DERIVADAS E DIFERENCIAIS II. Nice Maria Americano da Costa

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1 DERIVADAS E DIFERENCIAIS II Nice Maria Americano da Costa

2 DERIVADAS DE ALGUMAS FUNÇÕES ELEMENTARES f f sen f f tg f cot f log f ln f e n a f n n f f sen sen f loga e f f e f sec f ec

3 PROPRIEDADES Teorema. A derivada do prodto de ma constante por ma fnção de é igal ao prodto da constante pela derivada da fnção; i. e. f ag df dg a d d Demonstração sando a definição de derivada, temos df f + f d df a[ g + g ] d df [ g + g ] a d df [ g + g ] dg a a d d

4 Teorema. A derivada da soma de m número finito de fnções é a soma das derivas das fnções; i. e. f g + h d f dg dh d d d d d Demonstração sando a definição de derivada, temos df f + f d df [ g + + h + + +] [ g + h + ] d df [ g + g ] [ h + h ] [ + ] + + d df dg dh d + + d d d d

5 Teorema. A derivada do prodto de das fnções é igal ao prodto da a. fnção pela derivada da a. fnção mais o prodto da a fnção pela derivada da a. fnção f v df dv d + v d d d Demonstração sando a definição de derivada, temos f v f + f + v + v mas + + e v + v +v entao + v +v v v + v + v +v v v + v + v v + v + v v + v + v v v + + v mas e v nao dependem de v + v + v d dv d + v d d d

6 Teorema. A derivada qociente de das fnções é igal a ma fração, cjo denominador é igal ao qadrado da fnção dada no denominador e cjo nmerador é igal ao prodto da fnção no denominador pela derivada da fnção no nmerador menos o prodto da nção no nmerador pela derivada da fnção no denominador Demonstração: temos f v + f + f v + v mas + + e v + v+v entao + v + v+v vv v+ v v v v+ v v v+v vv v v v v+ v v v+v v v v v vv + v vv +v v v v v v v v+v + + mas e v nao dependemde e qdo, v d dv v d d d d v d dv v df f ; d d v d v

7 DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPOSTAS Teorema. Seja ff, sendo. Se tem ma derivada, e F tem ma derivada F, a derivada f F, O seja, a derivada de f em relação a é igal ao prodto de derivada de F em relação a pela derivada de em relação a. f f F,, F F df d d d e Demonstração: para o acréscimo, temos os acréscimos correspondentes às fnções, F +, F + Além disso, qando, e. Por hipótese, temos também d d

8 Pelo teorema do ite, podemos escrever,, + com d d α α F d d d d d d e d d mas d d d d d d α α α α + + +

9 Eemplos, d d d df d d com F sen d d d df d d sen com F sen,, d d d df d d sen com F sen e e d d d df d d e com F e,

10 d d d df d d com F ln ln, ln v d d d dv dv df d d senv e v v com v F sen ]ln [ln ln, ] [ln

11 DERIVADA DE FUNÇÃO IMPLÍCITA Uma fnção implícita, f, é aqela qe satisfaz a ma eqação da forma F,. Eemplos: r r r + + Note qe nem sempre é possível resolver a eqação para, como no primeiro caso. Podemos, entretanto calclar a derivada sando a regra da fnção composta. 4 sen 6 r + + sen

12 DERIVADAS DE FUNÇÕES INVERSAS Toda fnções crescente, o decrescente, admite ma fnção inversa. I. e., dado f é possível determinar a fnção qe epressa em fnção de, o. Teorema: Se a fnção f admite ma inversa,, cja derivada, em m ponto dado é diferente de zero, então a fnção f possi no ponto correspondente ma derivada f igal ao inverso da, I.e: f + < < < + < e f ln f f

13 Demonstração: Se por hipótese: f derivando a segnda epressão em relação a, sando a regra da cadeia,temos: d df d df

14 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICASINVERSAS sen mas sen arcsen arc sen sen sen mas sen arc sen arc

15 arc tg arc cot arctg tg sec mas sec + tg + tg + arccot cot mas ec sec + co cot + cot +

16 FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA Fnção Paramétrica Sejam das fnções da variável t o tempo, por eemplo, ψte t. Se e representam as coordenadas de m ponto no plano, a cada instante t, teremos m ponto no plano. Qando t varia no intervalo, T<t<T, o ponto, descreve ma crva no plano. As fnções dadas são chamadas de eqação paramétrica desta crva. E t é o parâmetro. ψ t t t t t,t t t

17 Lançamento horizontal v t t h v h vh t,t t g g v h v g h

18 DERIVADA DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA Dadas as formas paramétricas, ψt e t, de ma crva, isto é, as eqações paramétricas da fnção de, é possível calclar a derivada dessa fnção,. Se a fnção ψt admite ma inversa, isto é, podemos epressar t como ma fnção de, tφ, então a fnção t, pode ser epressa como Φ [ ] Temos então ma fnção composta. Podemos aplicar a regra da derivada: t t Φ d dφ tt dt d mas, peloteorma da fnçaoinversa dφ d ψ t entao d dφ t tt t dt d ψ ψ t t

19 Lançamento horizontal v t t h t g g v g v h h v h v t t h v t g d dt gt g d vh vh dt h

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