Análise Combinatória I

Transcrição

1 Aálise Combiatória I O pricípio fudametal da cotagem ada mais é que a maeira mais simples possível de determiar de quatas maeiras diferetes que um eveto pode acotecer. Se eu, por exemplo, estiver pitado a miha casa e decidir que quero uma só cor para a parte extera e uma só cor para o iterior. Na loja em que eu vou procurar titas eles me oferecem 6 cores de titas para a fachada e 4 cores de tita para o iterior. Fachada braco azul verde rosa amarelo vermelho Iterior braco azul creme amarelo 4 braco 5 azul 6 creme 7 amarelo 8 braco 9 azul 0 creme amarelo braco azul 4 creme 5 amarelo 6 braco 7 azul 8 creme 9 amarelo 0 braco azul creme amarelo 4 Teho etão 6x4 = 4x6 = 4 possibilidades de combiações de cores para pitar miha cas Pelo pricípio fudametal da cotagem sabemos etão que, tedo uma quatidade de acotecimetos INDEPENDENTES (e o exemplo isso se expressa pelo fato de que ão pesamos se as cores combiam, por exemplo), basta que multipliquemos o úmero de possibilidades de cada acotecimeto para saber o úmero total de possibilidades. Se pesarmos etão, por exemplo, em quatos úmeros diferetes de 4 algarismos podemos existem, teremos quatro espaços a preecher da seguite forma: {; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} {0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 0 possibilidades {0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 0 possibilidades {0; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9} 0 possibilidades Teremos etão um total de = = 9000 úmeros de 4 algarismos. Note que para a primeira opção temos apeas ove opções, pois se escolhermos o zero geraremos um úmero de apeas três algarismos.

2 Se dissermos agora que queremos saber quatos úmeros de 4 algarismos existem e que ão teham ehum algarismo repetido, basta repetir o processo para os ovos dados. A difereça agora é que, além de ão poder colocar o zero a casa mais à esquerda, teremos a cada escolha uma opção a meos, que é o úmero que já foi escolhido. (os dez algarismos meos o zero) (os dez algarismos meos o da primeira casa) 8 possibilidades (os dez algarismos meos os da primeira e seguda casa) 7 possibilidades (os dez algarismos meos os da primeira, seguda e terceira casa) Cocluímos etão que o úmero de úmeros de quatro algarismos ão repetidos existetes é de = 456 úmeros. Nesse último exemplo tivemos uma escolha codicioada para o primeiro algarismo (a partir da esquerda), pois ão podíamos colocar o zero. A partir do segudo algarismo o que fizemos pelo pricípio fudametal da cotagem foi cotiuar a multiplicação, sempre descotado uma uidad É disso que se trata o cálculo do que chamamos de arrajo simples e já que temos a idéia bem compreedida podemos formalizar esse cohecimeto utilizado a liguagem cobrada os vestibulares. O que fizemos etão foi o cálculo do arrajo simples de ove elemetos tomados três a três. Assim itroduzimos a fórmula de arrajo da seguite maeira: A p = A, p = ( p)! E, o caso em questão: 9! ! A 9, = 9 = 9 = = 456 (9 )! 6! 9 Relembrado, esse poto de exclamação depois do úmero idica que deve ser realizado o cálculo de fatorial. O fatorial de um úmero ada mais é que o produto de todos os úmeros aturais ão ulos meores ou iguais a ele, ou seja: 6! = = 70 = 6 5!! = = 6! = Assim, de maeira mais geral, podemos dizer que, para qualquer atural diferete de zero ( 0! =, por defiição) temos:! = ( )! Se quisermos saber, por exemplo, quatas palavras com três letras ão repetidas podemos formar com todas as letras do alfabeto teremos: 6! 6! 6 5 4! A6, = = = = = 5600 palavras (6 )!!!

3 . (PUC-SP) A expressão é igual a: ( + )! b. ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ). (PUC-SP) Se ( 6)! = 70 etão = b. = =0 = =4 ( + )! +. (UFPA) Simplificado, obtém-se ( + )! ( + ) b. ( + ) ( + )( + ) ( + ) ( + ) 4. (PUC-PR) A soma das raízes da equação ( 5x 7)! = vale: 5 b (FGV-SP) A expressão K b. K ( K )! [( K )!] (K!) K [( K )!] ( K!) [( K )!], é igual a: EXERCÍCIOS

4 + ( )! 6. (UEL-PR) Se o úmero atural é tal que = 8, etão é um ( )! úmero: meor que b. divisível por 5 divisível por maior que 0 múltiplo de 7 7. (CEFET-PR) O valor de para que = ( + )! é: + 0 b. 4 0+! 0! 8. (FMABC-SP) Simplifique 00! 00 b. 0! ! (UFRN) A quatidade de úmero de dois algarismos distitos que se pode formar com os algarismos,, 5, 7 e 9 é igual a: 5 b (MACK-SP) Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O úmero de modos distitos das pessoas ocuparem as cadeiras é: 680 b. 8! 8!4! 8!/4. (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação (x+)!=x!+6x são: e 6 b. e 6 e e 0 da. (PUC-SP) A quatidade de úmeros de quatro algarismos distitos que, podem se pode formar com os algarismos,, 4, 7, 8 e 9 é: 00 b

5 . (UEL-PR) Num pequeo pais, as chapas dos automóveis tem duas letras distitas seguidas de algarismos sem repetição. Cosiderado-se o alfabeto com 6 letras, o úmero de chapas possíveis de se firmar é: 70 b (PUC-PR) O úmero de placas de veículos que poderão ser fabricadas utilizado-se das 6 letras do alfabeto latio e dos 0 algarismos arábicos, cada placa cotedo três letras e quatro algarismos, ão podedo haver repetição de letras e algarismos é: b (PUC-SP) A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e os algarismos impares, quatas placas diferetes podem ser costituídas, de modo que a placa ão teha ehum algarismo repetido, e ehuma letra repetida? 480 b (UFSC) Calcule o úmero de aagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem jutas e essa ordem. 7. (UFCE) A quatidade de úmero iteiros compreedidos etre e que podemos formar utilizado-se somete os algarismos,, 4, 6 e 7 de modo que ão fiquem algarismos repetidos é: 48 b (CEFET-PR) A quatidade de úmeros formados por 4 algarismos distitos, escolhidos etre,,, 4, 5, 6 e 7 que cotem e e ão cotem o 7, é: 84 b RESPOSTAS b 0 a a d d c 4 d c 5 b 4 b 6 c 5 d 7 a e 7 b 9 d 8 c 5