Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. e 1 x. x ln x = lim

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM Nome Legível RG CPF Respostas sem jstificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o so de aparelhos eletrônicos. Qestão. (.0 pt) Calcle Demonstração. Note qe lim e ln 0 + lim e ln ln = lim e qe é m limite do tipo +. Portanto, pela regra de L Hôpital e aplicando a regra da cadeia no denominador lim 0 e ln ln = lim = lim e 0 + e ( ) = lim 0 + = lim 0 + pois 0 e e + qando 0 +. e e = 0 = lim 0 + e Qestão. (.0 pt) Encontre ma parábola y = a + b + c qe passe pelo ponto (, 4) e cjas retas tangentes em = e = 5 tenham inclinações 6 e, respectivamente. Demonstração. Para qe a parábola passe por (, 4), temos qe Além disso, y () = a + b 4 = a + b + c 4 = a + b + c () e y ( ) = 6 a ( ) + b = 6 a + b = 6 () y (5) = a 5 + b = 0a + b = ()

2 Sbtraindo () de () temos a = 8 a =. Sbstitindo a = em () ( ) + b = 6 b = 6 4 = 8 4 = 4 b = 4 Sbstitindo a = e b = 4 em () 4 = c 4 = + c 4 = 4 + c c = 0 Portanto y = + 4 Qestão. (.5 pt) Uma escada com 0 pés de comprimento está apoiada em ma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a ma taa de pé/s, qão rápido o topo da escada está escorregando para baio na parede qando a base da escada está a 6 pés da parede? Figra : Modelagem do problema Demonstração. Aplicando o teorema de Pitágoras na Figra, temos qe [(t)] + [y(t)] = 0 para todo t (4) Diferenciando esta eqação com relação à t em ambos os lados, sege qe (t) d(t) + y(t) dy(t) y(t) dy(t) dy(t) = 0 = (t) d(t) d(t) (t) = y(t) = (t) y(t) d(t)

3 Além disso, sabemos qe d(t) = pé/s para todo t. Em t = t 0, qando (t 0 ) = 6 pés, pela eqação (4) temos qe [y(t 0 )] = 0 [(t 0 )] = 0 6 = 00 6 = 64 y(t 0 ) = 64 = 8. Assim, dy(t 0 ) = (t 0) y(t 0 ) d(t 0) = 6 8 = pé 4 s Qestão 4. Considere a fnção f() = e a) (0.5 pt) Encontre o domínio de f Demonstração. D(f) = { R 0} b) (.0 pt) Encontre os pontos críticos de f Demonstração. Para encontrar os pontos críticos de f, precisamos calclar f (): f () = e e = e ( ) = 0 e ( ) = 0 e = 0 o = 0 Como e 0 para todo R, então resta qe = 0 = D(f) é ponto crítico de f. Apesar de f (0) não eistir, = 0 D(f) e assim 0 não é ponto crítico de f. O seja, o único ponto crítico de f é =. c) (.0 pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f 0 e f () + Tabela : Sinais de f

4 Demonstração. Da Tabela, conclímos qe { f () < 0 em (, 0) e (0, ) f () > 0 em (, + ) { f é decrescente em (, 0) e (0, ) f é crescente em (, + ) 9 4 Qestão 5. (.5 pt) Resolva d 9 4 () 4 Demonstração. Note qe d = d. Mediante a sbstitição = d = d d = d temos qe () 4 4 d d = = 4 d Agora, faça a sbstitição trigonométrica = sec θ d = sec θ tg θdθ Logo 4 d = 4 sec θ 4 sec θ sec θ tg θdθ 4(sec 4 = θ ) tg θdθ = tg θ tg θdθ = tg θ tg θdθ = tg θdθ ( ) = (sec θ )dθ = sec θdθ dθ = ( tg θ θ) + C e assim precisamos voltar para a variável e depois para a variável. Para voltar para, precisamos montar o triânglo da sbstitição trigonométrica conforme nossa sbstitição inicial = sec θ = sec θ = cos θ cos θ = CATETO ADJACENTE = HIPOTENUSA Aplicando o teorema de Pitágoras, temos qe a = 4 e do triânglo da sbstitição trigonométrica (Figra ), vemos qe 4

5 Figra : Triânglo da sbstitição trigonométrica = sec θ tg θ = CATETO OPOSTO CATETO ADJACENTE = 4 = sec θ = sec θ ( ) θ = arcsec Assim d = d = ( tg θ θ) + C [ 4 ( ) ] = arcsec + C [ ( ) ] 9 4 = arcsec + C Qestão 6. (.5 pt) Calcle o valor da integral definida 4 e d Demonstração. Faça ϕ = = / dϕ = d dϕ = d ϕdϕ = d. Portanto 4 e d = 4 e ϕ ϕdϕ = ϕe ϕ dϕ 5

6 Integrando por partes com = ϕ e dv = e ϕ dϕ temos qe d = dϕ e v = e ϕ. Logo ϕe ϕ dϕ = [ϕe ϕ = ] e ϕ dϕ [ ( e e ) (e e ) ] = e 6