(i) (1,5 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma união disjunta de intervalos cada um dos conjuntos seguintes:

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1 Istituto Superior Técico Departameto de Matemática o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versão A MEAero o Sem. 0/3 0//0 Duração: h30m RESOLUÇÃO. 3,0 val. i,5 val. Represete a forma de um itervalo ou de uma uião disjuta de itervalos cada um dos cojutos seguites: A {x R : x x + }, B {e x, x ]/, + [ }. Resolução. O cojuto A é o cojuto dos úmeros reais cuja distâcia a é maior ou igual do que a distâcia a. Tedo em cota que o poto médio etre e é /, podemos cocluir que A ], /]. Esta represetação do cojuto A a forma de itervalo também pode ser obtida de forma puramete algébrica como se segue: A {x R : x x + } {x R : x x + x x + } {x R : x + x x + x} {x R : x + x x + x + x + x x + + x} {x R : x x } [/, [ ], /] R ], /]. Relativamete ao cojuto B, e tedo em cota que a fução e x é estritamete decrescete e e x 0, temos simplesmete que ] B 0, e /[. ii,5 val. Idique, caso existam em R, o supremo, ífimo, máximo e míimo do cojuto: { } C log + +, N. Resolução. Temos que, para todo o N, log log + + log, ode se usou o facto de a fução logaritmo ser crescete. Como log, log C, pois correspodem respectivamete a e, podemos cocluir que if C mi C log e sup C max C log. Alterativamete, podemos cosiderar separadamete as subsucessões para par e ímpar: se é par: log + + log é crescete, e log log 0, logo log log log < 0, par.

2 se é impar: log + + log 0, logo Coclui-se que log + é decrescete, e log + 0 < log + log + log, impar. if C mi C log e sup C max C log...0 val. Cosidere a sucessão de úmeros reais defiida por recorrêcia por: v, v + v + v 3, N. i Recorredo ao método de idução, mostre que v Q +, N. Resolução. [P ]: v Q + é verdadeiro. [P P +]. Assumido como verdadeira a hipótese P, para um dado N, i.e. v Q + v > 0 e v Q, há que mostrar a validade da tese P +, i.e. v + Q + v + > 0 e v + Q. Isto é verdadeiro dado que Q + é fechado para a soma, multiplicação e iversos: dado que, por hipótese, v é um racioal positivo, temos v 3 3 v Q +, v v Q +, e também v + v + v 3 Q+, sedo a soma de dois racioais positivos.,0 val. ii Assumido que v é covergete em R, determie, justificado, v. Resolução. Se v L etão v + L, já que v + é uma subsucessao de v. Tomado o ite em ambos os lados da expressão de recorrêcia temos etão v + v + v 3 L L + L 3 3L 6 + L L 3 L ± 3. Como v > 0 de i, coclui-se que L 3.,0 val val Calcule a derivada das fuções defiidas pelas seguites expressões: coshe x x +, arctax 5. Resolução. coshe x coshex x + coshe x + x + x + sehex e x x + coshe x x x + x,0 val. +

3 arctax 5 + x 5/ x5/ + x 5 5 x3/,0 val val. Calcule os seguites ites caso existam em R: se x, x 0 + x x 0 +cos x log x, x +x logx. Resolução. se x x 0 + x x 0 + se se,5 val. x 0 +cos x log x cos 0 0,0 val. x logx x [logx + logx + ] x + x + logx x + RC x x x + x + 0 log x 0 x +,5 val val. Cosidere a fução f : R R defiida pela expressão: fx x e xx+. i,5 val. Determie o domíio de difereciabilidade de f e calcule f. Resolução. Tedo em cota que a fução módulo é difereciável em R \ {0}, temos que f também é difereciável em R \ {0} com f x e xx+ + x x x e xx+ x xe xx+ quado x > 0 e f x + x + xe xx+ quado x < 0. Aplicado o corolário do Teorema de Lagrage às expressões ateriores, temos que f d0 x 0 + f x e 0 e f e0 x 0 f x e 0 Como f e0 f d 0, cocluimos que f ão é difereciável o poto zero. ii,5 val. Estude f quato a mootoia e extremos. 3

4 Resolução. Tedo em cota que x + x 0 x x, a primeira derivada de f pode ser expressa a forma f x x+x /e xx+, x > 0, e f x x+x /e xx+, x < 0. Temos etão que f x > 0 para x ], [ ]0, /[ e f x < 0 para x ], 0[ ]/, + [, pelo que f é estritamete crescete em ], [ e em ]0, /[ e estritamete decrescete em ], 0[ e em ]/, + [. Assim, f tem máximos locais em x e x /, e um míimo local em x 0 ote-se que f é cotíua em zero. iii,0 val. Idique, justificado, se f tem máximo e míimo absolutos. Resolução. Com a iformação obtida a alíea aterior, em particular, otado que f é estritamete crescete em ], [, estritamete decrescete em ]/, + [ e cotíua em R, coclui-se que f tem máximo absoluto. Tedo em cota que f e 0 e f/ e 3 e 3/4 <, temos que f tem um máximo absoluto em x. Por outro lado, como fx > 0 para todo o x R \ {0} e f0 0, temos que f tem um míimo absoluto em x 0. iv,0 val. Justifique que f restrigida ao itervalo ]/, + [ é ivertível e idique o domíio da respectiva fução iversa. Calcule a derivada da fução iversa o poto f. Resolução. Como f é estritamete decrescete o itervalo ]/, + [, é ivertível este itervalo. Sedo além disso cotíua, o Teorema do Valor Itermédio permite-os cocluir que ] [ f]/, + [ fx, f/. Como f/ e 3/4 e fx RC xe xx+ x + exx+ + x + e xx+ + 0, podemos cocluir que o domíio da iversa f é o itervalo ] [ 0, e. 3/4 Como f é difereciável em x com f e, a derivada da fução iversa o poto f é dada por f f f e val. i,5 val. Seja f : R R tal que a imagem fr {b,..., b p } é um cojuto fiito. Prove que se f é cotíua em a R, etão f é costate uma vizihaça de a. 4

5 Resolução. Seja fa b k {b,..., b p }. Como f é cotíua em a R temos que fx b def k ε > 0 δ > 0 : x a < δ fx b k < ε. x a Escolhedo ε mi{ b j b k, j,..., p, j k} > 0 e cosiderado o δ > 0 correspodete, temos que x a < δ fx b k < mi{ b j b k, j,..., p, j k} fx b j, j,..., p, j k fx b k, i.e. f é costate igual a b k a vizihaça V δ a {x R : x a < δ} ]a δ, a + δ[. ii,5 val. Cosidere a fução g : R \ {0} R dada por gx x arcta + se/x. Prove que a fução g tem ifiitos zeros em ]0, 3π [. Sugestão: utilize o teorema de Rolle em itervalos adequados. Resolução. Notamos primeiro que g é difereciável em ]0, 3π [, já que as fuções x x, x /x são, e arcta, se são difereciáveis em R. Para provar a existêcia de zeros de g usado o teorema de Rolle, devemos cosiderar itervalos cujos extremos coicidam com zeros de g. Estes ocorrem em x 0 e quado o argumeto da fução arco tagete for igual a zero, i.e. quado se/x x + π + π 4 + 3π, Z. Como estamos apeas iteressados em zeros o itervalo ]0, 3π [, cosideramos os ifiitos zeros de g dados por x 4+3π, com N. O teorema de Rolle garate etão a existêcia de pelo meos um zero de g em cada um dos itervalos ]x +, x [ ]0, 3π [, N. 5