MEDIDAS E INCERTEZAS

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1 9//0 MEDIDAS E INCERTEZAS O Que é Medição? É um processo empírico que objetiva a desigação de úmeros a propriedades de objetos ou a evetos do mudo real de forma a descrevêlos quatitativamete. Outra forma de eplicar este processo é comparar a quatidade, ou variável descohecida, com um padrão defiido para este tipo de quatidade, implicado etão um certo tipo de escala. Tipos de medidas Medida Nomial Quado duas quatidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (E. duas cores, acidez de dois líquidos) Medida Ordial Quado é ecessário ter iformação a tamahos relativos (E. Classificação por peso e altura de uma turma) Medida em Itervalos Quado deseja-se uma iformação mais especifica, evolve-se etão uma certa escala, sem icluir potos de referêcia ou zero. (E. o caso aterior usar a escala de metros e quilogramas) Medidas Normalizadas Defie-se um poto de referêcia e realiza-se a razão, dividido cada medida pelo valor de referêcia, determiado as magitudes relativas. (E. O maior valor obtido será, quado foi escolhido como referêcia o valor máimo medido). Medidas Cardiais O poto de referêcia é comparado com um padrão defiido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido cotra uma referêcia padrão, como o Sistema Iteracioal de Medidas, o SI.

2 9//0 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI O Processo de Medida Operador: - Cohecimeto do processo de medida - Escolha adequada do istrumeto - Domíio do istrumeto de medida O Coceito de Medida Os erros das medidas ão podem ser completamete elimiados, coseqüetemete, ão é possível cohecer o valor verdadeiro de uma gradeza. Por este motivo o valor de uma medida é represetado por um itervalo de valores.

3 9//0 Epressão da Medida de uma Gradeza Quado Apeas uma Medida é Efetuada. Quado é efetuada apeas uma medida de uma gradeza a epressão da medida é codicioada à resolução do istrumeto de medida. Como ão é possível ecotrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um valor máimo e um míimo, apotados pelo istrumeto de medida. mí má Eiste uma probabilidade muito grade de que o valor verdadeiro esteja etre mí e má. mí < verdadeiro < má mí má Como o valor verdadeiro ão é cohecido etão, faz-se uma estimativa da medida por meio do valor médio do itervalo,, e da icerteza do istrumeto δ : Defie-se: δ < verdadeiro ± δ < + δ - Precisão do istrumeto (fução do itervalo de cofiaça [ mí : má ]): Itervalo de cofiaça p má - mí - Icerteza da medida: p má δ mí 3

4 9//0 Eemplo: Medir o comprimeto de uma peça retagular: m Objeto a ser medido Observa-se que a medida m está o itervalo: 0 cm m 5 cm ; O itervalo [0cm:5cm] é cohecido como Itervalo de cofiaça. Ele é, o míimo, igual à precisão do equipameto. Neste caso, 5 uidades. Com este itervalo, determia-se a Icerteza e o valor médio do itervalo de cofiaça m. cm Icerteza δ Pr ecisão Valor da medida δ m má m mí 5 0,5cm m m ± δ m (, 5 ±, 5)cm m m má + m mí 5 + 0,5cm Eercício Eercício.. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS... Média Aritmética A média aritmética é, de modo geral, a mais importate de todas as mesurações uméricas descritivas (TRIOLA, 999, p. 3). Durate todo este trabalho ela será desigada simplesmete por média. i... Desvio Padrão O desvio padrão é a mais importate e mais útil medida da variação dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele cosidera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das icertezas das medidas. i 4

5 9//0 a- Desvio Padrão Amostral É utilizado quado se aalisa uma amostra de uma população realizado-se um mesmo tipo de medida para cada elemeto distito da amostra. s ( ) i i δ i i sedo δ i, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é epresso por: b- Desvio Padrão Populacioal δ i i É utilizado quado todos os elemetos de um cojuto (população) participam da aálise. Uma mesmo tipo de medida é realizada para elemetos distitos da população. ( i ) δi i i σ c- Desvio Padrão do Valor Médio. É usado o caso em que um mesmo tipo de medida é realizado para um úico elemeto. Quado houver uma distribuição ormal, o desvio padrão do valor médio, que também é deomiado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 999, p. 9), é defiido por : σ s Coseqüetemete, σ s σ i ( i ) ( ) i δ i ( ) Ateção: Normalmete as calculadoras eletrôicas, bem como algus softwares, dispoibilizam para o usuário o cálculo de s (desvio padrão amostral) e o de σ (desvio padrão populacioal). Cabe ao usuário determiar o desvio padrão do valor médio, a partir destes. 5

6 9//0..3. Valor da medida A epressão do valor da medida, coforme cada caso, é dada por: ± s, ± σ ou ± σ, Normalmete, o desvio padrão, que ós devemos utilizar as ossas práticas é o do valor médio: σ etão, ± σ.3. Eemplos.3.. Determiar a altura média dos aluos da classe, cosiderado uma amostra de 5 aluos, escolhidos aleatoriamete:.3.. Problemas Propostos 6

7 9//0 Algarismos Sigificativos Algarismos sigificativos: São todos os algarismos obtidos o processo de medida. Os zeros icluídos para localizar o poto decimal ão são sigificativos (zeros à esquerda). E.: 945, 0, , (5 algarismos sigificativos) ( algarismos sigificativos) (4 algarismos sigificativos) ( algarismo sigificativo) (4 algarismos sigificativos) Mudaças de Uidade - Ao mudar a uidade de uma medida é importate ão alterar o úmero de algarismos sigificativos E.: 46 cm 0,46 m 46 cm 460 mm ou 0,460 m - A otação em potêcia de dez evita este problema 46 cm 46 0 mm (Está correto) (está errado pois aumetou o úmero de algarismos sigificativos) Por coveção apeas a matissa tem algarismos sigificativos - A otação cietífica também solucioa este problema 46 cm 4,6 0 mm 7

8 9//0 Critérios de Arredodameto O critério de arredodameto a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras cietíficas e programas afis. Se o úmero à direita do poto de arredodameto é: 0,,, 3, 4 Simplesmete elimia-se a parte a direita E.: dado o úmero 0, Arredodado para 8 casas depois da vírgula 0, Arredodado para 4 casas depois da vírgula 0,5637 Arredodado para casas depois da vírgula 0,56 5, 6, 7, 8, 9 Icremeta o algarismo à esquerda e elimia a parte à direita. E.: dado o úmero 0, Arredodado para 7 casas depois da vírgula 0, Arredodado para 5 casas depois da vírgula 0,56373 Arredodado para casa depois da vírgula 0,6 Eercícios Usado o Arredodameto para Represetar Medidas A Icerteza de uma medida só deve ter um algarismo sigificativo. Eemplo de leitura de tesão: Tesão (0, , ) V Ajustado a Icerteza para algarismo sigificativo Tesão (0, ,0006) V Para ajustar o valor médio da medida basta ver quatas casas decimais depois da vírgula eistem a icerteza (4 este caso) Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredodameto ecessário Etão: Tesão (0,64 + 0,0006) V (Resultado Fial) OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE Os arredodametos somete devem ser efetuados o fial de todas as cotas. Razão: cada arredodameto itroduz erro (pequeo) mas que ao logo de diversas cotas pode resultar em um úmero sem sigificado físico. 8

9 9//0 Operações Matemáticas com Medidas Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve cosiderar as icertezas de cada medida a fim de determiar a icerteza do resultado da operação. Eiste uma formulação geérica que permite determiar a icerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. Esta formulação leva em cosideração os valores máimo e míimo da operação. E.: Supodo duas medidas com suas respectivas icertezas coforme: ± δ Adição A a + δa B b + δb A + B a ± a + b ± b ( a + b) ± Ma a + a + b + b Meor valor que a operação pode assumir Mi a a + b b [ Ma Mi] Eemplo de adição: A 4, + 0, B 5,3 + 0, A + B A + B 4, ± 0, + 5,3 ± 0, (4, + 5, 3) ± Ma 4, + 0, + 5,3 + 0, 4, 4 + 5, 4 9,8 Meor valor que a operação pode assumir Mi 4, 0, + 5,3 0, 4,0 + 5, 9, [ Ma Mi] 9,8 A + B 9,5 ± [ 9,] 9,5 ± 0,3 Cálculos via Ecel 9

10 9//0 Subtração: A 4, + 0, B 5,3 + 0, A B A B a ± a b ± b ( a b) ± Ma a + a b b (cuidado com os siais) Meor valor que a operação pode assumir Mi a a b + b (cuidado com os siais) [ Ma Mi] A B 4, ± 0, 5,3 ± 0, (4, 5,3) ± Ma 4, + 0, 5,3 0, 4,4 5, 9, Meor valor que a operação pode assumir Mi 4, 0, 5,3 + 0, 4,0 5,4 8,6 [ Ma Mi] [ 9, 8,6] A B 8,9 ± 8,9 ± 0,3 Cálculos via Ecel Multiplicação: A 4, + 0, B 5,3 + 0, A B A B a ± a b ± b ( a b) ± Ma a + a b + b Meor valor que a operação pode assumir Mi a a b b A B 4, ± 0, 5,3 ± 0, (4, 5,3) ± Ma 4, + 0, 5,3 + 0, 4, 4 5,4 77,76 Meor valor que a operação pode assumir Mi 4, 0, 5,3 0, 4,0 5, 7,8 [ Ma Mi] [ Ma Mi] 77, A B 75, 6 ± [ 76 7,8 ] 75, 6±, 48 75± Cálculos via Ecel 0

11 9//0 Divisão: A 4, + 0, B 5,3 + 0, A : B ( ) ( ) ( + ) ( ) [ Ma Mi ] A 4, ± 0, 4, ± B 5, 3± 0, 5,3 4, 0, 4,4 Ma,7693 5,3 0, 5, Meor valor que a operação pode assumir 4, Mi ( 0, ) 4,0,5959 5,3 + 0, 5, 4 ( ) [,7693,5959] ( δ ) ( δ ) ( a + δ a) ( b δ b) ( a δ a ) ( b + δb) [ ] A a ± a a Ma Mi ± B b ± b b Ma (cuidado com os siais) Meor valor que a operação pode assumir Mi (apeas as 5 primeiras casas decimais) (apeas as 5 primeiras casas decimais) A,6794 ±,6794 ± 0,0883,68 ± 0,09 B (cuidado com os siais) Cálculos via Ecel Epoeciação: B 5,3 + 0, B 3 ( δ ) ( 5,3 0,) ( 5,3) [ Ma Mi] 3 B ± ± Ma 5, 3 + 0, 5, 4 57,464 Meor valor que a operação pode assumir Mi 5, 3 0, 5, 40,608 ( δ ) ( δ ) 3 3 [ Ma Mi] B b ± b b ± Ma b + b Meor valor que a operação pode assumir Mi b b [ 57,464 40,608] B 48,877 ± 48,877 ± 8,4849 ± 8 Cálculos via Ecel

12 9//0 Eercício: Um paralelepípedo retâgulo, de base quadrada, possui massa (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A (54,80 ± 0,0)mm e a altura h (34,0 ± 0,0)mm. Determie: Desidade: M ρ ± V g ( ρ δρ) 3 cm Cálculos via Ecel Eercício: Um paralelepípedo retâgulo, de base quadrada, possui massa (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A (54,80 ± 0,0)mm e a altura h (34,0 ± 0,0)mm. ρ M V M ± δm V ± δv M ± δm ( A ± δa)( A ± δa)( h ± δh) ρ M V M ( A )( A )( h ) ρ ρ MAX MIN M + δm ( A δa)( A δa)( h δh) M δm ( A + δa)( A + δa)( h + δh) ρ M V ρ ρ MAX MIN ( ρ ± δρ ) ρ ± Cálculos via Ecel

13 9//0 Fim 3