S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números

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1 S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S Prof. Beito Frazão Pires Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros a, a 2,..., a,... ) deomiados termos da sequêcia: a é o primeiro termo, a 2 é o segudo termo e assim sucessivamete. Por exemplo, a sequêcia dos úmeros pares 2, 4, 6, 8, 0, 2,..., 2) o primeiro termo é 2, o segudo termo é 4, e assim por diate. Note que a ordem em que os termos são listados é importate, assim as sequêcias, 0, 0, 0, 0, 0, 0,... e 0,, 0, 0, 0, 0, 0,... são duas sequêcias diferetes. Como ão é possível listar todos os termos de uma sequêcia já que há uma quatidade ifiita deles), precisamos descrevê-los através de uma regra ou lei. Isto pode ser feito especificado o eésimo termo a da sequêcia em fução de. Por exemplo, a sequêcia 2) pode ser descrita sucitamete pela lei a = 2. Neste caso, podemos também usar a otação 2) = = 2, 4, 6, 8, 0, 2...). 3) para descrever a sequêcia 2). A sequêcia 3) é idexada o cojuto dos úmeros aturais N = {, 2, 3,...}. Uma sequêcia também pode ser idexada em outro subcojuto de úmeros aturais como, por exemplo, a sequêcia 2) =3 = 6, 8, 0, 2...) 4) obtida a partir de 2) descartado os seus dois primeiros termos. Note que o primeiro termo da sequêcia 4) é 6. Neste caso, o termo geral ão é o que aparece etre parêteses isto é, ão é a = 2). Para colocar a sequêcia a forma padrão, basta fazer uma mudaça de variáveis do tipo k = 2. Assim, quado varia de 3 a, a variável k varia de a. Fazedo isso, obtemos: ) 2k + 2) = 2) =3 = 6, 8, 0, 2...) 5) Agora fica claro que o eésimo termo da sequêcia 4) é a = 2 + 2).

2 ) Exemplo.0. Ecotre o cetésimo termo da sequêcia 2. + =0 Resolução. Os primeiros três termos da sequêcia são , 2 +, , 99 logo o cetésimo termo é 99 2 = Outra modo de resolver é fazedo a + mudaça de variáveis k = +. Neste caso, obtemos ) ) k 2 = + =0 k ) 2. + k= Assim, o termo geral é a k = k k ) 2 +, isto é, a 00 = ) 2 +. Exemplo.0.2 Listado os termos de uma sequêcia. a) ) 2) =0 = 0,, 4, 25, 36,..., ) b) =, 2, 3,..., ) = c) ) +) = =,,,,...) d)!) = =, 2, 6, 24,...). sequêcias defiidas recursivamete O termo geral de algumas sequêcias pode ser defiido de maeira recursiva, isto é, em fução dos atecessores de a. A lei que defie este processo é chamada de lei de recorrêcia. Se a depede apeas de a, dizemos que trata-se de uma recorrêcia de ordem. Se a depede de a e a 2, dizemos a recorrêcia é de ordem 2 e assim por diate. Em algus casos, é possível usar a lei de recorrêcia para ecotrar uma fórmula explícita para o termo geral a em fução de, mas em geral isto ão é possível. No caso de sequêcias defiidas recursivamete, ão é possível calcular a sem ates ter calculado todos os atecessores de a. Algus exemplos de sequêcias defiidas recursivamete são dadas abaixo... Sequêcia fatorial Cosidere a sequêcia a ) = cujos termos são descritos pela lei de recorrêcia a =, a = a, 2. 2

3 Os termos desta sequêcia são dados por: a =, a 2 = 2 = 2, a 3 = 3 a 2 = 3 2 = 6, a 4 = 4 a 3 = 4 6 = 24,... Assim, os termos desta sequêcia são, 2, 6, 24,.... 6) A recorrêcia evolvida a descrição da sequêcia 6) é de ordem : para cohecer o termo a, basta especificar o seu atecessor imediato a. Pode-se mostrar que o termo geral desta sequêcia é a =! e por esta razão esta sequêcia é chamada de sequêcia fatorial...2 Sequêcia de Fiboacci Existem outros tipos de leis de recorrêcia mais complexas, como aquela evolvida a descrição da sequêcia de Fiboacci. Neste caso, o termo a depede dos dois termos atecessores imediatos de a, isto é, dos termos a e a 2. A sequêcia de Fiboacci é a sequêcia cujo termo geral a é dado por: a =, a 2 =, a = a + a 2, 3. Os termos da sequêcia de Fiboacci são dados por:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34,.... Figura : Modelo populacioal exibido a sequêcia de Fiboacci. A sequêcia de Fiboacci descreve a população mesal de uma família de casais de coelhos. Supõe-se que cada casal está apto a se reproduzir-se do segudo mês de vida 3

4 em diate. Também é assumido que, em cada mês, cada casal sexualmete maduro pare exatamete um ovo casal de coelhos. Além da sequêcia de Fiboacci, dois outros exemplos bem cohecidos de sequêcias defiidas por leis de recorrêcia são as progressões aritméticas e as progressões geométricas...3 Progressão aritmética Deomia-se progressão aritmética PA) a sequêcia em que cada termo, a partir do segudo, é obtido adicioado-se uma costate r ao termo aterior. A costate r chama-se razão da progressão aritmética. Assim, o termo geral da progressão aritmética com primeiro termo igual a a e razão r é defiido pela lei de recorrêcia: a = a + r 2). 7) Pode-se deduzir de 7) a seguite fórmula explícita para o termo geral da PA: a = a + )r 2). De acordo com o valor de r, uma PA pode ser classificada como decrescete r < 0), costate r = 0) e crescete r > 0). Exemplo.. Tipos de progressão aritmética. a) π, π 2, π 2 2, π ) PA decrescete com razão r = 2. b),,,,,...) PA costate com razão r =. c) 5, 2,, 4,...) PA crescete com razão r = Progressão geométrica Deomia-se progressão geométrica PG) a sequêcia em que cada termo, a partir do segudo, é obtido multiplicado o termo aterior por uma costate q. A costate q chama-se razão da progressão geométrica. Assim, o termo geral da progressão aritmética com primeiro termo igual a a e razão r é defiido pela seguite lei de recorrêcia: a = qa 2). 8) Pode-se deduzir de 8) a seguite fórmula explícita para o termo geral da PA: a = q a 2). 4

5 De acordo com o valor de q, uma PG pode ser classificada como costate q = ), crescete q > e a > 0, ou 0 < q < e a < 0), decrescete q > e a < 0, ou 0 < q < e a > 0) e oscilate q < 0). Exemplo..2 Tipos de progressão geométrica. a) 2, 2, 2,...) PG costate com razão q =. b) 2, 2, 2 2,...) PG crescete com razão q = 2. c) d) 2,, 2,... ) PG crescete com razão q = 2. 2,, 2, 4, 8,...) PG decrescete com razão q = 2. e), 2, 4,...) PG decrescete com razão q = 2. f), 2, 4, 8,...) PG oscilate com razão q = 2..2 represetação gráfica de uma sequêcia Dada uma sequêcia S = a ) = 0, defiimos o gráfico de S como sedo o subcojuto GS) de pares ordeados defiidos por GS) = {, a ) : 0 }. O gráfico de S dá uma ideia do comportameto assitótico da sequêcia S quado. Na figura abaixo temos a represetação gráfica dos primeiros termos da sequêcia de Fiboacci, da progressão geométrica 4, 2,, 2, 4,...) de razão q = 2 e da sequêcia ) =. a 8 a a Sequêcia de Fiboacci PG 4, 2,, 2, 4,...) , 0,, 4, 9,...) 5

6 .3 sequêcias amostrais de uma fução Dizemos que uma sequêcia a ) = 0 é sequêcia amostral de uma fução f : R R se a = f) para todo 0. Um exemplo de sequêcia amostral é a sequêcia, 0,, 4, 9,...) cujo termo geral é a = Note que esta sequêcia é sequêcia amostral da fução ft) = t 2 4t + 4, coforme ilustrado a figura aterior terceiro gráfico)..4 limites e covergêcia de sequêcias O aspecto mais importate relacioado com uma sequêcia a ) = 0 é o seu comportameto assitótico, isto é, o comportameto dos termos da sequêcia a logo prazo. A figura abaixo mostra algus comportametos possíveis. a) b) c) Figura 2: Comportameto assitótico de uma sequêcia Cosidere a sequêcia a ) = em que o termo geral é a = O gráfico desta sequêcia foi plotado a Figura 2 a). Os valores da sequêcia se aproximam cada vez mais de um mesmo valor o caso deste exemplo, este valor é zero). Sequêcias com este comportameto são chamadas de covergetes e o valor para o qual elas covergem, o limite da sequêcia. Um segudo tipo de comportameto são as sequêcias cujos termos se toram arbitrariamete grades, a partir de um certo ídice N. A sequêcia pode até decrescer em algus mometos, mas a logo prazo, ela cresce muito mais do que decresce. Sequêcias com este comportameto são deomiadas sequêcias que divergem para. Um exemplo deste comportameto é dado pela sequêcia a ) = cujo termo geral é a = si )

7 O gráfico desta sequêcia foi plotado a Figura 2 b). Um comportameto similar têm as sequêcias que divergem para. Em geral, dizemos que uma sequêcia é divergete se ela ão covergir para ehum úmero. Além dos dois comportametos relatados o parágrafo aterior, uma sequêcia divergete pode apresetar uma mescla de vários comportametos. Por exemplo, itercalado uma sequêcia covergete com uma sequêcia que diverge para obtemos uma sequêcia divergete que em coverge em diverge para ou ). Um exemplo deste comportameto é dado pela sequêcia a ) = cujo termo geral a ) = é ) a = se 2 2π O gráfico desta sequêcia foi plotado a Figura 2 c). Outros comportametos também são possíveis para sequêcias divergetes. Nas próximas seções, damos o coceito preciso de covergêcia e divergêcia de uma sequêcia..4. Sequêcias covergetes Dizer que uma sequêcia a ) = 0 coverge para um úmero a sigifica que os valores da sequêcia se aproximam cada vez mais de a coforme cresce. Um termo a está ɛ-próximo de a se a a < ɛ. Assim, dizer que uma sequêcia a ) coverge para um úmero a sigifica que para cada ɛ > 0 dado, existe um úmero atural N tal que os termos a N, a N+,..., estão ɛ-próximos de a. Neste caso, dizemos que lim a = a. Exemplo.4. lim = 0. Prova. Dado ɛ > 0, seja N o meor úmero atural tal que N > ɛ. Etão, N = a 0 = 0 = N < ɛ. Uma sequêcia a ) é covergete se ela covergir para algum úmero a. O limite, quado existe, é úico..4.2 Sequêcias divergetes Uma sequêcia é divergete se ela ão for covergete. 7

8 Exemplo.4.2 A sequêcia,,,,...) é divergete. Prova. Supoha que a sequêcia { ) } = covirja para algum úmero a. Etão, dado ɛ = 2, existe um úmero atural N tal que a a < 2 para todo N. Em particular, a = a 2N a < 2 e a = a 2N+ a < 2. Isto é, a é um úmero que se ecotra a uma distâcia meor do que 2 de e de, o que é impossível. Portato, ão existe ehum úmero a para o qual a sequêcia coverge. Dizemos que uma sequêcia a ) = 0 diverge para lim a = ) se para cada úmero M > 0, existir um úmero atural N tal que a > M para todo N. Exemplo.4.3 lim =. Prova. Dado M > 0, seja N o meor úmero atural tal que N > M. Etão, N = a = N > M. Dizemos que uma sequêcia a ) = 0 diverge para lim a = ) se para cada úmero M > 0, existir um úmero atural N tal que a < M para todo N. Exemplo.4.4 lim =. Prova. Dado M > 0, seja N o meor úmero atural tal que N > M. Etão, N = a = N < M. Vale a pea observar que o limite de uma sequêcia depede somete da calda ifiita da sequêcia, isto é, o limite ão muda se descartarmos ou alterarmos um úmero fiito de termos da sequêcia. Desta forma, as sequêcias têm ambas o mesmo limite., 2, 4, 8,... e 4, 8,....5 resultados de covergêcia e divergêcia O cálculo do limite de uma sequêcia via defiição é muito trabalhoso. Nesta seção apresetamos diversos procedimetos eficietes para calcular rapidamete o limite de uma sequêcia covergete. As provas destes resultados segue imediatamete da defiição de limite e serão omitidas. 8

9 Teorema.5. Propriedades das sequêcias covergetes) Sejam a ) e b ) sequêcias covergetes e k um úmero. Etão as sequêcias a + b ), a b ), ka ), a b ) são covergetes e seus limites podem ser calculados da seguite maeira: a) Regra da soma: lim a + b ) = lim a + lim b. b) Regra da difereça: lim a b ) = lim a lim b. c) Regra da mult. por costate: lim ka ) = k lim a. d) Regra do produto: lim a b ) = lim a lim b. e) Regra do quociete: lim a b = lim a lim b se lim b 0. Exemplo.5.2 Calcule lim Resolução. Usado as propriedades do limite listadas o Teorema.5., obtemos 2 lim lim 2 3 ) 3 2 = lim 2 = 2 ) = 3 3 lim 2 3 lim lim ) 3 lim = 2. O próximo teorema diz que podemos passar o limite as desigualdades a c b desde que lim a = lim b. Em outras palavras, uma sequêcia esprimida como o presuto de um saduíche) etre duas outras sequêcias que covergem para o mesmo valor c, também é covergete e tem limite igual a c. Teorema.5.3 Teorema do Saduíche ou do Cofroto) Sejam a ) e b ) sequêcias que covergem para um mesmo valor c. Se c ) é uma sequêcia tal que a c b para todo 0, etão c ) é covergete e lim c = c. Exemplo.5.4 Calcule os limites: a) lim se ) b) lim ) c) lim d) lim 3 2 = 0 9

10 Resolução. Basta aplicar o Teorema do Saduíche as desigualdades dadas e abaixo e usar o Exemplo.4. : a) se ) = b) ) = se ) ).. c) ) 2 0 = = d) = = = 3/2 = 0 = Teorema.5.5 Teorema da Comparação) Sejam a e b sequêcias tais que a b para todo 0. As seguites afirmações são verdadeiras: a) Se lim a = etão lim b =. b) Se lim b = etão lim a =. Exemplo.5.6 Mostre que lim 2 0 ) =. Resolução. Basta aplicar o Teorema.5.5 as desigualdades abaixo e usar o Exemplo.4.3. = 0 = 0 = 0) = 2 0. Exemplo.5.7 Mostre que lim 3/2 =. Resolução. Basta aplicar o Teorema.5.5 as desigualdades abaixo e usar o Exemplo.4.3. = = = 3/2. Teorema.5.8 Teorema das sequêcias amostrais) Sejam a ) e b ) sequêcias tais que a = fb ) para todo 0, ode f é uma fução de uma variável. As seguites implicações são verdadeiras: a) Se lim b = a e f é cotíua em a, etão lim a = flim a ). b) Se lim b = e lim t ft) existe, etão lim a = lim t ft). c) Se lim b = e lim t ft) existe, etão lim a = lim t ft). 0

11 Exemplo.5.9 lim = Resolução. Podemos escrever a = + 2 como a = fb ), ode ft) = t e b = Agora observe que lim b = lim + 2 = 2. Pelo Teorema.5.8 a), como ft) = t é cotíua em t = 2, temos que lim = lim a = f lim a ) = 2. O seguite resultado é uma cosequêcia do Teorema.5.8. Ele coecta o coceito de limite de uma sequêcia com o coceito de limite de uma fução do Cálculo I. A vatagem de fazer esta coexão é que ela permite usar teoremas do Cálculo I tais como a Regra de L Hôpital ou de L Hospital). Corolário.5.0 Seja a ) sequêcia amostral de uma fução f, isto é, supoha que a = f) para todo 0, etão lim a = lim ft), t ode a igualdade quer dizer que a sequêcia à esquerda coverge para um valor a, diverge para ou diverge para se o limite da fução f quado t tiver o mesmo comportameto. Prova. Segue do Teorema.5.8 b), tomado b =. Neste caso, temos que lim b = lim =. Exemplo.5. lim = 2. Resolução. Podemos proceder como a resolução do Exemplo.5.9, através dos passos: 2 + lim b = lim + 2 = 2. Outra alterativa é usar o Corolário.5.0 e a Regra de L Hôpital: lim b 2 + = lim + 2 = lim 2t + t t + 2 = lim 2 t = 2.

12 l 3) Exemplo.5.2 lim = 0. Resolução. Pelo Corolário.5.0 e pela Regra de L Hôpital: l 3) l t 3) lim = lim = lim t t t t 3 = 0. Exemplo.5.3 Os seguites limites aparecem com frequêcia: l ) a) lim = 0 b) lim = c) lim x = x > 0) d) lim x = 0 x < ) e) lim + x ) = e x x f) lim! = 0 Prova. a) Pelo Corolário.5.0 e pela Regra de L Hôpital: l lim = lim l t = lim t t t t = 0. b) Seja a =. Note que a = = e l ) = e l. Assim, tomado b = l e ft) = et, coclui-se que a = fb ). Pelo item a), lim b = 0. Pelo Teorema.5.8 a), lim = lim a = f lim b ) = f0) = e 0 =. c) Seja a = x. Note que a = x = e l x ) = e l x. Assim, tomado b = l x e ft) = et, coclui-se que a = fb ). Como x é costate, lim b = 0. Pelo Teorema.5.8 a), lim x = lim a = f lim b ) = f0) = e 0 =. d) Seja a = x. Note que a = el x = e l x. Assim, tomado b = l x e ft) = e t, coclui-se que a = fb ). Como x <, temos que l x < 0 e, portato, lim b =. Pelo Teorema.5.8 c), lim x = lim a = lim ft) = lim t t et = 0. 2

13 Para cocluir a prova, basta aplicar o Teorema.5.3 as desigualdades: e) Seja a = x x x. + x ). Note que a = e l a = e l+ x ). Portato, tomado b = l + x ) l + x ) =, obtemos que a = fb ). Pelo Corolário.5.0 e pela Regra de L Hôpital, l + x lim = lim t b t t Pelo Teorema.5.8 a), ) = + x t t 2 x t 2 = lim t lim + x = lim a = fx) = e ) x. x + x t = x. f) Seja M > 0 um úmero iteiro tão grade que x <. Note que M 0 x! = x 2 3 M M + ) x MM = M!M M M! ) x. M M Pelo item d), lim M ) x x = 0. Pelo Teorema.5.3, lim = 0. M! M! Para cocluir a prova, basta aplicar o Teorema.5.3 ovamete as desiguladades: x! x! x!. Dizemos que uma sequêcia a ) 0 é limitada superiormete se existir um úmero M tal que a M para todo 0. Aalogamete, dizemos que uma sequêcia a ) 0 é limitada iferiormete se existir um úmero m tal que a m para todo 0. Dizemos que uma sequêcia a ) é crescete se a a para todo 0 +. Dizemos que uma sequêcia a ) 0 é decrescete se a a para todo 0. Exemplo.5.4 a), 2, 3, 4,...) sequêcia crescete e limitada iferiormete. b), 2, 3,...) sequêcia crescete e limitada iferiormete. c), 2, 3, 4,...) em crescete, em decrescete, em limitada. 3

14 Exemplo.5.5 A sequêcia ) 2 é decrescete. + = Prova. Devemos mostrar que a = 2 + ) 2 + = a para todo 2. 9) Isto equivale às seguites desigualdades: [ ] ) ) ) 2 + ) ) 2 + ) Esta última desigualdade é verdadeira para todo 2 pois ) 2 0 = = 2 2 = + ) +. Outra forma de mostrar que a desigualdade 9) é verdadeira é a seguite. Seja ft) = t t 2. A derivada de f em t é + f t) = t2 + t 2t t 2 + ) 2 = t2 t 2 < 0 para todo t >. + ) 2 Assim, f é decrescete o itervalo [, ), portato: 2 = < = f ) > f) = ) 2 + > 2 +. Teorema.5.6 Teorema da Sequêcia Moótoa). a) Toda sequêcia crescete e limitada superiormete é covergete. b) Toda sequêcia decrescete e limitada iferiormete é covergete. Exemplo.5.7 A sequêcia 2, 2 + 2, ,... coverge para 2. Prova. A sequêcia dada é defiida pela seguite lei de recorrêcia: a = 2, a = 2 + a para todo 2. 0) 4

15 Vamos mostrar primeiro que a sequêcia é crescete. A fução t é crescete, portato a < b implica a < b. Tomado a = 2 e resulta: 2 < Somado 2 a desiguladade acima obtemos: Aplicado a raiz quadrada, resulta: < < Assim, a < a 2, a 2 < a 3 e assim por diate. Vamos mostrar agora que a sequêcia é limitada superiormete por 3. De fato, a = 2 < 3. a 2 = 2 + a < < > 9 = 3. a 3 = 2 + a 2 < < = 9 = 3. Assim, a < 3, a 2 < 3, a 3 < 3 e assim por diate. Pelo Teorema da Sequêcia Moótoa, a sequêcia 2, 2 + 2, ,... coverge. Assim, existe a R tal que lim a = a = lim a. Fazedo teder a ifiito em 0) e aplicado o Teorema.5.8 resulta que a = 2 + a, isto é, a 2 = 2 + a. Assim, a = 2 pois a = ão pode ser limite de uma sequêcia com termos positivos. Exemplo.5.8 A sequêcia a ) = defiida pela lei de recorrêcia a = 2, a = a ) 2 para todo 2 diverge para. Prova. Os primeiros termos da sequêcia são os seguites: 2, 2 2, 2 4, 2 8, 2 6,... Assim, o termo geral da sequêcia é a = 2. Pode ser mostrar por idução que 2 para todo. Assim, a para todo. Pelo Teorema.5.5 e pelo Exemplo.4.3, lim a =. 5

16 Observe se a sequêcia do exemplo aterior fosse covergete, etão poderíamos supor que lim a = a = lim a. Isto levaria à equação a = a 2, que tem como solução a = 0 ou a =. Etretato, para poder usar este procedimeto, seria ecessário mostrar primeiro que a sequêcia coverge, o que ão acotece este caso. Isto mostra a importâcia do Teorema.5.6. Atualizado em de Março de