Cálculo Diferencial e Integral I 1 o Exame - (MEMec; MEEC; MEAmb)

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1 Soluções da prova. Cálculo Diferecial e Itegral I o Eame - MEMec; MEEC; MEAmb de Juho de 00-9 horas I val.. i!! u!! do teorema das sucessões equadradas vem u 0 dado que ±!! 0. v / + l + / + l + /6 l Para justificarmos que + 0, cosidera-se o ite de fuções reais, l + 0 por aplicação da regra de Cauchy, e através da defiição l de Heie de ite, em particular, tem-se + 0. ii Não. Sedo a sucessão v covergete todas as suas subsucessões são covergetes.. Seja a sucessão w /, w + e w,. Mostremos por idução matemática que 0 < w <, N. w / ]0, [. Fiado, provemos que se 0 < w < hipótese de idução etão 0 < w + < tese Costructivamete, se 0 < w < como < w < 0 tem-se que 0 < e w < vido 0 < e w <, isto é 0 < w + <. A proposição aterior dá-os a eistêcia de pelo meos um majorate e um miorate da sucessão w, sedo w uma sucessão itada.

2 II 7 val.. Cosidere a fução f : R R e se > f arctg se i + f R.Cauchy + e +, ão sedo a fução f cotíua em também ão é difereciável esse poto. Para >, f é difereciável pois resulta do produto e composição de fuções difereciáveis. De forma aaloga coclui-se que a fução f também é difereciável em <, e a sua fução derivada é defiida pela epressão seguite se > f + se < ii f > 0 em ], + [ logo f é estritamete crescete esse itervalo. f 0 em ], ] logo f é moótoa decrescete esse itervalo. A fução é difereciável em ], + [ e f 0 sedo f um miimo local. iii A fução f tem iversa em ], [, uma vez que esse itervalo é uma fução ijectiva. f > 0 em ], [ logo f é estritamete moótoa e cosequetemete ijectiva. i ii cos 0 se 0 se uma vez que 0 se uma vez que 0 0 se se + cos se 0 + cos.. +. R.Cauchy 0 cos cos0. + / e l + e 0. l R.Cauchy

3 . Cosideremos a fução f e +. Pretede-se mostrar, recorredo ao teorema de Rolle que a fução f tem o máimo um zero em R. Provemos usado o método de redução ao absurdo. Se a fução f tivesse mais do que um zero, sem perda de geeralidade, cosidere-se o caso em que f tem eactamete dois zeros,, R. Uma vez que a fução é cotíua em [, ], difereciável em ], [ a fução f é represetada por uma epressão que resulta da soma de fuções cotíuas e difereciáveis em R e f f 0, do teorema de Rolle, eiste pelo meos um zero da fução f em ], [ c ], [ tal que f c 0. O que é impossível, uma vez que f e + > 0, R. Assim fução f tem o máimo um zero em R i.e. a equação e tem o máimo uma solução em R.. i ii 0 III 6,5 val. + d regra de Barrow [ l ] l l 0. 0 [ l d It. por partes ] + + l + d da aplicação da decomposição em fracções simples l d l 0 + A d + B + C + d ode A, B l 0 + l 0 + [l ] [ l + ] d + + d l l 0 + l 5 iii Cosidere a fução F : [, + [ R l F k e t + dt + e t 9 l 5 l 5. 0

4 i A fução F resulta da composta da fução F ftdt ode ft k e t + e a fução l. +e t Do teorema fudametal do Cálculo, uma vez que a fução f é cotíua em ], [, a fução F é difereciável. A fução F é difereciável pois resulta da composição de fuções difereciáveis, sedo F k e l + + e l Como F 0, tem-se k e l + 0 dode k +e l. ii Utilizado a substituição e t e cosiderado k 0, F l dt + e t e e 0 + d e + d regra de Barrow [l + e + ]e l. iv Calcule a área da região plaa situada a região e itada pelas curvas y l / e y /. As curvas cruzam-se em e a região, e l < para e. O valor da área da referida região é obtido por e e l d l d it. por partes [ ] e e l + [ ] e d + e. v Sedo f : [a, b] R uma fução difereciável tal que fa fb 0 e b a f d. Aplicado a itegração por partes, b a ff d [ f ] b b f d 0. a IV,5 val.. i Para o estudo da atureza da série 5 a A série é covergete, pois é uma série geométrica, cujo termo geral é uma progressão geométrica de termos positivos de razão /9 iferior a 4

5 ii Para o estudo da atureza da série!. apliquemos o critério de D Alembert. Para isso ecessitamos, em primeiro lugar, de calcular o seguite ite ode itervém a sucessão u!, u + + u + +! + +! + +!! / + + / /e < satisfeitas as codições do critério acima referido coclui-se que a série é covergete.. i O raio de covergêcia, R, da série de potêcias + a + a, com a é obtido por + R a Assim a série de potêcias + a é absolutamete covergete para os valores de, que verificam a codição <. O maior itervalo aberto ode a série de potêcias é absolutamete covergete é ]0, 4[ ii A série de potêcias + a para 4 é a série umérica + Reescrevedo o seu termo geral, tem-se uma série de Megoli do tipo. + 5

6 u u +, ode u. Trata-se de uma série de Megoli covergete uma vez que u coverge. A soma da série é + k + k + k + k + u u k+ k +. Sedo a série umérica + a de termos positivos divergete etão a série + é divergete. Se assim ão fosse, a série + seria covergete e a série + a seria divergete. Ora sedo + a +a covergete a +a o que coduzia a a 0 e a + a +a a + a a + 0 a a +a + + a. Cosequetemete pelo critério de comparação deduzia-se que as séries + a e a +a tiham a mesma atureza, o que cotradiz o suposto. Assim a afirmação iicial é uma proposição verdadeira. 6