 1),(0,1,1)}. 2) Considere as matrizes A = 0 2 1, B = , C = Estude quais destas matrizes são diagonalizáveis. Nos casos afirmativos determine a forma diagonal D e uma matriz P tal que PDP 1 é a matriz original. Resposta: As matrizes A e B não são diagonalizáveis. A matriz C sim é diagonalizável. Sua forma diagonal é D = Uma base de autovetores é {(1, 0, 0), (1, 1,0), (1,1,1)} e a matriz P é P = ) Considere a matriz A = Suponha que B = PAP 1. Estude se B é diagonalizável. Caso afirmativo determine sua forma diagonal. Resposta: A matriz B não é diagonalizável. Se fosse teríamos B = MDM 1 3

4 com D diagonal. Logo B = MDM 1 = PAP 1, A = (P 1 M)D(M 1 P). Observe que T = P 1 M é inversível e sua inversa é M 1 P. Logo A = TDT 1, e A seria diagonalizável. Mas sabemos que a matriz A não é diagonalizável. onde 4) Considere as matrizes [P] = [Q] = A = PDP 1, B = QTQ 1, , [D] =, [T] = Calcule a soma dos autovalores de A 10 e B Resposta: Observe que A 10 e D 10 são semelhantes: A 10 = PD 10 P 1. Portanto, possuem os mesmos autovalores. Os autovalores de D 10 são 1 duplo e Logo a soma pedida é (estamos somando os autovalores considerando sua multiplicidade). O segundo caso é similar ao anterior. Observe que 1 2 a 2 b 2 [T 2 ] = c 2. 2., Indutivamente, [T 10 ] = 1 10 a 10 b c

5 Observe agora, como no exercício precedente, que B 10 e T 10 são semelhantes: B 10 = QT 10 Q 1. Portanto, possuem os mesmos autovalores. Os autovalores de T 10 são 1, 2 10 e Logo a soma pedida é ) Considere T uma transformação linear que satisfaz T(1, 1, 1) = 2(1, 1, 1), T(1, 1, 0) = 3(1, 1, 0), T(1, 0, 1) = 3(1, 0, 1). Encontre, se possível, uma base de R 3 feita de autovetores de T ortogonais entre si. Estude se T é diagonalizável. Caso afirmativo determine sua forma diagonal. Resposta: Considere a base de autovetores {(1, 1, 1), (1, 1,0), ( 1,1,2)} (verifique). Como os três autovetores são l.i., formam uma base de autovetores. A matriz é portanto diagonalizável e sua forma diagonal é B = ) Determine para que valores de a e b as matrizes abaixo são diagonalizáveis: a) ( 3 a 0 3 b) 1 b Determine c e d para que os vetores não nulos do plano π: x + y = 0 sejam autovetores da matriz abaixo e o vetor (17, 21, 356) não seja um autovetor: ).. 5

6 c) d 3 0 c c 3 Respostas: Observe primeiro que todas as matrizes são triangulares, portanto seus autovalores são as entradas da diagonal principal com as multiplicidades correspondentes. Logo, a matriz do item (a) tem um único autovalor λ = 3 de multiplicidade 2, a matriz do item (b) tem autovalores λ = 2 de multiplicidade 2 e 1 simples, e a matriz do item (c) tem um único autoavalor λ = 3 de multiplicidade 3. Lembre também que uma matriz é diagonalizável se, e somente se, possui uma base de autovetores. Para a matriz ( 3 a 0 3 devemos ver quando existem dois autovetores linearmente independentes associados a 3. Isto é, o sistema ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 a x 0 a x 0 = =, ay = y 0 0 y 0 deve ter R 2 como soluções. Portanto, a = 0. Para que a matriz ) 1 b seja diagonalizável, o autovalor 2 de multiplicidade dois deve ter dois autovetores linearmente independentes, ou seja as soluções do sistema 1 2 b 0 x 1 b 0 x y = y = 0 2 z z 0 6.

7 devem formar um plano. Temos que as soluções devem verificar x + by = 0, que sempre é um plano, independentemente do valor de b. Ou seja, para todo b R a matriz é diagonalizável. Finalmente, para o item (c) observe que os autovetores da matriz (associados a 3) devem verificar x 0 d 0 0 y = 0, dx = 0, cx + cy = 0. c c 0 z 0 Observe que se d 0 então x = 0. Neste caso há vetores não nulos do plano x + y = 0 (por exemplo (1, 1, 0)) que não são autovetores (pois não são solução do sistema). Portanto d = 0. Logo a solução do sistema é cx + cy = 0. Se c = 0, (como já sabemos que d = 0) qualquer vetor é solução do sistema, em particular o vetor (17, 21, 356). Logo c 0. Neste caso as soluções formam o plano x + y = 0. Portanto, a resposta é d = 0, c 0. 7) Estude a veracidade das afirmações a seguir: Seja A uma matriz 3 3 diagonalizável. Suponha que B = PAP 1 (onde P é uma matriz 3 3 inversível). Então B é diagonalizável. Seja A uma matriz diagonalizável. Então A 3 também é diagonalizável. A matriz A = tem autovalores 0 (de multiplicidade 2) e = Duas matrizes 2 2 com o mesmo polinômio característico, o mesmo traço e o mesmo determinante são semelhantes. 7

8 Resposta: A primeira afirmação é verdadeira. É exatamente a definição matriz diagonalizável: ser semelhante a uma matriz diagonal. Observe que A = MDM 1 onde D é diagonal, logo B = PMDM 1 P 1 = (PM)D(PM) 1. A segunda afirmação também é verdadeira. É suficiente provar que existe uma base de autovetores de A 3. Como A é diagonalizável, existe uma base de autovetores de A, β = {u, v, w} com A(u) = λu, A(v) = σ v e A(w) = τ w (onde λ, σ e τ não são necessariamente diferentes). Temos A 3 (u) = λ 3 u, A 3 (v) = σ 3 v e A 3 (w) = τ 3 w. Portanto, u, v e w são autovetores de A 3, assim β é uma base de autovetores de A 3 e A 3 é diagonalizável. Outra forma, A = PDP 1, A 3 = PDP 1 PDP 1 PDP 1, = PD 3 P 1. Como D 3 é diagonal, se segue a afirmação. A terceira afirmação é verdadeira. Como as linhas da matriz são proporcionais (a segunda linha é obtida multiplicando por dois a primeira, e a terceira linha é obtida multiplicando por três a primeira), o determinante é nulo. Como o determinante é o produto dos autovalores (contados com multiplicidade), existe um autovalor nulo. Os autovetores associados a 0 são os vetores não nulos do plano 222 x y z = 0, ou seja, há dois autovetores l.i. associados ao autovalor 0, e portanto a multiplicidade de 0 é no mínimo 2. Não pode ser 3. pois em tal caso o traço da matriz seria nulo, ou seja, a multiplicidade de 0 é 2. Logo falta por determinar um autovalor, para isso usamos que a soma dos autovalores contados com multiplicidade é o traço, temos que, se λ é o terceiro autovalor, o que prova a afirmação λ = = 25553, Finalmente, a última afirmação é falsa. Considere as matrizes ( ) ( ) A =, B

9 Temos det(a) = det(b) = 1, tr(a) = tr(b) = 2, e os polinômios caraterísticos são p A (λ) = p B (λ) = (1 λ) 2. 8) Seja A uma matriz diagonalizável tal que A 10 é a matriz nula (todos os coeficientes são zero). Determine A. Seja A uma matriz diagonalizável cujos autovalores são números reais positivos. Sabendo que A 10 é a identidade determine A. Resposta: A matriz A do primeiro item é a matriz nula: Se A = PDP 1 temos A 10 = PD 10 P 1 = 0. Multiplicando por P 1 à esquerda e por P à direita, temos D 10 = 0. Como D 10 é diagonal λ D 10 0 λ = λ 10 n, D10 = λ λ λ n temos λ 10 i = 0, logo λ i = 0. Isto implica que D = 0 e portanto A = 0. A matriz A do segundo item é identidade. Raciocine como no item precedente. 9) Seja A uma matriz 3 3. Suponha que a) Estude se A é inversível. det(a λi) = (λ 3) 2 (λ 2). 9

10 b) Estude se A pode ser encontrada de maneira que A seja semelhante à matriz diagonal D = 0 2 0, isto é, A = PDP 1, c) Estude se A pode ser encontrada de maneira que A seja semelhante à matriz D = Resposta: A matriz A sim é inversível. Os autovalores de A são as raizes do polinômio característico. Ou seja 2 e 3 (com multiplicidade dois). Podemos ver que A é inversível de duas formas: primeiro, como A não tem autovalor zero é inversí vel. Ou de outra forma, o determinante de A é o produto dos autovalores contados com multiplicicade, no caso 18. Como o determinante é não nulo é inversível. A resposta ao item (b) é negativa. Podemos ver isto de duas formas. Duas matrizes semelhantes têm o mesmo determinante. O determinante de A é 18, como vimos, o de D é 12. Logo não são semelhantes. De outra forma, as matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores com a mesma multiplicidade. Mas a matriz D tem o autovalor 2 com multiplicidade 2 e 3 com multiplicidade 1. Logo não são semelhantes. Para o item (c) a resposta é novamente negativa. Um método é calcular os determinantes. Veja que o determinante de D é Outra forma, veja que D tem polinômio característico (λ 2)((λ 3) 2 1) = (λ 2) 2 (λ 4). Logo seus autovalores são 4 e 2, que são diferentes dos autovalores de A. Portanto, as matrizes não são semelhantes. 10