Segunda série de exercícios Mecânica Estatística - IFUSP - 23/8/2010

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1 Segunda série de exercícios Mecânica Estatística - IFUSP - 23/8/ Obtenha uma expressão para o volume de uma hiperesfera de raio R num espaço de d dimensões. Utilize esta expressão para calcular o volume (E; V; N; E) do espaço de fase acessível a um gás clássico de N partículas monoatômicas, não interagentes, dentro de um recipiente de volume V, com energia entre E e E + E (com E << E). Qual a função entropia S = S (E; V; N) desse sistema? Qual o problema que surge no limite termodinâmico? Como corrigir esse problema? Você sabe do que se trata o paradoxo de Gibbs? Já ouviu falar em entropia de mistura? 2- A expansão assintótica de Stirling, ln N! = N ln N N + O (ln N) ; que funciona muito bem para N! 1, é um recurso de grande utilidade em mecânica estatística (em conexão com o limite termodinâmico). (i) Mostre que Z 1 x n e x dx = n! 0 para n = 0; 1; 2; ::: (admitindo uma continuação analítica, essa integral dá origem à de nição da função gama ). (ii) A partir da integral acima, utilizando o método de Laplace de integração assintótica, obtenha os dois primeiros termos da expansão de Stirling. (ii) Prove (com rigor matemático, é claro) que Z 1 b lim n!1 n ln exp [nf (x)] dx = f (x 0 ) ; a onde x 0 é o ponto de máximo de uma função contínua f (x) no intervalo entre a e b > a. 3- Considere um sistema clássico de N osciladores harmônicos unidimensionais, fracamente interagentes, de nido pelo hamiltoniano H = NX j=1 1 2m p2 j kx2 j ; 1

2 onde m é a massa e k a constante elástica de cada oscilador. Obtenha uma expressão para o volume acessível no espaço de fase quando E H E+E, com E << E. Qual a energia interna, a entropia e o calor especí co desse sistema? Note que esse é um modelo clássico para descrever o comportamento do calor especí co de um sólido cristalino (supondo que em cada sítio de uma rede cristalina tridimensional há três osciladores totalmente independentes). Qual a expressão da lei de Dulong e Pétit para o calor especí co dos sólidos? 4- Considere um modelo de N íons magnéticos localizados nos sítios de uma rede cristalina, de nido pelo hamiltoniano de spin H = D NX Sj 2 ; em que D > 0 e as variáveis de spin S j podem assumir os valores 1; 0; ou +1; para qualquer sítio j da rede. Dada a energia total E, obtenha uma expressão para o número de estados microscópicos acessíveis ao sistema, (E; N). A partir dessa expressão, obtenha a entropia por íon, s = s (u), onde u = E=N. Obtenha também o calor especí co c em termos da temperatura T. Esboce um grá co de c contra T, veri cando a ocorrência de um máximo achatado (efeito Schottky). Esboce um grá co da entropia contra a temperatura. Quais são os valores limites da entropia para T! 0 e T! 1? j=1 5- Considere um gás de rede de N partículas distribuídas em V células (com N V ). Suponha que cada célula possa estar vazia ou então ser ocupada por uma única partícula. Podemos associar a cada célula j (com j = 1; 2; :::; V ) uma variável t j tal que t j = 1 se a célula j estiver ocupada e t j = 0 se a célula j estiver vazia. (i) Obtenha o número de estados microscópicos desse sistema, = (V; N) = X 0 ft j g 1; em que ft j g designa uma con guração microscópica e a soma sobre con gurações deve ser feita com a restrição VX t j = N: j=1 2

3 (ii) Obtenha uma expressão para a entropia por partícula, s = s (v), onde v = V=N. A partir dessa equação fundamental, obtenha a equação de estado associada a p=t. Escreva uma expansão de p=t em termos da densidade = 1=v. Mostre que o primeiro termo desta expansão fornece a lei de Boyle (dos gases perfeitos). Esboce um grá co de =T, onde é o potencial químico, contra a densidade. Qual é o comportamento do potencial químico nos limites! 0 e! 1? 6- O número total de estados microscópicos acessíveis a um gás de Boltzmann, com energia E e N partículas, pode ser escrito na forma com as restrições (E; N) = X N j = N j X N 1 ;N 2 ;::: e N! N 1!N 2!::: ; X j N j = E: A menos de uma constante aditiva, mostre que a entropia por partícula é dada por!! X N j N j s = k B ln ; N N j n Nj o onde é o conjunto dos números de ocupação no equilíbrio. No limite de uma distribuição contínua, mostre que a entropia varia logaritmicamente com a temperatura (de acordo com a forma da entropia clássica para um gás ideal monoatômico). j Exercícios suplementares - revisão de termodinâmica 7- Um sistema simples é de nido pelas equações de estado u = pv e p = AT n ; onde u e v são a energia interna e o volume por mol, p é a pressão, T é a temperatura absoluta, e A é uma constante positiva. Obtenha os valores do expoente n para que essas equações de fato representem um sistema termodinâmico. Qual a equação fundamental desse sistema na representação da 3

4 entropia? Qual a nova forma dessa equação fundamental na representação de Helmholtz? Qual a relação desse exercício com a "termodinâmica da radiação"? Qual a expressão da lei de Stefan-Boltzmann da radiação de um corpo negro? 8- O potencial químico de um uido simples de um único componente é dado pela expressão = o (T ) + k B T ln p p o (T ) ; onde T é a temperatura, p é a pressão, k B é a constante de Boltzmann, e as funções o (T ) e p o (T ) são bem comportadas. Mostre que este sistema obedece a lei de Boyle dos gases ideais. Qual a expressão da energia livre de Helmholtz desse sistema? Obtenha expressões para o calor especí co a pressão constante e para a compressibilidade isotérmica. 9- Considere uma mistura de dois gases ideais monoatômicos. A energia livre de Helmholtz desse sistema é dada por F = N 1 RT ln V N 1 N 2 RT ln V N RT (N 1 + N 2 ) ln T RT (c 1 N 1 + c 2 N 2 ) ; em que N 1 e N 2 são os números de moles de cada componente e c 1 e c 2 são constantes. (i) Veri que a lei de Dalton das pressões parciais. (ii) Obtenha a entropia e o calor especí co a volume constante. (iii) De nido as frações molares x 1 = N 1 N 1 + N 2 ; x 2 = N 2 N 1 + N 2 ; com N = N 1 + N 2, note que a energia livre de Helmholtz também pode ser escrita na forma F = NRT ln V N 3 2 NRT ln T NRT c NRT [x 1 ln x 1 + x 2 ln x 2 ] : Qual a interpretação (signi cado físico) do último termo dessa expressão? (iv) Obtenha a energia livre de Gibbs desse sistema. 4

5 (v) Mostre que o potencial químico associado à componente j (também chamado potencial de Gibbs molar parcial) é dado por j = RT j (T ) + ln p + ln X j ; em que p é a pressão, j (T ) é uma função apenas da temperatura e X j = N j =N é uma fração molar. Qual a forma de j (T ) para esse gás ideal? 10- A energia livre de um sistema magnético é dada pela função G = G (T; H), tal que dg = SdT MdH; onde M é a magnetização e H o campo magnético externo. Considere um sistema magnético obedecendo a lei de Curie, M = C H T ; em que C é uma constante positiva (constante de Curie). Mostre que c M = c H + D; em que c M e c H são os calores especí cos a magnetização e a campo constantes, respectivamente. Qual a expressão de D? Qual o sinal de D? 11- Demonstre a relação famosa entre os calores especí cos de um uido simples, c P c V = T v2 ; T onde v é o volume especí co (e os outros símbolos têm os seus signi cados usuais). 12- Considere um uido caracterizado pela equação de Van der Waals, p + a v 2 (v b) = RT; e com calor especí co c V = c; onde a, b e c são constantes positivas. (i) Obtenha uma expressão para a energia livre de Helmholtz por mol, f (T; v), desse sistema uido. Obtenha a energia interna por mol u em termos 5

6 da temperatura T e do volume molar v = V=N. Note que, ao contrário do gás ideal, u depende de v. (ii) Considere a função f (x) = x 4 x 2 + x: Obtenha a "envoltória convexa" f c (x) dessa função. Ache os pontos x 1 e x 2 em que f 0 (x 1 ) = f 0 (x 2 ), correspondentes à tangente dupla de f (x). Esboce um grá co para ilustrar as funções f (x) e sua envoltória convexa f c (x). (ii) Analise a estabilidade da energia livre de Helmholtz por mol, f = f(t; v), encontrada no item (i). Quais os problemas físicos desse sistema? Como superá-los? Faça uma transformação de Legendre para obter uma equação fundamental na representação de Gibbs. O que signi ca a construção de Maxwell? 6