CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I MEC & LEGM 1 o SEM. 2009/10 7 a FICHA DE EXERCÍCIOS

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1 Istituto Superior Técico Departameto de Matemática Secção de Álgebra e Aálise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I MEC & LEGM 1 o SEM. 009/10 7 a FICHA DE EXERCÍCIOS I. Poliómio e Teorema de Taylor. 1) Determie o poliómio de Taylor de grau 3 em a = 0 das fuções f, g : R R defiidas respectivamete por fx) = e se x e gx) = x 0 set ) dt. ) Determie o poliómio de Taylor de grau 5 em a = 0 da fução f : R R defiida por fx) = e cos x. 3) Use o poliómio de Taylor para escrever cada um dos seguites poliómios como um poliómio em potêcias de x 3). i) x 4x 9 ii) x 4 1x x + x + 1 iii) x 5 4) Seja f : R R uma fução de classe C 5 R) com poliómio de Taylor de grau 5 em a = 0 dado por: i) p 5,0 x) = 1 + x 4 ; ii) p 5,0 x) = x 3 x 5. Em cada um dos casos, determie f k) 0), para k = 0, 1,..., 5, e idique justificado se f tem ou ão um extremo local o poto zero. 5) Seja f : R R uma fução de classe C 5 R) com poliómio de Taylor de grau 5 em a = 1 dado por p 5,1 x) = 1 ) x 1 x. Determie f k) 1), para k = 0, 1,..., 5, e idique justificado se f tem ou ão um extremo local o poto um. 6) Prove, usado o Teorema de Taylor, que e x 1 x + x ) < 1, x [0, 1]. 6 7) Prove, usado o Teorema de Taylor, que ) sex) x x3 < 0.01, x [0, 1]. 6 8) Prove, usado o Teorema de Taylor, que ) cosx) 1 x + x4 < 0.1, x [0, ]. 4 9) Prove, usado o Teorema de Taylor, que se f : R R é + 1)-vezes difereciável e f +1) x) = 0, x R, etão f é um poliómio de grau meor ou igual a. 1

2 CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 II. Sucessões. 1) Determie, se existirem, os limites das seguites sucessões. a) x = d) x = + cos) 1 g) x = j) x = h) x = b) x = + 3 c) x 3 + 1) = + e) x = f) x 5 = k) x = + 1 i) x = 1) 1 + l) x = m) x = + 1 ) x = + 1) o) x = p) x = + 1) ) +1 q) x = a, com a < 1 r) x = s) x = 3 3 t) x = 3 ) ) Sedo u ) e v ) sucessões de termos positivos tais que 1 u v para todo o N, prove que u ) coverge sse v ) coverge. Mostre também que, quado existem, os seus limites são iguais. 3) Prove que se lim x = 0 etão lim x = 0. 4) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = 1 e x +1 = x + 3 para todo o N. 4 a) Prove que x ) é estritamete crescete e que x < 3/ para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 5) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = 3 e x +1 = x + 1 para todo o N. a) Prove que x ) é estritamete decrescete e que x > para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 6) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = e x +1 = x + 1 para todo o N. a) Prove que x ) é estritamete crescete e que x < 3 para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite.

3 CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 3 7) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = 1 e x +1 = 3 + x para todo o N. a) Prove que x ) é estritamete crescete e que x < para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 8) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = e x +1 = 3 1 x para todo o N. a) Prove que x ) é estritamete crescete e que x < 3 para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 9) Cosidere a sucessão x ) defiida por x 1 = 3 e x +1 = 3 1 x para todo o N. a) Prove que x ) é estritamete decrescete e que x > para todo o N. b) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 10) Cosidere as expressões x 1 = 1 e x +1 = x + x para todo o N. a) Verifique que defiem, por recorrêcia, uma sucessão x ), i.e. verifique que x > 0 para todo o N, por forma a que a seguda expressão faça setido. b) Prove que x e x +1 x, para todo o N com. c) Mostre que x ) é covergete e calcule o seu limite. 11) Mostre que as expressões x 1 = 1 e x +1 = x 1 + x para todo o N defiem por recorrêcia uma sucessão x ) que é covergete. Calcule o seu limite. 1) Determie, se existirem, os limites das seguites sucessões. a) x = d) x = g) x = 1 + ) 1 +7 b) x = 1 + ) 3 c) x = ) ) ) +3 1 e) x = f) x = + ) / ) h) x = i) x = ) )

4 4 CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 13) Determie, se existirem, os limites das seguites sucessões. a) x = b) x = c) x = + d) x = + 1 e) x = + f) x = 3 + ) 1 g) x = h) x = 1 ) 1 i) x = ) 1 III. Séries Numéricas. 1) Mostre que cada uma das seguites séries é covergete com soma igual ao valor idicado. a) d) =1 =0 3 = 3 b) = e) = = 3 + 1) =1 = 5 3 ) Determie a atureza das seguites séries. a) e) i) b) + 1 f) + 1) j) ) Determie a atureza das seguites séries. c) 1 + g)! + )! k) c) = = 9 d) 1 + 1) h) l) a) 1000 b) c) 3 d) 1, 001) e 3! e) 1000)! i)! f)! )! j) 3! 4) Determie a atureza das seguites séries. a) log e) 1 log b) 1 log f) 1 log ) g)!) )! c) 1 log g) ) 1 se h)! d) 1 log ) h) ) 1 se

5 CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 5 5) Seja a ) uma sucessão de termos positivos tal que lim a = +. Mostre que a série a é divergete. 6) Seja a ) uma sucessão de termos positivos tal que lim a = 0. Mostre que a série a é covergete. 7) Determie se são absolutamete covergetes, simplesmete covergetes ou divergetes, as seguites séries. a) 1) + 1 d) 1) 1 g) 1) log b) 1) c) 1) + 1 e) 3) f) 1) + 1 h) ) 1 1) se i) 1) seθ) 8) Mostre que se a coverge etão a também coverge. Dê um exemplo em que a coverge mas a diverge.

6 6 CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 IV. Séries de Potêcias. 1) Para cada uma das seguites séries de potêcias, determie o cojuto dos potos x R ode a série é i) absolutamete covergete, ii) simplesmete covergete e iii) divergete. a) x b) x d) x 1) ) c) x + 3) + 1) e) x + 1) f) + 1 g) 1) x 1) h) x ) i) + 1 j) 1 x) k) m) 1) x 5x + 1) + 1 )! x ) Determie a R de modo a que a série a +1 x ) + 1 1) x + 1) + 1 l) 1 3x) 4 + 1) o)!) )! x + 1 x seja covergete o poto x = 3 e divergete o poto x = 3. 3) Seja g a fução defiida pela fórmula x 3 +1 =1 o cojuto de todos os potos em que a série é covergete. Determie o domíio da fução g e calcule o seu valor o poto x = 1. 4) Seja g a fução defiida pela fórmula x 1) =1 1 o cojuto de todos os potos em que a série é covergete. Determie o domíio da fução g e calcule o seu valor o poto x = 0. 5) Seja g a fução defiida pela fórmula x) 4 +1 =1 o cojuto de todos os potos em que a série é covergete. Determie o domíio da fução g e calcule o seu valor o poto x = 1.

7 V. Séries de Taylor. CDI I - MEC & LEGM 1 SEM. 009/10 FICHA 7 7 1) Desevolva a fução log x em série de potêcias de x 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? ) Desevolva a fução x log x em série de potêcias de x 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 3) Desevolva a fução logx + x + ) em série de potêcias de x + 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 4) Desevolva a fução 1/x em série de potêcias de x 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 5) Desevolva a fução 1/x em série de potêcias de x 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 6) Desevolva a fução 1/x + ) em série de potêcias de x + 1). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 7) Desevolva a fução 1/x + ) em série de potêcias de x. Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 8) Desevolva a fução 1/x + 1) em série de potêcias de x ). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 9) Desevolva a fução 1/x em série de potêcias de x ). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 10) Desevolva a fução 1/x em série de potêcias de x ). Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 11) Desevolva a fução x 0 set ) dt em série de potêcias de x. Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 1) Desevolva a fução x 0 cost ) dt em série de potêcias de x. Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 13) Desevolva a fução x 0 et dt em série de potêcias de x. Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? 14) Desevolva a fução ϕx) = x 0 log1 + t ) dt em série de potêcias de x. Qual é o maior itervalo aberto em que a série represeta a fução? A fução ϕ tem um extremo o poto zero? Justifique com base a série que obteve para ϕ.