Sucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.

Transcrição

1 Sucessões Defiição: Uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação u do cojuto dos úmeros iteiros positivos,, o cojuto dos úmeros reais,. A expressão u que associa a cada a sua imagem desiga-se por termo geral da sucessão. Represeta-se a sucessão por u,u, ou, apeas, u. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, ar, a2r, o seu termo geral é u a 1r. 2. Progressão geométrica de razão r e primeiro termo a: os seus termos são a, ar, ar 2, o seu termo geral é u ar 1. Pode-se provar que: a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética, u, de razão r e primeiro termo a, é dada por S a u ; 2 a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica, com razão r 1 e primeiro termo a, é dada por S a 1r 1r. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 1

2 Limite de uma sucessão Os vários casos da defiição de limite sucessões podem ser vistos como casos particulares da defiição de limite, segudo Cauchy, para fuções com domíio, quado o argumeto tede para. Defiição: O úmero real a é limite da sucessão u se para qualquer 0, existe M 0 tal que, para qualquer, se M, etão u a. Isto é, 0 M0 : M u a. Neste caso, diz-se que u coverge para a ou que u tede para a e escreve-se lim u a, limu a ou u a. Uma sucessão u diz-se covergete se existir um úmero real a tal que u a; diz-se divergete caso cotrário. Defiição: Diz-se que uma sucessão u tem limite mais ifiito (ou que tede para mais ifiito) se, para qualquer L 0, existe M 0 tal que, para qualquer, se M, etão u L. Isto é, L0 M0 : M u L. Neste caso, diz-se que u é um ifiitamete grade positivo e escreve-se lim u, limu ou u. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 2

3 Diz-se que u tem limite meos ifiito (ou que tede para meos ifiito) se, para qualquer N 0, existe M 0 tal que, para qualquer, se M, etão u N. Isto é, N0 M0 : M u N. Neste caso, diz-se que u é um ifiitamete grade egativo e escreve-se lim u, limu ou u. Diz-se que u tem limite ifiito (ou que tede para ifiito) se u. Neste caso, diz-se que u é um ifiitamete grade e escreve-se lim u, limu ou u. Diz-se que u tede para ifiito sem sial determiado, se u tede para e ão tede em para em para. Proposição: O limite de uma sucessão quado existe é úico. Oservação: Das defiições, resulta imediatamete que: sedo f uma fução real de variável real, com D f, e a a sucessão de termo geral a f, se lim x fx L (fiito ou ifiito), etão lim a. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 3

4 Classificação de uma sucessão Uma sucessão diz-se: covergete (se tem limite fiito) propriamete divergete se tede para ou para divergete oscilate se tede para ifiito sem sial determiado ou se ão tem limite Limite da potêcia: Sedo r um escalar real, tem-se que:, se r 1 (é prop. divergete) 0, se r 1 (é covergete) limr 1, se r 1 (é covergete) ão existe, se r 1 (é oscilate), se r 1 (é oscilate) Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 4

5 Subsucessões Ituitivamete, uma subsucessão de u é uma sucessão extraída de u, cosiderado certos ídices, em úmero ifiito, por ordem crescete. Por exemplo: u 2,u 4,,u 2k, (subsuc. dos termos de ordem par); u 1, u 3,,u 2k1, (subsuc. dos termos de ordem ímpar); u p1,u p2, u p3 (subsuc. dos termos de ordem superior a p, com p ). Proposição: Toda a subsucessão duma sucessão com limite tem o mesmo limite. Corolário: Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites diferetes, a sucessão ão tem limite. Proposição: Se as subsucessões dos termos de ordem par e dos termos de ordem ímpar de u têm o mesmo limite, etão u tede para esse limite. Defiição: Chama-se limite superior de u ao maior dos limites (fiitos, ou ) das subsucessões de u e represeta-se por limu. Chama-se limite iferior de u ao meor dos limites das subsucessões de u e represeta-se por limu. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 5

6 Propriedades Da defiição, é imediato que: a covergêcia ou divergêcia de uma sucessão (e o valor do limite) ão é alterada se suprimirmos ou modificarmos um úmero fiito dos seus termos. uma sucessão com todos os termos iguais a uma certa costate coverge para essa costate. Propriedades dos limites fiitos Proposição: Se u e v são sucessões covergetes, tais que, a partir de certa ordem, u v, etão limu limv. Proposição: Se a e b são sucessões tais que a a e b b, com a, b, etão: 1. a b a b; 2. ca ca, sedo c ; 3. a b ab; 4. a b a b, se b 0, e b 0; 5. se p, etão a p a p ; 6. se p e a 0,, etão p a p a ; 7. se p e p é ímpar, etão p a p a ; 8. se a a etão a a. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 6

7 Defiição: Uma sucessão diz-se um ifiitésimo se tede para zero. Defiição: Uma sucessão a diz-se limitada se for majorada e miorada, ou seja, se m,m : m a M. Proposição: Se a é um ifiitésimo e b é uma sucessão limitada, etãoa.b é um ifiitésimo. Propriedades dos limites ifiitos Proposição: Sedou e v duas sucessões, tem-se que: 1. se u e, a partir de certa ordem, u v, etão v ; 2. se u e, a partir de certa ordem, v u, etão v. Para simplificar, frequetemete as propriedades algébricas dos limites ifiitos são escritas a seguite forma (que é uma mera otação abreviada): ; ; a, se a ;. ;. ;. ; 1 0; 1 0 ; 1 0 ; 1 0 ; a 0, se a ; 0 ; a 0, se a 0 (fiito ou ifiito). Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 7

8 Os símbolos ; ; ; 0. ; 0. ; 0. ; 0 0 ; ; 0 0 ; 1 ; 0 desigam-se por símbolos de idetermiação. Isto quer apeas dizer que, as situações correspodetes, o facto de existir ou ão limite, bem como o seu valor, depede das sucessões evolvidas (ão resulta imediatamete de uma propriedade das operações). Limites otáveis Número de Neper: lim 1 1 e. Proposição (caso geral): Se u e k, etão lim 1 k u u e k. Observação: Recordem-se os seguites limites de fuções: lim se x x 1; x0 lim x ex x ; lim ex 1 x 1; x0 lim lx1 x 1; x0 lim x lx x 0. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 8

9 Tem-se mesmo que, sedo a 1 e p um úmero racioal: lim x ax x p ; lim x log a x x p 0. Exemplos: lim x 3x x 10 ; lim x 2x ; 3 x 8 lim x lx 5 x 0; lim x log 2 x x 2 0. Estes limites aplicam-se as sucessões, tedo-se em cota que: sedo f uma fução real de variável real e x uma sucessão de elemetos de D f, diferetes de a, se Exemplos: lim fx L (fiito ou ifiito) e x a, etão fx L. xa lim se 1 1 pois , lim e , lim l , 1 lim e2 2 1, pois 2 1. lim l , lim 3 10, lim 2 3 8, lim l 5 0, lim log Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 9

10 Acetatos complemetares (abordagem mais rigorosa das propriedades algébricas dos limites ifiitos) Proposição (Propriedades da soma): Sedou e v sucessões, tem-se que: 1. se u e v etão u v ; 2. se u e v etão u v ; 3. se u e v a, com a, etão u v [se o limite de u for ou, o limite da soma também o é]. Proposição (Propriedades do produto): Sedou e v sucessões, tem-se que: 1. se u e v, etão u.v [casou e v tedam para ou para, podemos mesmo saber se u. v tede para ou para ]; 2. se u e v b \0, etão u.v [casou teda para ou para, pelo sial do produto, sabemos se u. v tede para ou ]. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 10

11 Notação abreviada (exemplos): As propriedades dadas são frequetemete escritas a forma a, se a.. Esta é uma mera otação abreviada, que deve ser iterpretada exactamete o setido das propriedades correspodetes da proposição aterior e ão como se estivessemos realmete a "somar ou multiplicar ifiitos". Os símbolos são desigados por símbolos de idetermiação. Isto quer apeas dizer que, as situações correspodetes, o facto de existir ou ão limite, bem como o seu valor, depede das sucessões evolvidas (ão resulta imediatamete de uma propriedade das operações). Proposição: Sedou uma sucessão de termos diferetes de zero, tem-se que: 1. se u, etão 1 u 0 (o iverso de um ifiitamete grade é um ifiitésimo); 2. se u 0, etão 1 u (o iverso de um ifiitésimo é um ifiitamete grade). Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 11

12 Nota: Seja u uma sucessão que tede para a. Se, a partir de certa ordem, u a, diz-se que u tede para a por valores superiores e escreve-se u a. Se, a partir de certa ordem, u a, diz-se que u tede para a por valores iferiores e escreve-se u a. Caso u 0, pelo seu sial poderemos saber se a sucessão 1 u tede para ou: se u 0, etão u 1 se u 0, etão u 1 ;. Proposição: Sedou e v sucessões, comv de termos diferetes de zero, tem-se que: 1. se v e u tem limite fiito, etão u v 0; 2. se v 0 e u tem limite fiito ou ifiito e diferete de zero, etão u v [este caso, depededo dos siais de u e de v, poderemos averiguar se u v tede para ou ]. Notação abreviada: a 0 a 0 0, se a 0 (fiito ou ifiito) Os seguites casos são também símbolos de idetermiação: 0 0 Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 12

13 Propriedades da expoeciação Proposição: Sejamu e v duas sucessões, comu de termos positivos. Se etão u a e v b, u v a b. Na prática, em muitos dos restates casos, o mais eficaz é recorrer à trasformação u v e v lu e aplicar as propriedades do produto e das fuções expoecial e logaritmo. Símbolos de idetermiação associados à expoeciação: Através da trasformação idicada, estes casos podem reduzir-se a idetermiações do tipo 0, 0 e 0, respectivamete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 13

14 Séries uméricas Defiições básicas Chama-se série umérica a uma expressão do tipo em geral represetada por 1 a 1 a 2 a, a, 1 a ou a, ode a é uma sucessão de úmeros reais. a 1, a 2, termos da série a termo geral da série. Desigam-se por somas parciais da série S 1 a 1, S 2 a 1 a 2, S 3 a 1 a 2 a 3, Chama-se soma parcial de ordem da série 1 a ou seja a S i1 a i S a 1 a 2 a. a A S chama-se sucessão das somas parciais da série. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 14

15 Defiição: Diz-se que 1 a é uma série covergete se a sucessão das suas somas parciais, S, for covergete. Neste caso, ao úmero real chama-se soma da série. S lims Por abuso de otação, escreve-se também S 1 a. Uma série que ão é covergete diz-se divergete. Diz-se que duas séries têm a mesma atureza se forem ambas covergetes ou ambas divergetes. Observação: Associadas à série 1 a temos duas sucessões: a, a sucessão a partir da qual defiimos a série; S, a sucessão das suas somas parciais. A atureza da série é determiada pela covergêcia ou ão da sucessão das suas somas parciais. O facto de a ser covergete ão garate que a série 1 a seja covergete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 15

16 Exemplos: 1. A série 1 1 é divergete, pois pelo que lims. S 2. A série 1 1 é divergete, pois S 1 se é ímpar 0 se é par, pelo que S ão tem limite Para a série 1 tem-se 2 1 a 1 2 1, pelo que S a Portato, como sucessãos é covergete, a série é covergete (e a sua soma é 2). Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 16

17 Séries Geométricas Séries importates Defiição: Chama-se série geométrica de razão r e primeiro termo a à série 1 ar 1 aarar 2 ar 1, em que r e a são úmeros reais ão ulos. Tem-se que S a. 1r 1r, se r 1 a., se r 1, pelo que se r 1, a série é covergete e a sua soma é S a 1r ; se r 1, a série é divergete. Etão, a série geométrica é covergete sse r 1; este caso, a sua soma é S a 1r. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 17

18 Séries Redutíveis ou de Megoli Chamam-se séries redutíveis, séries de Megoli ou séries telescópicas às séries que se podem escrever a forma u u k, 1 ode k é um úmero atural (fixo) e u é uma sucessão real. Exemplos: 1. A série pode escrever-se a forma , pelo que é uma série de Megoli, com k 1 e u A série 1 2 é uma série de Megoli, com k 2 e u. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 18

19 Covergêcia duma série de Megoli: 1º Caso: se k 1, a série escreve-se a forma pelo que u u 1, 1 S u 1 u 2 u 2 u 3 u u 1 u 1 u 1. Portato: a) se u é covergete, a série é covergete e a sua soma é S u 1 limu ; b) se u é divergete, a série é divergete. 2º Caso: se k 1, etão Portato: S u 1 u 2 u k u 1 u 2 u k. a) se u é covergete, a série 1 u u k é covergete e a sua soma é S u 1 u 2 u k k limu (ote-se que limu 1 limu k limu ; b) se u é divergete, ada se pode cocluir sem estudar directamete a sucessão S. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 19

20 Propriedades gerais das séries Comecemos por observar que a atureza de uma série ão é alterada se modificarmos ou suprimirmos um úmero fiito dos seus termos. No etato a sua soma é, em geral, alterada. Proposição: Sejam a e b duas séries covergetes, de somas S e T, respectivamete, e c. Etão: 1. a b é covergete, com soma ST; 2. a b é covergete, com soma ST; 3. ca é covergete, com soma cs. Observação: Da última alíea, resulta que ão se altera a atureza de uma série multiplicado o seu termo geral por uma costate diferete de zero. Questão: Diga o que pode cocluir sobre a atureza da série se: 1. a série é a soma de uma série coverge e uma série divergete; 2. a série é a soma de duas séries divergetes. Proposição (codição ecessária de covergêcia): Se a é uma série covergete, etão a 0. Ou seja: se a ão tede para zero, etão a é divergete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 20

21 Nota: A afirmação recíproca é falsa: se a 0, ada se pode cocluir sobre a atureza da série. Critérios de covergêcia Recordemos o seguite: Defiição (itegral impróprio de 1ª espécie): Seja f uma fução cotíua o itervalo a,. Chama-se itegral impróprio da fução f em a, a fxdx lim a fxdx. a O itegral impróprio a fxdx diz-se covergete se este limite existe e é fiito e diz-se divergete caso cotrário. Proposição (critério do itegral): Sejam f : 1, uma fução positiva, cotíua e decrescete e Etão a f. a série 1 a sse é covergete o itegral impróprio 1 fxdx é covergete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 21

22 Defeição: Chama-se série de Dirichlet a uma série da forma 1 p, 1 com p úmero real positivo (fixo). Proposição: Para a série de Dirichlet tem-se que: se p 1, 1 p 1 a série é covergete; se p 1, a série é divergete. Observação: Destaque-se o caso da série de Dirichlet com p 1 (desigada por série harmóica): a série 1 1 é divergete. Séries de termos ão egativos Defiição: Diz-se que 1 a é uma série de termos ão egativos se a 0, para qualquer. Observação: As propriedades já dadas permitem-os tirar coclusões sobre a atureza das séries só com um úmero fiito de termos egativos, com todos os termos egativos ou só com um úmero fiito de termos positivos, a partir da atureza de séries de termos ão egativos. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 22

23 Proposição (1º critério de comparação): Sejam 1 a, Etão: se 1 b e 1 b duas séries tais que, para qualquer 0 a b. é covergete, 1 a é covergete; se 1 a é divergete, 1 b é divergete. Observação: Da demostração do primeiro caso resulta que, se S e T são as somas das séries 1 a e 1 b, respectivamete, etão S T. Proposição (2º critério de comparação): Sejam a uma série de termos ão egativos e b uma série de termos positivos tais que a b L, com L 0,. Etão, as duas séries têm a mesma atureza. Corolário: Sejam a uma série de termos ão egativos e b uma série de termos positivos tais que a b L : se L 0 e b é covergete, a é covergete; se L e b é divergete, a é divergete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 23

24 Proposição: (critério de Cauchy, ou da raiz) Seja a uma série de termos ão egativos tal que lim a L (fiito ou ifiito). Etão: se L 1, a é covergete; se L 1, a é divergete; se L 1, ada se pode cocluir. Proposição (critério de D Alembert, ou da razão): Seja a (fiito ou ifiito). uma série de termos positivos tal que lim a 1 a L Etão: se L 1, a é covergete; se L 1, a é divergete; se L 1, ada se pode cocluir. Observação: Pode-se provar que, sedo a uma sucessão de termos positivos: se u 1 u a (com a fiito ou ifiito), etão u a. Assim, o critério da razão resulta do critério da raiz. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 24

25 Séries de termos sem sial fixo Defiição: Uma série diz-se de termos sem sial fixo se possui ifiitos termos positivos e ifiitos termos egativos. Em particular, chama-se série alterada a uma série de termos sem sial fixo da forma 1 1 a ou 1 1 a, 1 ode a é uma sucessão de termos positivos. Exemplo: série harmóica alterada. Proposição: (Critério de Leibiz) Se a é uma sucessão de termos positivos, decrescete e com limite ulo, etão a série a é covergete. Exemplo: A série harmóica alterada é covergete. Proposição: Se a série 1 a é covergete, etão a série também é covergete. 1 a Defiição: Uma série 1 a diz-se: absolutamete covergete, se a série 1 a é covergete; simplesmete covergete, se é covergete mas ão é absolutamete covergete. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 25

26 Exemplos: 1. A série é absolutamete covergete; 2. A série é simplesmete covergete. Estratégias para estudar a atureza de uma série Segue-se um apahado dos resultados apresetados a este respeito: O termo geral da série coverge para zero? Se ão, é divergete; se sim, ada se pode cocluir. A série é de tipo particular - geométrica, de Dirichlet, de Megoli? Se sim, aplicar o teste de covergêcia específico. A série é de termos ão egativos e pode ser comparada com alguma série de tipo especial? A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério de D Alembert ou o Critério de Cauchy? Se L 1, ada se pode cocluir. A série é de termos positivos e pode ser aplicado o Critério do itegral? Se a série é de termos sem sial fixo, será absolutamete covergete? Se sim, é covergete; se ão, ada se pode cocluir. A série é alterada e pode ser aplicado o Critério de Leibiz? Se sim, é covergete; se ão, ada se pode cocluir. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 26

27 Séries de Potêcias Defiições básicas As séries de potêcias são uma geeralização da oção de poliómio. Defiição: Sedo x uma variável e c, chama-se série de potêcias de x c (série de potêcias cetrada em c ou em toro de c), a qualquer série da forma ou seja a x c, a 0 a 1 x c a x c ode a é uma sucessão real (cujos termos se desigam por coeficietes da série de potêcias). Em particular, chama-se série de potêcias de x (série de potêcias cetrada em 0 ou em toro de 0) a qualquer série da forma ou seja a x, a 0 a 1 x a 2 x 2 a x Ao cojuto dos valores reais que, substituídos a série de potêcias, origiam uma série umérica covergete chama-se domíio de covergêcia. Observação: Uma série de potêcias é uma fução, cujo domíio é o domíio de covergêcia da série de potêcias. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 27

28 Exemplo importate (série de potêcias geométrica): O itervalo 1, 1 é o domíio de covergêcia da série Mais, para qualquer x 1, 1, x 1 x x 2 x x 1 1x. A série x 1 defie a fução em 1, 1 1x (e só este itervalo, apesar de 1 1x estar defiida em \1). Raio de covergêcia e itervalo de covergêcia O domíio de covergêcia de uma série de potêcias de x c uca é vazio. De facto, a c c a a 0. Portato, c pertece ao domíio de covergêcia da série. Mais, como veremos de seguida, o domíio de uma série de potêcias de x c é sempre um itervalo cetrado em c. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 28

29 Proposição: Para uma série de potêcias de x c, é satisfeita exactamete uma das seguites alterativas: 1. a série de potêcias é covergete apeas em c; 2. existe um úmero real R 0 tal que a série de potêcias é absolutamete covergete para os valores de x tais que x c R e diverge para x c R; 3. a série é absolutamete covergete para todo o x. A este valor R chama-se raio de covergêcia da série de potêcias (cosiderado R 0, o primeiro caso, e R, o terceiro caso). Se R 0, o itervalo c R,c R desiga-se por itervalo de covergêcia da série. Observação: Logo, se R 0 e fiito, a série é absolutamete covergete o itervalo c R, c R e divergete em, c R c R,. A proposição ada afirma sobre a covergêcia da série os extremos do itervalo de covergêcia. Para saber o que se passa os extremos do itervalo é ecessário estudar as séries uméricas correspodetes. Proposição: Seja a x c uma série de potêcias em toro de c etão R 1 lim a (com R 0, se lim a e R, se lim a 0). Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 29

30 Proposição: O raio de covergêcia de uma série de potêcias a x c, de coeficietes diferetes de zero, é igual a desde que este limite exista. lim a a 1, Exemplo (série expoecial): A série de potêcias x! 1 x x2 2! x3 3! é absolutamete covergete em. x! (Veremos que a soma desta série é e x, para qualquer x. Operações com séries de potêcia Proposição: Sejam fx a x e gx 0 b x séries de potêcias de x, com raios de covergêcia ão ulos, e R o raio de covergêcia da primeira série. Se é um úmero real e N um úmero atural, etão: 1. fx a x, para x R; 2. fx N a x N, para x N R; 3. fx gx a b x, a itersecção dos itervalos de covergêcia; 4. fx gx a b x, a itersecção dos itervalos de covergêcia. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 30

31 Observação 2: Resultados aálogos são válidos para séries de potêcias de x c. Derivação e itegração de séries de potêcias Proposição: A fução defiida por fx a x c, com raio de covergêcia R 0, é difereciável e primitivável o itervalo c R, c R e tem-se que: f x 1 Pfx a x c 1 a x c 1 1 C, tedo estas séries o mesmo raio de covergêcia. Ou seja, uma fução defiida por uma série de potêcias de x c, com raio R 0, é derivável e primitivável o itervalo c R,c R e as suas derivada e primitivas são dadas pelas séries que se obtêm derivado-a e primitivado-a termo a termo (as quais têm o mesmo raio de covergêcia). Note-se que, se a série de patêcias tem raio de covergêcia R 0, as séries que se obtêm derivado-a e primitivado-a termo a termo também têm raio de covergêcia R 0. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 31

32 Série de Taylor e série de Mac-Lauri Defiição: Seja f uma fução com derivada de qualquer ordem em c. Chama-se série de Taylor de f o poto c à série de potêcias isto é a f c! x c fc f cx c f c 2! x c 2 f c! x c Chama série de Mac-Lauri de f à série de Taylor de f em c 0, isto é, a ou seja f0 f 0x f 0 2! f 0! x x 2 f 0! x Exemplos importates: 1. A série de Mac-Lauri de e x é x! 1 x x2 2! x3 3! x! Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 32

33 2. A série de Mac-Lauri de se x é isto é x x3 3! x5 5! 1 x ! 1 2 1! x21 3. A série de Mac-Lauri de cosx é isto é 1 x2 2! x4 4! 1 x 2 2! 1 2! x2 Observação: O facto de podermos escrever a série de Taylor de uma fução um poto ão garate que a fução seja soma dessa série, mesmo o itervalo de covergêcia da série. Por exemplo, a fução fx e 1 x 2 se x 0 0 se x 0. tem derivada de qualquer ordem em \0. Pode-se provar que, em x 0, as suas derivadas, de qualquer ordem, existem e são 0. A fução f apeas se aula em 0, pelo que ão é igual à soma da sua série de Mac-Lauri um itervalo cetrado em 0. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 33

34 Defiição: Diz-se que uma fução f é desevolvível em série de Taylor um poto c se f é soma da sua série de Taylor em algum itervalo cetrado em c. Proposição: Seja f uma fução idefiidamete difereciável um itervalo aberto I, cetrado em c, e R x o resto do seu poliómio de Taylor de ordem em c. Etão, f é soma da sua série de Taylor em c, o itervalo I, sse lim R x 0, x I. (Recorde-se a expressão do resto de Lagrage de ordem : R x f1 z 1! x c1, para algum z etre x e c. ) Exemplos importates: Por esta proposição, coclui-se que as fuções sex, cosx e e x são, em, soma das respectivas séries de Mac-Lauri. Isto é, para qualquer x, 1 sex 21! x21 x x3 x5 1 x 21 3! 5! 21! 1 cosx 2! x2 1 x2 x4 1 x 2 2! 4! 2! e x 1! x 1x x2 x3 x 2! 3!! Em particular, 1 e.! Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 34

35 Teorema (uicidade do desevolv. em série de potêcias): Se fx a x c, um itervalo aberto cetrado em c, etão a f c, para qualquer! 0. Observação: Este Teorema garate que, caso uma fução seja soma de uma série de potêcias (um itevalo aberto), etão essa série coicide com a sua série de Taylor. Para as fuções do exemplo aterior foi ecessário determiar a série de Taylor e provar, pela codição suficiete de desevolvimeto, que a fução é igual à soma da série de Taylor. Tem-se agora um método que, por vezes, permite obter, de modo mais simples, o desevolvimeto da fução em série de Taylor: 1. mostra-se que a fução é soma uma certa série de potêcias de x c (um itervalo aberto cetrado em c), a partir de desevolvimetos cohecidos e/ou dos resultados sobre derivação e itegração de séries; 2. aplica-se o teorema da uicidade do desevolvimeto em série de potêcias para garatir que essa série é a série de Taylor da fução o poto c. Por exemplo, coclui-se, assim, que: o desevolvimeto em série de Mac-Lauri de 1 1x x 1 x x 2 x, x 1, 1. o desevolvimeto em série de Mac-Lauri de lx 1 é 1 x 1 1, x 1, 1. é Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 35

36 Observação: Em resumo, já vimos, e podem ser utilizados, os seguites desevolvimetos em séries de potêcias de x (ou seja, em série de Mac-Lauri) das seguites fuções, os itervalos idicados: 1 1 x x 1 x x 2 x 3, em 1, 1; lx x1 x 1 2 x2 1 3 x3 1 4 x4, em 1, 1; e x x! 1 x x2 2! x3 3!, em; se x 1 x ! x x3 3! x5 5! x7 7!, em; cosx 1 x 2 2! 1 x2 2! x4 4! x6 6!, em. Aa Matos Matemática Aplicada 02/10/2018 Suc. e séries 36