Séries e aplicações15

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1 Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor e de Maclauri 5.7 Aproximações Poliomiais de Fuções Liceciatura em Ciêcias USP/ Uivesp

2 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 4 5. Sequêcias Coutos de úmeros que possuem alguma propriedade particular costituem as sequêcias e sempre foram de grade iteresse ao logo da história da Matemática. Por exemplo, os úmeros aturais pares e ímpares formam sequêcias, cuo -ésimo termo pode ser escrito, respectivamete, como: a b + para 0,,,, as sequêcias podem ser fiitas (quado o úmero de termos for fiito) ou ifiitas (quado o úmero de termos da sequêcia for ifiito). Os elemetos de uma sequêcia geérica serão represetados por a, a, a,...,,... a 5. Por exemplo, como veremos mais adiate, a sequêcia dos quadrados dos úmeros iteiros positivos de a,,,..., 5. aparece quado determiamos, aproximadamete, a área da região que se ecotra abaixo do gráfico de y x e acima do eixo x, quado Gráfico5.: O valor aproximado da x [0, k], cosiderado a soma das áreas dos retâgulos obtidos ao área da região colorida é a soma das áreas dos retâgulos. dividir o itervalo [0, k] em subitervalos, como o Gráfico 5.. Algumas sequêcias adquirem, em fução da sua relevâcia, omes que as idetificam com facilidade. Por exemplo, defiimos como progressão aritmética a sequêcia em que o -ésimo termo é obtido a partir do termo aterior adicioado-se a ele uma costate, deomiada razão. Escrevemos, portato, tal termo como: a a + r 5.4 Fudametos de Matemática I

3 4 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Uma progressão geométrica é uma sequêcia em que cada termo é obtido do aterior multiplicado este último por uma costate q, também deomiada razão, ou sea: a a q 5.5 Se o primeiro termo é B, os + elemetos da progressão geométrica são: BBqBq,,, Bq,..., Bq 5.6 De grade iteresse é a questão que evolve a soma dos termos de sequêcias. Admitido uma sequêcia que evolve um úmero fiito de termos, deotamos a sua soma como S a + a + a a a i i 5.7 A soma dos termos de uma progressão aritmética é dada pela metade da soma do primeiro e do último termo, multiplicada pelo úmero de termos: S a+ ( a+ r) + ( a+ r) ( a+ ( )) r ( a + a ) 5.8 Assim, a soma dos úmeros iteiros positivos de até 00, por exemplo, é dada por: S ( + 00) Pode-se mostrar que a soma da sequêcia 5. é dada por: S ( + ) + 6 ( ) 5.0 Assim, S ( )( ) 5. 5 Séries e aplicações

4 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 4 A soma dos termos de uma progressão geométrica fiita pode ser expressa em termos do primeiro termo e da razão da progressão. No caso de 5.6, o resultado se escreve como: q S B+ Bq + Bq Bq B q Séries Adotamos a palavra série para desigar a soma dos termos de uma sequêcia ifiita de termos. Assim, em uma sequêcia de ifiitos termos, uma série é dada pela soma: S a + a + a a +... a 0 i 0 i 5. No caso de uma sequêcia ifiita, em que a sequêcia cotiua idefiidamete, pode-se falar de soma reduzida ou soma parcial. Tais somas são defiidas como aquelas que evolvem apeas algus de seus termos. Escrevemos, por exemplo, S a + a + a + a a a k 0 k i 0 k 5.4 No caso de uma série, a soma acima é deomiada soma parcial da série. Cosidere, por exemplo, o caso de rasgar uma folha de papel, cua área é uma uidade, pela metade e, em seguida, adicioar à primeira metade a área da seguda metade ao meio, e assim sucessivamete, como a Figura 5.. Figura 5.: Qual é a área da uião dos papeizihos? A área resultate dessas várias tirihas, obtidas pela redução à metade do que resta da divisão aterior, é uma fração da área da folha dada pela série: S A questão é: chego a formar uma folha de papel igual à iicial com todos os pedacihos de papel? A solução está a série defiida em 5.5. Fudametos de Matemática I

5 44 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Algus úmeros podem ser expressos em termos de séries ifiitas. O úmero π, por exemplo, pode ser escrito como uma série da forma: π Assim, a cada soma parcial da série 5.6 podemos ecotrar um valor aproximado para π. Outro exemplo curioso é a série associada ao úmero e. Nesse caso escrevemos: e !! 5.7 Veremos que o resultado de algumas somas de ifiitos termos (uma série, portato) pode resultar em expressões relativamete simples. Isso será abordado quado aalisarmos as séries de Taylor. Para efeito de ilustração do que foi dito acima, cosideremos o caso da série S Dividido-a por, o que sigifica dividir termo a termo, obtemos: S que é a série S defiida em 5.5. Subtraido da expressão 5.8 a expressão 5.9, obtemos: S S S Séries especiais Algumas séries recebem omes especiais. Assim, a série geométrica é defiida por meio da soma da progressão geométrica cotedo ifiitos elemetos. Temos assim que a série geométrica S G é dada por: S B+ Bq + Bq + Bq Bq +... G 5. 5 Séries e aplicações

6 A série harmôica é defiida como a soma S H Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Uma série alterada é aquela, cuos termos têm os siais alterados. Por exemplo, as séries S e S, defiidas abaixo, são séries alteradas: S S Veremos que os resultados das somas dos ifiitos termos das séries acima são, respectivamete, os úmeros l e π/4, este último á mecioado ates. Para isso, o etato, devemos recorrer à expasão de fuções uma série que evolve poliômios. Outra série de iteresse é aquela dada pela soma dos iversos dos úmeros reais positivos elevados a um expoete, aqui desigado por r. Ou sea: r r 5.4 Etedida como fução de r, a série ifiita acima defie a fução Zeta de Riema ζ (r), isto é: ζ( r) r r 5.5 Em particular, o valor dessa fução para r é a série harmôica, S H, dada em 5.. Ou sea: ζ() S H Arquimedes e a quadratura da parábola Com o ituito de ilustrar a utilidade do coceito de série, recorremos à solução dada por Arquimedes ao problema de ecotrar a área da parábola (o problema da quadratura da Fudametos de Matemática I

7 46 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo parábola), isto é, a área da região delimitada por um arco de parábola e por uma corda arbitrária à curva. Arquimedes utilizou o método da exaustão para resolver esse problema. Na formulação mais simples, cosideramos um triâgulo com dois lados iguais, de tal modo que um dos vértices coicida com o vértice da parábola. Deomiemos A a área de tal triâgulo. Percebe-se, assim, que o vértice do triâgulo ela iserido leva a uma partição da parábola em dois arcos. Para cada um dos dois, desehamos ovos triâgulos. É possível mostrar que a área de cada um dos ovos triâgulos é /8 A. Temos dois deles e assim escrevemos para os três triâgulos: S A A Figura 5.: Área da parábola pelo método da exaustão. Em seguida, Arquimedes cosiderou outros 4 triâgulos, cada um dos quais com uma área igual a /8 do aterior: (A/8)/8. E assim sucessivamete. O resultado é o úmero de triâgulos crescer por um fator dois a cada iserção deles, e suas áreas decrescerem por um fator 8. O resultado da soma é, pois, 4 A S A+ + A A A O resultado para iterações de triâgulos é a série geométrica que, quado somada, os leva ao resultado: S A+ A + A A A A Arquimedes foi mais loge aida. Percebeu que, cotiuado idefiidamete (como diríamos hoe, até o ifiito), obteria a área do segmeto de parábola. Cocluiu, empregado o coceito de limite, que S A 4 lim 4 A 4 4A Séries e aplicações

8 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 47 Para pesar! Observe a ilustração a seguir e respoda: Qual é a área total dos quadrados azuis? Figura 5.: Qual a área da região colorida? 5.5 Sobre a Covergêcia de séries Nem sempre a soma de uma série faz setido. Cosideremos, por exemplo, o caso da soma da sequêcia cohecida como progressão geométrica, a qual, quado somados os primeiros termos, os leva ao resultado: S q B q 5. Aalisemos agora o caso em que cosideramos a série associada a uma progressão geométrica. Estamos diate do problema de somar ifiitos termos. Observe que, se a razão for maior do que (q > ), a série ão faz o meor setido, uma vez que, esse caso: lim S 5. Dizemos que, se a razão for maior do que, a série diverge. Se, por outro lado, a razão, ão ula e, em valor absoluto, for meor do que, q <, ecotramos, de 5., lim S B q 5. Fudametos de Matemática I

9 48 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Nessas circustâcias, dizemos que a série coverge. O resultado da soma faz setido, portato. Dizemos que uma série coverge para um limite, aqui desigado por L, se as somas parciais covergem (tedem a) para esse valor limite, isto é, se o limite das somas parciais for fiito. Essa defiição pode ser escrita como: lim S L 5.4 Pode-se muitas vezes iferir se uma série ifiita coverge aalisado o comportameto do termo a. Cosideremos o caso em que todos os termos da série, S a, são positivos. 0 Supohamos, ademais, que: a lim a + Com base as iformações acima, podemos afirmar que: se L > a série diverge se L < a série coverge se L o critério é icoclusivo L Como resultado, podemos afirmar que a série geométrica 5., de termos positivos, coverge se, e somete se, a razão q for tal que q <. Em particular, de acordo com o critério acima, a série harmôica diverge. 5.6 Séries de Taylor e de Maclauri Uma das aplicações mais iteressates do cálculo de derivadas de fuções diz respeito à possibilidade de escrevermos uma fução sob a forma de uma série ifiita. Assim, se a for um valor para o qual uma fução f (x) admite derivadas de grau arbitrário esse poto, essa fução pode ser expressa sob a forma de uma série ifiita da forma: f ( x) f ( a)+ B( x a)+ B( x a) + B x a ( ) B x a ( ) Séries e aplicações

10 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 49 ode os coeficietes B são dados pelas derivadas de ordem da fução f (x), calculadas para o valor de x a, ou sea: B d f x 5.8 x a O resultado acima é cohecido como teorema de Taylor e a série 5.7 é cohecida como série de Taylor. Para o poto a 0, a série é cohecida como série de Maclauri, ou sea: ( ) f x f bx b x b x bx ( ) ( 0) ode os coeficietes b são dados pelas derivadas de f(x) calculadas para x 0, isto é: b ( ) d f x 5.40 x0 A rigor, Brook Taylor propôs a sua famosa expasão uma série de potêcias sob a forma: ( ) f x f a bf a bf a bf a ( ) ( )+ ( )+ ( )+ ( ) bf ( ) ( a)+ 5.4 Duas séries ifiitas á eram cohecidas ates de Taylor. A primeira delas é a série de Mercator. Ela represeta a fução logaritmo atural de + x: 4 x x x l ( + x) x a qual coverge para valores de x o itervalo < x. A partir da série acima, coseguimos represetar uma fução relativamete complexa por meio de uma série bastate simples. De fato, a fução logaritmo de ( + x)/( x) pode ser represetada por uma série ifiita simples. Obtemos de 5.4 que: x l... + x + x 5 + x 7 + x x 5.4 Fudametos de Matemática I

11 50 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Mais iteressate aida foi a série proposta por James Gregory para a fução 5 7 x x x arctg x x É absolutamete surpreedete a semelhaça etre as duas séries acima, ou sea, a seguda série, com exceção do fator, é a série alterada da primeira. Quado calculada para o valor de x, e sabedo que arctg π/4, ecotramos uma famosa expressão para o valor de π, o qual é escrito como uma série: π Essa expressão foi obtida pelo matemático idiao Madhava de Sagamagrama aida o século XIV. Algus creditam a ele a proposta da expasão Aproximações Poliomiais de Fuções Pelo que se depreede do acima exposto, podemos cocluir que, sedo f(x) uma fução real de variável real com domíio um couto B, que é um subcouto dos úmeros reais (B ), e tal que ela admita derivadas de ordem um poto b o iterior do seu domíio, etão tal fução pode ser aproximada por um poliômio de grau : f( x) P ( x) 5.46 ode, agora, o poliômio P (x) é dado por: P x f bx b x b x bx ( ) ( 0) ode os coeficietes b são dados pelas derivadas de ordem da fução f (x) calculadas para o valor de x 0, ou sea: b ( ) d f x 5.48 x0 5 Séries e aplicações

12 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 5 O poliômio 5.47 é deomiado Poliômio de Maclauri de grau da fução. Ou sea, como o caso aterior, a fução f(x) pode ser escrita como a soma do poliômio 5.47 mais um resto: ( ) ( )+ ( ) f x P x R x 5.49 de tal modo que R ( x) lim x ( x) ou sea, o resto pode ser feito tão pequeo quato quisermos tomado poliômios de grau cada vez maior. Exemplo : Cosidere o caso da fução: Exemplos f ( x) x Obtemos os seguites resultados para as derivadas sucessivas: f ( x) x f ( 0) f ( x) x f ( 0) ( ) ( ) f ( x) ( ) f 0 x... ( ) ( )! ( f x f ) ( 0)! x Dode iferimos que a série de Maclauri associada à fução f ( x) é dada por: x f ( x) + x+ x + x + + x + x 4 + Fudametos de Matemática I

13 5 Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo Observamos que, de fato, ( x)( + x+ x + x x +...) ( + x+ x + x x +...) x x x... x... Assim, segue-se que: equato, de 5.9, S resultado esse á cohecido. Exemplo : Cosideremos agora o caso da fução seo. Tedo em vista suas derivadas em x 0, ( ) ( ) ( ) dse x f ( x) cos x f 0 d se ( x) f ( x) se ( x ) f ( 0) 0 d se ( x) f ( x) cos ( x ) f ( 0)... ( ) ( ) x x f x se x x! + + 5! 5 iferimos que, para valores da variável x muito próximos de zero, podemos escrever: se (x) x. De maeira aáloga, podemos escrever para a fução cosseo a seguite série: 4 cos( x) x + x +! 4! 5 Séries e aplicações

14 Exemplo : Fialmete, cosideremos a fução expoecial e x. Tedo em vista que x de x f ( x) ( e ) f ( 0) x de x f ( x) ( e ) f ( 0) x de x f ( x) ( e ) f ( 0 )... obtemos a seguite expasão para a fução expoecial: Liceciatura em Ciêcias USP/Uivesp Módulo 5 4 x x x x x x x ( e ) x !! Da expressão acima decorre a série para o valor do úmero de Napier. Fudametos de Matemática I