UNEMAT Universidade do Estado de Mato Grosso Campus Universitário de Sinop Departamento de Engenharia Civil Disciplina: Cálculo I. 1ª Avaliação 2013/1

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1 ) Calcule os limites abaio: (3,0) ª Avaliação 03/ a) + ( a) a lim a a + ( a) a ( a) ( + ) lim = lim = lim( + = + a a a a ) a a b) lim lim = lim = lim ( ) ( + + ) = lim = lim = = 0 ( ) ( + + ) c) lim lim = lim = = lim = lim = = lim = = = = lim ) Calcule p e moo que a função abaio seja contínua. (,0) e f = p 3, 0 7, = 0 A função f será contínua em 0 se lim f = f (0) 0 lim f = p 3 7 e 0 f e e 0 0 (0) = = = Portanto: 3 p 7 = p = Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 4

2 3) Daas as funções f = + A e g = B, eterminar A e B e tal forma que (,0) f + g = + f g = + A + B = + + A B = + ( A + B) = + + ( A B) = + 0 Portanto: A + B = A = e B = A B = 0 4) Daa a função f ( t) = 3t 4t +, eterminar f (0) t f (0). (,0) f ( t) = 3t 4t + f (0) = f ( t) = 6t 4 f (0) = 4 Portanto: f (0) t f (0) = t ( 4) = 4t + 5) Determinar a equação a reta normal à curva = ( 3 4 ) abscissa =. (,0) ( 3 4 ) ( 3 4 ) ( 6 4) y = y = y = y = m = y () = = 8 4 = 64 T m = = T mn m N 64 Quano = y = 6 y no ponto e Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 4

3 A equação a reta normal será: y y0 = m ( N ) 0 y 6 = ( ) 64 64y 04 = y 06 = 0 6) Determinar em que pontos a reta tangente à curva y 3 = é perpenicular à reta 4 3y + = 0. (,0) y = 3 4 3y + = 0 y = = 0 y = 3 3 = 4 3 = = 4 y = y 3 y = 3 = y = 4 4 y 4 y = ( 4 ) = 6 = 8 = = y = 4 y = 4 y = 4 y = Portanto, o ponto procurao tem coorenaas, ) Se f e g forem as funções cujo gráfico está a seguir, one P = f g( ), Q = f g( ) e C = f ( g( )), etermine: (a) P (), (b) Q () e (c) C (). (3,0) 8 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 3 e 4

4 P = f g( ) P = f g + f g( ) P () = f () g () + f () g () 6 3 P () = P () = 4 P () = Q = f g( ) g f f g Q = [ g ] g() f () f () g () Q () = g() [ ] = 3 3 Q () 4 Q () = 4 6 Q () = 6 6 Q () = 3 8 C = f ( g( )) C = f ( g) g ( ) C () = f ( g()) g () C () = f (4) g () 6 6 C () = 3 C () = 6 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 e 4

5 ª Avaliação 03/ ) Calcule um valor aproimao para a raiz e 4 63, usano iferencial. (,0) y = f = 4 = f = Quano = 65 e = = = = = = 0,004 f ( a + ) f ( a) + Portanto: 4 63 = f 63 f (65) + = 5 0,004 = 4,996 ) Duas pessoas começam a anar a partir o mesmo ponto. Uma vai para o leste a 3 km/h e a outra, para o norte a km/h. Quão rápio está variano a istância entre as pessoas após 5 minutos? (,0) Norte y s Leste Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 6

6 Distância percorria pela pessoa que vai em ireção ao leste: = v t = 3 0,5 = 0,45 km Distância percorria pela pessoa que vai em ireção ao norte: y = v t y = 0,5 y = 0,30 km Pelo Teorema e Pitágoras: s = 0,45 + 0,30 s = 0,54 km s = + y s s = + y t t t s s = + y t t t 0,54 s = 0, ,30 s t t 3,6 km/h 3) Um retângulo é elimitao pelos eios e y e pelo gráfico e = 6 y, conforme figura abaio. Quais o comprimento e a largura o retângulo que maimizam sua área? (,0) y y= (6 -)/ A = y = 6 A A = 3 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 6

7 A = 3 3 = 0 = y = y = y = 4) Determine ois números positivos cujo prouto seja 9 e a soma o primeiro com o triplo o seguno seja mínima. (,0) Domínio:, y > 0 Primeiro número: Seguno número: y Equação funamental: S = + 3y Equação secunária: y = 9 y = 9 S 576 S = + 3y = S = = 0 S = = 576 S = = 4 e y = 8 5) Trace o gráfico a função y = 4. Rotule os interceptos, os etremos relativos, os pontos e infleão e as assíntotas. Determine o omínio e a imagem a função. Mostre, também, o quaro resumo. (,0) a) Domínio b) Intercepto Ocorre quano y = 0 = 0 e = 4 c) Intercepto y Ocorre quano = 0 y = 0 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 3 e 6

8 ) Pontos críticos ( 4 ) ( 4 ) y = + y = ( 4 ) + ( 4 ) 4 y = (4 ) y = y = y = = 4 3 ou = 4 e) Pontos e infleão y = y = ( 4 ) ( 8 3) ( 8 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3) ( 8 3) ( 4 ) y = 4 4 ( 4 ) y = y = ( ) ( ) ( ) y = = f) Quaro resumo 4 ou = 4 f() f () f () Forma o gráfico (-, 8/3) + - Crescente, côncava para baio = 8/3 3, Máimo relativo (8/3, 4) - - Decrescente, côncava para baio Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 e 6

9 4 (,67; 3,08) (0; 0) (4; 0) g) Imagem Im = y R / y ) Duas inústrias A e B necessitam e água potável. A figura a seguir esquematiza a posição as inústrias, bem como a posição e um encanamento retilíneo, já eistente. Em que ponto o encanamento eve ser instalao um reservatório e moo que a metragem e cano a ser utilizaa seja mínima? (,0) A B a= 4 km - Reservatório b = km C = km Encanamento AR : AR = a + ( C ) Encanamento BR : BR = b + L = a + ( C ) + b + L = 4 + ( ) + + Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 5 e 6

10 ( ) ( ) L = ( ) 4 + L = ( ) = ( ) 4 + ( ) ( ) = ( ) = ( ) 4 + ( 6 + ( ) ) = (( ) 4 + ) 6 + ( ) = ( ) (4 + ) = ( ) (4 + ) = = = = = 0 = 4 e = Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 6 e 6

11 Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil ) Calcular (0) 3ª Avaliação 03/ f, se = cos( 3 ) f = e cos 3 f e. (,0) = f e cos( 3) + cos( 3) ( e ) = f e sen cos 3 e = 3 f e sen 3 cos 3 e f = e 3 sen 3 + cos 3 f = 3 sen( 3) + cos( 3) e f (0) = 3 sen( 3 0) + cos( 3 0) 0 e f (0) = 3 sen( 0) + cos( 0) f (0) = + f (0) = + ) Prove que () = 3 3 f, seno f = ln( + ) + arc sen 6. (,0) f = ln( + ) + arc sen f = ( + ) + + f = f = f = f = Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 6

12 Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil f () = () f () = f () = f () = f () = 3 + f () = ) Calcular a erivaa e orem 00 a função y = sen. Eplique seu raciocínio. (,0) y = sen y = cos y = sen y = cos A erivaa e orem 4 é igual a função y = sen. A partir essa erivaa, mantém-se o comportamento acima escrito. Portanto, a erivaa e orem 00 é igual a função y = sen. 4) Calcular a erivaa a epressão cos constantes. (,0) acos + y = b a cos + y = b a cos( + y ) cos( + y ) = 0 a cos( + y ) sen( + y ) ( + y ) = 0 a sen + y cos + y + = = a sen + y cos + y = 0 = a + y = b, one a e b são Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página e 6

13 Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil 5) Calcular a erivaa primeira a epressão f ( θ ) = sen θ + cos θ. (,0) f ( θ ) = sen θ + cos θ f ( θ ) = f ( θ ) = 0 6) Determinar os pontos e infleão e os intervalos one a função 3 f = e tem concaviae voltaa para cima ou para baio. (,0) f = e 3 f = e + e 3 3 f = e ( 3) + e 3 3 = 6 f e + e = f e f = e ( 3) + ( 3) ( e ) 3 3 f = e ( 3) + ( 3) e ( 3 ) 3 3 = 3 f e 3 ( 3) e 3 f = 6 e + ( 3 ) 3 f = 6 e 3 [ ] Como a epressão 6 3 e é iferente e zero, conclui-se que os pontos e infleão ocorrem quano 3 = 0, ou seja, quano =. 3 Ponto e infleão:, f. 3 3 Intervalo +, - Concaviae para cima f ( ) > 0 3 Intervalo, - Concaviae para baio f ( ) < 0 3 Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 3 e 6

14 Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil 7) Calcular lim. (,0) Temos uma ineterminação o tipo transformá-la numa ineterminação o tipo Usano logaritmos, vamos L = lim lnl = ln lim lnl = lim ln lnl = lim ln ln lnl = lim Temos agora uma ineterminação o tipo 0 0. Aplicano a regra e L Hôpital, obtemos: lnl = lim lnl = lim lnl = L e L = = e 8) Prove que a erivaa primeira a epressão sec. (,0) y + sen = ln sen é a função y y + sen = ln sen + sen = ln sen Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 4 e 6

15 y = ln Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil ( + sen ) ( sen ) y = ln + sen ln sen y = ln + sen ln sen y = ln ( + sen ) ln ( sen ) y = ( + sen ) ( sen ) + sen sen cos cos y = + + sen sen cos ( sen ) + cos ( + sen ) y = ( + sen ) ( sen ) cos sen cos + cos + sen cos y = sen cos y = cos y = cos y = sec 3 9) Sabeno que eiste uma única raiz real em = 0 e que está 3,3, etermine o seu valor aproimao com situaa no intervalo quatro casas ecimais. (,0) 3 f = f f f f f f 3 ( 3) = = 0 3 ( ) = = 6 3 ( ) = = 8 3 (0) = = 0 3 () = = 6 3 () = = 0 Como o sinal a orenaa mua no intervalo, concluímos que a raiz real essa equação está entre e. Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 5 e 6

16 Faculae e Ciências Eatas e Tecnológicas Curso e Engenharia Civil 3 f = f = f ( n ) = n + n f ( ) n n n n+ = n n + n = n n+,0000,6667,6667,505,505,49,49,490,490,490 Observano a tabela acima, concluímos que a raiz real correta até a quarta casa ecimal é igual a,490. 0) Calcule a meia-via e um material raioativo se, após ano, permanecem 99,57% a quantiae inicial. (,0) y = Ce kt y = Ce kt 0,9957C = Ce k 0,9957 = e k 0,5C = Ce 0,5 = e 0,004309t 0,004309t 0,004309t = ( e ) ln( 0,5) = ln( e ) ln 0,9957 ln k k = 0, ,69347 = 0,004309t t 60 anos Prof. Rogério Dias Dalla Riva Página 6 e 6