Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 2a. Prova - 2o. Semestre /10/2014

Transcrição

1 Turma A a Questão: Istituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferecial e Itegral IV para Egeharia a. Prova - o. Semestre 4-3//4 a, poto Seja fx + x 3. Calcule f 3. b Obteha uma expressão para a soma da série 9 x 3 c Ecotre um valor para a soma do item b, quado x. Solução: a Sabe-se que x x, para x < soma da PG. Sedo assim: + x x 3, x 3 < 3 x 3, x < 3 Sabe-se que para uma série de potecias positivas a k x x k, a k é dado pelo coeficiête de Taylor: a k f k x. k! Como a série ecotrada foi expadida em toro de x, temos que: a 3 f 3, o 3! qual é coeficiete de x 3. k O termo geral da série obtida é dado por ā x 3. Para, temos ā x 3, o que sigifica que o coeficiete de x 3 a série é. Sedo assim, temos: f 3 3! b Deseja-se ecotrar uma expressão para f 3 3! 9 x 3. Pode-se observar que há uma certa semelhaça etre os termos gerais desta série e da série do exercicio aterior. Repare que derivado em x, multiplicado por x, derivado

2 mais uma vez e multplicado por x mais uma vez, chegamos a mesma expressão. Sedo assim: Derivado em x: + x x 3, x < 3 3 3x + x 3 Derivado mais uma vez: 6x3 + x 3 6[3x + x 3 x 3 + x 3 6x ] + x 3 4 6[3x 6x 5 ] + x x 3, x < 3 3 x 3, x < 3 9 x 3, x < 3 9 x 3, x < 3 9 x 3 x3 x 3 + x 3 3, x < 3 c Como x está detro do itervalo de covergêcia da série do item b, temos que:

3 a Questão: e 3x, se x a,5 potos Seja fx x 3, se x a Ecotre uma série umérica cuja soma seja igual a a Ecotre um valor aproximado para 4. /6 /6 fx dx. fx dx, com erro, em módulo, meor que b,5 potos Sabedo que a série de Fourier de seos de gx x x, em [, ] é sex + se3x + se5x +..., calcule 6. + Solução: a Sabe-se que: e x x, x R Sedo assim: e 3x 3x e3x x 3 x, x R 3 x, x Para x : 3 x 3 3 x fx, x R Assim: 3

4 Para x /6: x fx dx 3 x x 3 x, x R a Deseja-se calcular /6 /6 fx dx 3 6 fx dx com erro < ε 4. Do item aterior, sabe-se que: /6 fx dx O erro da aproximação é dado por: erro k k+ Rapare que se ão tivessemos multiplicado, teríamos a soma de uma PG de razão /, a qual é fácil de calcular o valor exato da soma. Repare também que o termo é sempre decrescete, ou seja: Sedo assim: k + k +!, k + erro k+ k + k +! k+ < ε k+ k + k +! k + k +! < ε k k k + k +! > ε 4 Para k 5: k k + k +! > 4 Portato: Com erro < 4. /6 fx dx 5 4

5 b Seja gx a extesão ímpar de gx. A série de Fourier de gx é a série de seos de gx. Sabe-se que os coeficietes da série de Fourier de gx são: Aplicado a idetidade de Parceval: a a b b a + a + b g x dx b + b + g x dx Como gx é impar, g x é par. Além disso, como gx é extesão ímpar de gx, gx gx para x [, ]. Assim, temos: g x dx 6 g x dx x x 3 + x 4 x 3 dx 3 x4 4 + x

6 3 a Questão: a, potos Seja [ [, se x, fx [ ] x, se x, ou x ], ] Ecotre a série de Fourier de f. b,5 potos Se Sx é a soma da série ecotrada em a, esboce o gráfico de S o itervalo [ 3, 3], calcule S 39 e S 3. Solução: a a fx dx x dx x dx x a fx cosx dx x cosx dx x sex b se a se x cosx dx sex + cos dx se + 4cos fx sex dx fução ímpar x cosx dx + cosx Sx a + a cosx+b sex 4 + se b Pelo toerema da covergêcia da série de Fourier, Sx coverge para: Para x, : - fx, ode fx é cotíua - A média dos limites laterais, ode fx é descotíua + 4cos cosx 6

7 f + f, para x ou x Para x / [, ]: repete-se periodicamete Figura : Série de Fourier de fx para x [ 3, 3] Sedo assim: 39 S S 7+ S + S S 3 S lim fx+ lim fx x + x + 7 S 7 f 7

8 Turma B a Questão: Istituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferecial e Itegral IV para Egeharia a. Prova - o. Semestre 4-3//4 a, poto Seja fx + 3x 4. Calcule f 4. b Obteha uma expressão para a soma da série 3 6 x 4 c Ecotre um valor para a soma do item b, quado x 3. Solução: a Sabe-se que x x, para x < soma da PG. Sedo assim: + 3x 3x 4, 3x 4 < 4 3 x 4, x < 4 3 Sabe-se que para uma série de potecias positivas a k x x k, a k é dado pelo coeficiête de Taylor: a k f k x. k! Como a série ecotrada foi expadida em toro de x, temos que: a 4 f 4, o 4! qual é coeficiete de x 4. k O termo geral da série obtida é dado por ā 3 x 4. Para, temos ā 3 x 4, o que sigifica que o coeficiete de x 4 a série é 3. Sedo assim, temos: f 4 4! 3 b Deseja-se ecotrar uma expressão para f 4 3 4! 3 6 x 4. Pode-se observar que há uma certa semelhaça etre os termos gerais desta série e da série do exercicio aterior. Repare que derivado em x, multiplicado por x, derivado

9 mais uma vez e multplicado por x mais uma vez, chegamos a mesma expressão. Sedo assim: Derivado em x: + 3x 3 x 4, x < x 3 + 3x 4 Derivado mais uma vez: x4 + 3x 4 [4x 3 + 3x 4 x 4 + 3x 4 x 3 ] + 3x 4 4 [4x 3 x 7 ] + 3x x 4, x < x 4, x < x 4, x < x 4, x < x 4 36x3 3x 4 + 3x 4 3, x < 4 3 c Como x 3 está detro do itervalo de covergêcia da série do item b, temos que:

10 a Questão: e x, se x a,5 potos Seja fx x, se x a Ecotre uma série umérica cuja soma seja igual a a Ecotre um valor aproximado para 4. /4 /4 fx dx. fx dx, com erro, em módulo, meor que b,5 potos Sabedo que a série de Fourier de seos de gx x x, em [, ] é sex + se3x + se5x +..., calcule 6. + Solução: a Sabe-se que: e x x, x R Sedo assim: e x x ex x x, x R x, x Para x : x x fx, x R Assim:

11 Para x /4: x fx dx x x x, x R a Deseja-se calcular /4 /4 fx dx 4 fx dx com erro < ε 4. Do item aterior, sabe-se que: /4 fx dx O erro da aproximação é dado por: erro k k+ Rapare que se ão tivessemos multiplicado, teríamos a soma de uma PG de razão /, a qual é fácil de calcular o valor exato da soma. Repare também que o termo é sempre decrescete, ou seja: Sedo assim: k + k +!, k + erro k+ k + k +! k+ < ε k+ k + k +! k + k +! < ε k k k + k +! > ε 4 Para k 5: k k + k +! > 4 Portato: Com erro < 4. /4 fx dx 5

12 b Seja gx a extesão ímpar de gx. A série de Fourier de gx é a série de seos de gx. Sabe-se que os coeficietes da série de Fourier de gx são: Aplicado a idetidade de Parceval: a a b b a + a + b g x dx b + b + g x dx Como gx é impar, g x é par. Além disso, como gx é extesão ímpar de gx, gx gx para x [, ]. Assim, temos: g x dx 6 g x dx x x 3 + x 4 x 3 dx 3 x4 4 + x

13 3 a Questão: a, potos Seja [ [, se x, fx [ ] 3 x, se x, ou x ], ] Ecotre a série de Fourier de f. b,5 potos Se Sx é a soma da série ecotrada em a, esboce o gráfico de S o itervalo [ 3, 3], calcule S 39 e S 3. Solução: a a fx dx 3 x dx 3x dx 3 x 3 4 a fx cosx dx x cosx dx x sex b se a 3 se 3 x cosx dx sex + cos dx se + 6cos fx sex dx fução ímpar 3x cosx dx + cosx Sx a + a cosx+b sex se b Pelo toerema da covergêcia da série de Fourier, Sx coverge para: Para x, : - fx, ode fx é cotíua - A média dos limites laterais, ode fx é descotíua + 6cos cosx 3

14 f + f, para x ou x Para x / [, ]: repete-se periodicamete Figura : Série de Fourier de fx para x [ 3, 3] Sedo assim: 39 S S 7+ S + S S 3 S lim fx+ lim fx x + x S 7 f 4